2019-2020学年江西省山江湖协作体高二上学期第三次月考（统招班）数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年江西省山江湖协作体高二上学期第三次月考（统招班）数学（理）试题（解析版）

2019-2020 学年江西省山江湖协作体高二上学期第三次月考 （统招班）数学（理）试题 一、单选题 1．甲、乙两人计划从 A 、 B 、C 三个景点中各选择两个游玩,则两人所选景点不全相 同的选法共有 A． 3 种 B．6种 C．9种 D．12 种 【答案】B 【解析】试题分析：因为每一个有 3 种选择，A,B;A,C;B,C;那么对于甲和乙的所有的选 法共有3 3 9  种，但是要求甲乙不能选景点不全相同，那么可知景点相同的选法有 3 种，故间接法可知共有 9-3=6 种，故选 B. 【考点】本试题考查了排列组合的运用。 点评：根据分步计数原理，那么先确定出各个人的选择的景点的情况，运用间接法的思 想来求解所求的选法，比用直接法要好解，注意这种解题方法，属于基础题。 2．某学院 、 、A B C 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟 采用分层抽样的方祛抽取一个容量为 120 的样本,已知该学院的 A 专业有 380 名学生, B 专业有 420 名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（ ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【解析】C 专业的学生有1200 380 420 400   由分层抽样原理，应抽取 400120 401200   名 故选 B 3．已知函数 y=f(x)的图象如图 1，则不等式 2 1 1 xf x      ＞0 的解集为（ ） A．（－∞,1） B．( －2,1) C．( －∞, －2) D．( －∞, －2)∪(1,+∞) 【答案】B 【解析】先利用函数图象，将不等式等价转化为分式不等式 2 1 11 x x   ，再进行等价转化， 即可得此不等式的解集 【详解】 解： 2 1( ) 01 xf x   2 1 11 x x   2 01 x x   2 1x   不等式 2 1( ) 01 xf x   的解集为 ( 2,1) 故选： B ． 【点睛】 本题主要考查了函数与不等式间的关系，简单分式不等式的解法，转化化归的思想方法， 属基础题. 4．已知 x 与 y 之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程 y bx a $ $ $必过点（ ） A． 2,2 B． 1.5,0 C． 1,2 D． 1.5,4 【答案】D 【解析】试题分析： 0 1 2 3 3 1 3 5 7, 44 2 4x y         ，所以中心点为 1.5,4 ， 回归方程过中心点 1.5,4 【考点】回归方程 5．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛，他们每场比赛得分的情况用如 图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为( ) A．19、13 B．13、19 C．20、18 D．18、20 【答案】A 【解析】中位数就是位于中间的数，甲的数据从小到大列出是 6,8,9,15， 17,19,23,24,26,32,41,.中位数是 19；同理乙的中位数是 13. 6．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则 a1＋a3＋a5＝( )． A．1 B．－1 C．121 D．106 【答案】C 【解析】利用特殊值法构造方程组求解． 【详解】 解：  5 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 02x a x a x a x a x a x a       令 1x  得 5 4 3 2 1 0 1a a a a a a       ① 令 1x   得 5 5 4 3 2 1 0 3a a a a a a        ② ①减②得   5 5 3 12 1 3a a a     5 3 1 121a a a    故选：C 【点睛】 本题考查二项式展开式系数的运算，属于基础题． 7．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率为 ( ) A． 3 3 4 B． 2  C． 4  D． 3 3 4  【答案】A 【解析】设圆的半径为 R ，由平面几何的知识容易求得内接正三角形的边长 3R ，且 由题意可得是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积及正三角形的面积代 入几何概率的计算公式可求． 【详解】 解：设圆的半径为 R ，则其内接正三角形的边长 3R 构成试验的全部区域的面积： 2S R 记“向圆O 内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件 A ， 则构成 A 的区域的面积 2 23 3( 3 ) 34 4R R  由几何概率的计算公式可得，   2 2 3 3 3 34 4 R P A R   故选： A ． 【点睛】 本题主要考查了与面积有关的几何概型概率的计算公式的简单运用，关键是明确满足条 件的区域面积，属于基础试题． 8．执行图 C1-2 所示的程序框图，若输入 x＝－2，h＝0.5，则输出的各个数的和等于 ( ) A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x y， 的值，当 2x  时，满足条 件 2x  ，结束，计算可得输出的各个数的和 【详解】 第1步： 0y  ， 1.5x   第 2 步： 0y  ， 1x   第 3 步： 0y  ， 0.5x   第 4 步： 0y  ， 0x  第 5 步： 0y  ， 0.5x  第 6步： 0.5y  ， 1x  第 7 步： 1y  ， 1.5x  第8 步： 1y  ， 2x  第9步： 1y  ，退出循环，输出的各数和为： 0.5 1 1 1 3.5    故选 B 【点睛】 求解与循环结构有关的程序框图的问题时，应注意循环结构中，循环开始和结束的条件， 注意计算要仔细，属于基础题。 9．12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前 排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A． 2 2 8 3C A B． 2 6 8 6C A C． 2 2 8 6C A D． 2 2 8 5C A 【答案】C 【解析】试题分析：第一步从后排 8 人中选 2 人有 2 8C 种方法，第二步 6 人前排排列， 先排列选出的 2 人有 2 6A 种方法，再排列其余 4 人只有 1 种方法，因此所有的方法总数 的种数是 2 2 8 6C A 【考点】排列组合 点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法 10． 1 2 2 3 3 10 10 101 90 90 90C C C- + - + … 10 10 1090 C+ 除以 88 的余数是（ ） A．－1 B．1 C．－87 D．87 【答案】B 【解析】利用二项展开式定理化简原式为 1 2 3 10 10 10 21 88( 88 88C C C   … 9 10 1088 )C+ ， 进而可得结果. 【详解】 1 2 2 3 3 10 10 101 90 90 90C C C- + - + … 10 10 1090 C+    10 101 90 1 88    1 2 2 3 3 10 10 101 88 88 88C C C    … 10 10 1088 C+ 1 2 3 10 10 10 21 88( 88 88C C C    … 9 10 1088 )C+ , 所以 1 2 2 3 3 10 10 101 90 90 90C C C- + - + … 10 10 1090 C+ 除以 88 的余数是 1， 故选:B. 【点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，将原式变形为 101 88 是解题的关键，属于中档题. 11．已知 f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当 x∈R 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，2 2 －1) C．(－1，2 2 －1) D．(－2 2 －1，2 2 －1) 【答案】B 【解析】先分离变量，再根据基本不等式求最值，即得结果. 【详解】 由 f(x)>0 得 32x－(k＋1)3x＋2>0，解得 k＋1<3x＋ 2 3x . 又 3x＋ 2 3x ≥2 2 (当且仅当 3x＝ 2 3x ，即 x＝log3 2 时，等号成立). 所以 k＋1<2 2 ，即 k<2 2 －1. 故选：B 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中 档题. 12．若连掷两次骰子，分别得到的点数是 m、n，将 m、n 作为点 P 的坐标，则点 P 落 在区域 2 2 2x y    内的概率是（ ） A． 11 36 B． 1 6 C． 1 4 D． 7 36 【答案】A 【解析】首先分析题目求点 ( , )P m n 落在区域内的概率， ( , )P m n 是连续掷两次骰子分别得到的点数 m 、 n ．因为掷两次骰子，会有 36 种可能 性， 点 ( , )P m n 落在区域| 2| | 2| 2x y   „ 内，即| 2 | | 2 | 2m n   „ ， 分别列出可能性，除以 36 即可得到答案． 【详解】 解：掷两次骰子，会有 6 6 36  种可能． 点 ( , )P m n 落在区域| 2| | 2| 2x y   „ 内，即| 2 | | 2 | 2m n   „ ，则共有以下可能性． (1,1) ， (1,2) ， (1,3) ； (2,1) ， (2,2) ， (2,3) ， (2,4) ； (3,1) ， (3,2) ， (3,3) ； (4,2) ；共有 11 个， 故 11 36P  ； 这 11 个点都满足| 2 | | 2 | 2m n   „ ，即所求概率为 11 36P  ． 故选： A ． 【点睛】 此题主要考查古典概率及其概率计算公式的应用．涉及到几何区域问题，属于综合性试 题，有一定的灵活性，属于中档题目． 二、填空题 13．用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生从1 160 编号， 按编号顺序平均分成 20 组(1 8 号， 9 16 号， ,153 160  号).若假设第 1 组抽出的 号码为 3，则第 5 组中用抽签方法确定的号码是__________． 【答案】35 【解析】由题意可得分段间隔是 8，抽出的这 20 个数成等差数列，首项为 3， ∴第 5 组中用抽签方法确定的号码是 3+32=35． 故答案为：35 14．已知实数 x,y 满足条件 2 0, 0 3, 0, x y x y         则目标函数 z=2x－y 的最大值是_________. 【答案】6 【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 2z x y  过 y 轴的截距最小，即 z 取最大值，从而求解． 【详解】 解：先根据约束条件画出可行域， 目标函数 2z x y  ， z 在点 (3,0)B 处取得最大值， 可得 2 3 0 6maxz     ， 故最大值为 6， 故答案为 6； 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 15．已知二次函数 f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则 1 1a c c a   的最小 值为_____． 【答案】4 【解析】先判断 a c、 是正数，且 1ac  ，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值． 【详解】 由题意知， 0 4 4 0 1 0a ac ac c    ＞ ， ， ， ＞ ， 则 1 1 1 1 1 1 1  2 2 2 2 4a c a c a c c a c c a a c a c a ac               （ ）（ ） ， 当且仅当 1a c  时取等号． ∴ 1 1a c c a   的最小值为 4． 【点睛】 】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题. 16．从 0，1，2，3，4 中每次取出不同的三个数字组成三位数，那么这些三位数的个位 数之和为_________. 【答案】90 【解析】根据题意，各位数字可以为 0、1、2、3、4，而其中 1，2，3，4 在个位上出 现的次数相等，由排列公式，计算可得其出现的次数，进而依题意，列式计算可得答案． 【详解】 解：根据题意，个位数字可以为 0、1、2、3、4， 求其个位数字之和时，0 在个位，其和为 0； 而其中 1，2，3，4 在个位上出现的次数相等， 又由于 0 不能作首位，故首位有 1 3A 种，十位有 1 3A 种， 则其次数为 1 1 3 3 9A A  ， 故其个位数字之和为 1 1 3 3(1 2 3 4) 90A A    ， 故答案为 90． 【点睛】 本题考查排列、组合的应用，注意要考虑 0 不能作首位这个因素． 三、解答题 17．已知 0x  ， 0y  ， 2 8 0x y xy   . （1）求 xy 的最小值； （2）求 x y 的最小值. 【答案】(1) 64 ,(2) x+y 的最小值为 18. 【解析】试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出； （2）由 2 8x y xy  ，变形得 8 2 1x y   ，利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出． 试题解析：(1)由 2 8 0x y xy   ，得 8 2 1x y   ,又 0x  ， 0y  ，故 8 2 8 2 81 2x y x y xy      , 故 64xy  ，当且仅当 8 2 1, 8 2 x y x y      即 16 4 x y    时等号成立，∴ min 64xy  (2)由 2 2 8 0x y xy   ,得 8 2 1x y   ,则  8 2x y x yx y         2 8 2 8=10 10 2 18x y x y y x y x       .当且仅当 8 2 1, 2 8 x y x y y x      即 12 6 x y    时等号成 立.∴  min 18x y  【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘 1 法”和变形利用基本不等式是解 题的关键． 18．已知二项式 102x x     的展开式. (1)求展开式中含 4x 项的系数； (2)如果第3r 项和第 2r  项的二项式系数相等，求 r 的值． 【答案】（1）  44 10 2 3360C  ；（2）1 【解析】试题分析：（1）写出二项展开式的通项公式，当 x 的指数是 4 时，可得到关于 k 方程，解方程可得 k 的值，从而可得展开式中含 4x 项的系数；（2）根据上一问写出 的通项公式，利用第3r 项和第 2r  项的二项式系数相等，可得到一个关于 r 的方程， 解方程即可得结果. 试题解析：(1)设第 k＋1 项为 Tk＋1＝ 令 10－ k＝4，解得 k＝4， 故展开式中含 x4 项的系数为 3 360. (2)∵第 3r 项的二项式系数为 ，第 r＋2 项的二项式系数为 ， ∵ ＝ ，故 3r－1＝r＋1 或 3r－1＋r＋1＝10， 解得 r＝1 或 r＝2.5(不合题意，舍去)，∴r＝1. 19．有 7 本不同的书： （1）全部分给 6 个人，每人至少一本，有多少种不同的分法？ （2）全部分给 5 个人，每人至少一本，有多少种不同的分法？． 【答案】（1）15120； （2）16800. 【解析】（1）根据题意，则分 2 步进行分析：①、将 7 本书，分为 6 组，其中 1 组 2 本， 其他组每组 1 本，②、将 6 组进行全排列对应 6 人即可；分别求出每一步的情况数目， 由分步计数原理计算可得答案． （2）由题意知 7 本不同的书分给 5 个人，每人至少一本，并且全部分完，分两种分法： 一人得 3 本，其余 4 人各得一本；两人各得 2 本，其余 3 人各得一本；分别求出再相加． 【详解】 （1）根据题意，将 7 本书分给 6 个人，且每人至少一本，则必须是其中 1 个人 2 本， 其他人每人 1 本，则分 2 步进行分析： ①、将 7 本书，分为 6 组，其中 1 组 2 本，其他组每组 1 本，有 2 7 21C  种分组方法， ②、将分好的 6 组对应 6 人，将 6 组进行全排列即可，有 6 6 720A  种方法， 则一共有 21 720 15120  种不同的分法； （2）有两类办法：一人得 3 本，其余 4 人各得一本，方法数为 3 5 7 5C A ； 两人各得 2 本，其余 3 人各得一本，方法数为 2 2 5 7 5 5 1 2 C C A ， 所以所求方法种数为 3 5 7 5C A + 2 2 5 7 5 5 1 2 C C A =16800 种. 【点睛】 本题考查排列、组合的运用，此类问题一般是先分组，再对应，属于基础题． 20．某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间，将测试结果 按如下方式分成五组：第一组 13,14 ，第二组 14,15 ， ，第五组 17,18 .下图是 按上述分组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图. （Ⅰ）若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良 好的人数； （Ⅱ）设 m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知    , 13,14 17,18 .m n  求 事件“ 1m n  ”发生的概率. 【答案】（I）27 人；（II） 4 7 ． 【解析】试题分析：（I）利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出成绩大 于或等于 14 秒且小于 16 秒的频率，利用频数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百 米此时中成绩良好的人数；（II）按照（I）的分分求出成绩在 13,14 及在 17,18 的人 数，通过列举得到 ,m n 都在 13,14 或都在 17,18 之间的方法数，得到总的基本事件 的个数，分布在两段的请客数为事件 1m n  ，包含的基本事件数，再利用古典概型 求解概率． 试题解析：（Ⅰ）由直方图知，成绩在[14,16) 内的人数为：50 0.16 50 0.38 27    （人）， 所以该班成绩良好的人数为 27 人. （Ⅱ）由直方图知，成绩在[13,14) 的人数为50 0.06 3  人， 设为 x , y , z ； 成绩在[17,18]的人数为50 0.08 4  人，设为 A , B ,C , D . 若 , [13,14)m n 时，有 , ,xy xz yz 3种情况； 若 , [17,18]m n 时，有 , , , , ,AB AC AD BC BD CD 6 种情况； 若 ,m n 分别在[13,14) 和[17,18]内时， A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共有12 种情况.所以基本事件总数为 21种，事件“| | 1m n  ”所包含的基本事件个数有 12 种. ∴ 12 4( 1) 21 7P m n    . 【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率直方图；古典概型及其概率的计算． 21．设一元二次方程 Ax2＋Bx＋C＝0，根据下列条件分别求解： (1)若 A＝1，B、C 是 1 枚骰子先后掷两次出现的点数，求方程有实数根的概率； (2)若 B＝－A，C＝A－3，且方程有实数根，求方程至少有一个非正实数根的概率. 【答案】（1） 19 36 ； （2） 3 4 . 【解析】（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件数 36，满足条件 的事件是当 1A  时 2 0Ax Bx C   ，变为 2 0x Bx C   方程有实数解得 2 4 0B C … 显然 1B  ，列举出所有的事件，得到概率． （2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是 A 随机的取实数使方程有 实数根，根据一元二次方程判别式得到 A 的范围，满足条件的事件是使得方程有至少有 一个非负实数根，根据对立事件的概率得到结果． 【详解】 解：（1）由题意知本题是一个古典概型， 当 1A  时 2 0Ax Bx C   ，变为 2 0x Bx C   方程有实数解得 2 4 0B C … 显然 1B  若 2B  时 1C ；1 种 若 3B  时 1C ，2；2 种 若 4B = 时 1C ，2，3，4；4 种 若 5B  时 1C ，2，3，4，5，6；6 种 若 6B  时 1C ，2，3，4，5，6；6 种故有 19 种， 方程有实数根的概率是 19 36 （2） B A  ， 3C A  ，且方程有实数根，得 0A  ，△ 2 4 ( 3) 0A A A   … ，得 0 4A „ 而方程有两个正数根的条件是： 0A  ， 2 4 ( 3) 0A A A    … ， 3 0A A   即 3 4A „ 故方程有两个正数根的概率是 4 3 1 4 0 4   而方程至少有一个非正实数根的对立事件是方程有两个正数根故所求的概率为 1 31 4 4   【点睛】 本题考查等可能事件的概率，一元二次方程实根分布，是一个综合题，解题的关键是对 于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度． 22．已知 2xy ax b   （ a ，b 为常数），且方程 12 0y x   的两个实根为 1 3x  ， 2 4x  . （1）求 a ，b 的值； （2）设 1k  ，解关于 x 的不等式  1 2 k x ky x    . 【答案】（1） 1, 2. a b     （2）当1 2k  时，不等式的解集为 1x x k  或 2x  ；当 2k  时，不等式的解集为 1 2x x  或 2x  ；当 2k  时，不等式的解集为  1 2x x  或 x k . 【解析】（1）通过方程有两个实根构建方程组，然后求解出 a ，b 的值；（2）首先将分 式不等式化简成整式不等式，然后采用分类的方式求解不等式的解集. 【详解】 （1）将 1 3x  ， 2 4x  分别代入方程 2 12 0x xax b    中，得 9 9,3 16 8,4 a b a b         解得 1, 2. a b     （2）由（1）知   2 22 xy xx   ，不等式即为  2 1 2 2 k x kx x x    ，化为  2 1 02 x k x k x     ，即   2 1 0x x x k    . ①当1 2k  时，原不等式的解集为 1x x k  或 2x  ； ②当 2k  时，不等式为    22 1 0x x   ，原不等式的解集为 1 2x x  或 2x  ； ③当 2k  时，原不等式的解集为 1 2x x  或 x k . 综上可知，当1 2k  时，不等式的解集为 1x x k  或 2x  ；当 2k  时，不等式 的解集为 1 2x x  或 2x  ；当 2k  时，不等式的解集为 1 2x x  或 x k . 【点睛】 本题考查函数解析式求解以及分式不等式的解法，难度一般.求解分式不等式的解集， 首先将分式转化为整式，然后根据整式不等式求解集的思路完成计算.