2014年南京市中考数学试题及答案

2014年南京市中考数学试题及答案

南京市 2014 年初中毕业生学业考试 数 学 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，在每小题给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） 　 A． B． C． D． 2．计算(−a2)3 的结果是（　　） 　 A．a5 B．−a5 C．a6 D．−a6 3．若△ABC∽△A'B'C'，相似比为 1∶2，则△ABC 与△A'B'C'的面积的比为（　　） 　 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1 4．下列无理数中，在﹣2 与 1 之间的是（　　） 　 A．− 5 B．− 3 C． 5 D． 5 5．8 的平方根是（　　） 　 A．4 B．±4 C．2 2 D．±2 2 6．如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是(−2，1)，点 C 的纵坐标是 4，则 B、C 两点的 坐标分别是（　　） A．(3 2，3)、(− 2 3，4) B．(3 2，3)、(− 1 2，4) C．( 7 4， 2 7)、(− 2 3，4) D．( 7 4， 7 2)、(− 1 2，4) 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上） 7．−2 的相反数是　　 ，−2 的绝对值是　　 ． 8．截止 2013 年底，中国高速铁路营运里程达到 11000 km，居世界首位，将 11000 用科学 记数法表示为　　 ． 9．使式子 1+ x有意义的 x 的取值范围是　　 ． 10．2014 年南京青奥会某项目 6 名礼仪小姐的身高如下(单位：cm)：168，166，168，167， 169，168，则她们身高的众数是　　 cm，极差是　　 cm． 11．已知反比例函数 y= k x的图象经过点 A(−2，3)，则当 x=−3 时，y=　　 ． 12．如图，AD 是正五边形 ABCDE 的一条对角线，则∠BAD=　　 ． 13．如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦 AB⊥CD，垂足为 E，连接 BC，若 AB=2 2cm， ∠BCD=22°30´，则⊙O 的半径为　　 cm． 14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r=2 cm，扇形的圆心角 θ=120°，则该圆锥的母线长 l 为　　 cm． y xO C A B 15．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过 160 cm．某厂家生产符合 该规定的行李箱，已知行李箱的高为 30 cm，长与宽的比为 3∶2，则该行李箱的长的最 大值为　　 cm． 16．已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x … −1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当 y<5 时，x 的取值范围是　 　． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解不等式组：{3x ≥ x + 2， 4x−2＜x + 4． 18．（6 分）先化简，再求值： 4 a4－4－ 1 a－2 ，其中 a＝1． 19．（8 分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，过点 E 作 EF//AB，交 BC 于点 F． （1）求证：四边形 DBFE 是平行四边形； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 DBFE 是菱形？为什么？ 20．（8 分）从甲、乙、丙 3 名同学中随机抽取环保志愿者．求下列事件的概率： （1）抽取 1 名，恰好是甲； （2）抽取 2 名，甲在其中． D E A C B 第 12 题 C A D B O E 第 13 题 θ l r 第 14 题 A B D E CF 第 19 题 21．（8 分）为了了解某市 120000 名初中学生的视力情况，某校数学兴趣小组收集有关数 据，并进行整理分析． （1）小明在眼镜店调查了 1000 名初中学生的视力，小刚在邻居中调查了 20 名初中学生 的视力，他们的抽样是否合理？并说明理由． （2）该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级各随机抽取了 1000 名学生进行调查，整 理他们的视力情况数据，得到如下的折线统计图． 请你根据抽样调查的结果，估计该市 120000 名初中学生视力不良的人数是多少？ 22．（8 分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为 4 万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第 1 年的可变成本为 2.6 万元，设可变成本平 均的每年增长的百分率为 x． （1）用含 x 的代数式表示第 3 年的可变成本为　 　万元． （2）如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分 率 x． 23．（8 分）如图，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为 O)的墙上，当梯子位于 AB 位置时，它 与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动 1 m(即 BD＝1 m)到达 CD 位置时， 它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长． （参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248） 某市七、八、九年级各抽取的 1000 名学生 视力不良率的折线统计图 100% 75% 50% 25% 0% 视力不良率 七年级 八年级 九年级 年级 第 21 题 49% 63% 68% A C O DB 第 23 题 24．（8 分）已知二次函数 y=x2-2mx+m2+3(m 是常数)． （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 x 轴只 有一个公共点？ 25．（9 分）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到 达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡 时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少 5 km，下 坡的速度比在平路上的速度每小时多 5 km．设小明出发 x h 后，到达离甲地 y km 的地 方，图中的折线 OABCDE 表示 y 与 x 之间的函数关系． （1）小明骑车在平路上的速度为　　 km/h；他途中休息了　　 h； （2）求线段 AB、BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式； （3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为 0.15 h，那么该地点离甲地多远？ 26．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，⊙O 为△ABC 的内切 圆． （1）求⊙O 的半径； （2）点 P 从点 B 沿边 BA 向点 A 以 1 cm/s 的速度匀速运动，以 P 为圆心，PB 长为半 径作圆，设点 P 运动的时间为 t s，若⊙P 与⊙O 相切，求 t 的值． A C O P B 第 26 题 A C O B A C O B 备用图 0.3 x/h y/km 6.5 4.5 A B C D O 27．（11 分）【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等 的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相 等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E， 然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC≌△DEF． （1）如图①，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据　 　，可 以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是钝角，求 证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等． （3）在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是锐角，请你用尺规 在图③中作出△DEF，使△DEF 和△ABC 不全等．(不写作法，保留作图痕迹) （4）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC 和 △DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是锐角，若　 　，则 △ABC≌△DEF. 南京市 2014 年初中毕业生学业考试 C  BA F  ED① C BA F ED② C  BA ③ 数学试题参考答案及评分标准 说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照 本评分标准的精神给分 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D C B D B 附：第 6 题 解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，过点 C 作 CF//y 轴，过点 A 作 AF//x 轴，交点为 F. ∵四边形 AOBC 是矩形，∴AC//OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE， 在△ACF 和△OBE 中，∵∠F=∠BEO=90°，∠CAF=∠BOE ，AC=OB， ∴△CAF≌△BOE (AAS)，∴BE=CF=4−1=3， ∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE， ∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE， ∴ AD OE＝ OD BE，即 1 OE＝ 2 3，∴OE= 3 2，即点 B( 3 2，3)，∴AF=OE= 3 2， ∴点 C 的横坐标为：－(2－ 3 2)=－ 1 2，∴点 C(－ 1 2，4)． 故选 B． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 7．2；2 8．1.1×104 9．x≥0 10．168；3 11．2 12．72 13．2 14．6 15．78 16．0＜x＜4 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 17． {3x ≥ x + 2 ① 4x−2 < x + 4 ② 解：解不等式①得：x≥1．解不等式②得：x＜2． 所以，不等式组的解集是：1≤x＜2． 18．解： 4 a4－4－ 1 a－2 ＝ 4 (a + 2)(a−2)－ a + 2 (a + 2)(a−2) ＝ 4−(a + 2) (a + 2)(a−2) ＝ 2−a (a + 2)(a−2) ＝ −(a−2) (a + 2)(a−2) ＝－ 1 a + 2 当 a＝1 时，原式＝－ 1 1 + 2＝－ 1 3． 19．证明：（1）∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，即 DE 是△ABC 的中位线， ∴DE//BC， 又∵EF//AB， ∴四边形 DBFE 是平行四边形． （4 分） （2）本题解法不唯一，下列解法供参考． 当 AB=BC 时，四边形 DBFE 是菱形． ∵D 是 AB 的中点， ∴BD＝ 1 2AB， ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE＝ 1 2BC， ∵AB=BC， ∴BD=DE． 又∵四边形 DBFE 是平行四边形， ∴四边形 DBFE 是菱形． （8 分） 20．解：（1）从甲、乙、丙 3 名同学中随机抽取 1 名环保志愿者，恰好是甲的概率是 1 3． （3 分） （2）从甲、乙、丙 3 名同学中随机抽取 2 名环保志愿者，所有等可能出现的结果 有：(甲，乙)、(甲，丙)、(乙，丙)，共有 3 种，它们出现的可能性相同． 所有结果中，满足“甲在其中”(记为事件 A)的结果只有 2 种，所以 P(A)＝2 3 ． 21．解：（1）他们的抽样都不合理． 因为如果 1000 名初中学生全部在眼镜店抽取，那么该市每个学生被抽到的机 会不相等，样本不具有代表性；如果只抽取 20 名初中学生，那么样本的容量 过小，样本不具有广泛性． （4 分） （2） 1000 × 49%＋1000 × 63%＋1000 × 68% 1000＋1000＋1000 ×120000=72000（名）， 答：估计该市 120000 名初中学生视力不良的人数是 72000 名．（8 分） 22．解：（1）2.6(1+x)2． （4 分） （2）根据题意，得 4+2.6(1+x)2=7.146． 解这个方程，得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）． 答：可变成本平均每年增长的百分率为 10%． （8 分） 23．解：设梯子的长为 x m． 在 Rt△ABO 中，cos∠ABO＝ OB AB，∴OB＝AB•cos∠ABO＝x•cos60°＝ 1 2x． 在 Rt△CDO 中，cos∠CDO＝ OD CD，∴OD＝CD•cos∠CDO＝x•cos51°18′≈0.625x． ∵BD＝OD－OB， ∴0.625x－1 2x=1． 解得 x＝8． 答：梯子的长约为 8 米． （8 分） 24．（1）证法一：因为(-2m)2-4×1×(m2+3)=4m2-4m2-12=-12<0， 所以方程 x2-2mx+m2+3=0 没有实数根， 所以，不论 m 为何值，函数 y=x2-2mx+m2+3 的图象与 x 轴没有公共点． 证法二：因为 a=1>0，所以该函数的图像开口向上． 又因为 y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3， 所以该函数的图像在 x 轴上方． 所以，不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点．（4 分） （2）解：y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3， 把函数 y=(x-m)2+3 的图象延 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到函数 y=(x-m)2 的图象，它的顶点坐标是(m，0)，因此，这个函数的图象与 x 轴只 有一个公共点． 所以，把函数 y=x2-2mx+m2+3 的图象延 y 轴向下平移 3 个单位长度后，得到 的函数的图象与 x 轴只有一个公共点． （8 分） 25．解：（1）小明骑车在平路上的速度为 4.5÷0.3=15(km/h)，所以小明骑车在上坡路的速 度为 15-5=10(km/h)，小明骑车在上坡路的速度为 15+5=20(km/h)．所以小 明返回的时间为(6.5−4.5)÷2+0.3=0.4(h)，所以小明骑车到达乙地的时间为 0.3+2÷10=0.5(h)．所以小明途中休息的时间为 1−0.5−0.4=0.1(h)． 故答案为：15；0.1． （2 分） （2）因为小明骑车在平路上的速度为 15 km/h，所以小明骑车在上坡路的速度为 10 km/h，下坡的速度为 20 km/h． 由图象可知，小明汽车上坡所用的时间是 6.5−4.5 10 ＝0.2(h)，下坡所用的时间 是 6.5−4.5 20 ＝0.1(h)．所以，B、C 两点的坐标分别是(0.5，6.5)、(0.6，4.5)． 当 x＝3 时，y＝4.5，所以线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y=4.5+10(x−0.3)，即 y=10x+1.5(0.3≤x≤0.5)；当 x＝0.5 时，y＝6.5，所以线 段 BC 所 表 示 的 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y ＝ 6.5−20(x−0.5) ， 即 y=−20x+16.5(0.5≤x≤0.6)． （6 分） （3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为 0.15 h，根据题意，这个地点只能 在坡路上．设小明第一次经过该地点的时间为 t，则第二次经过该地点的时间 为(t+0.15) h． 根据题意，得 10t+1.5=−20(t+0.15)+16.5， 解得 t=0.4， 所以 y=10×0.4+1.5=5.5， 答：该地点离甲地 5.5 km． （9 分） 26．（8 分） 解：（1）如图①，设⊙O 与 AB、BC、CA 的切点分别为 D、E、F，连接 OD、OE、OF． 则 AD=AF，BD=BE，CE=CF． ∵⊙O 为△ABC 的内切圆， ∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°． 又∵∠C=90°， ∴四边形 CEOF 是矩形， 又∵OE=OF， ∴四边形 CEOF 是正方形． 设⊙O 的半径为 r cm，则 FC=EC=OE=r cm， A C O P B ① F D E 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3 cm， ∴AB＝ AC2＋BC2＝5 cm． ∵AD=AF=AC−FC=4−r，BD=BE=BC−EC=3−r， ∴4−r+3−r=5． 解得 r＝1，即⊙O 的半径为 1 cm． （3 分） （2）如图 2，过点 P 作 PG⊥BC，垂足为 G． ∵∠PGB=∠C=90°， ∴PG//AC． ∴△PBG∽△ABC， ∴ PG AC＝ BG BC＝ BP BA． 又∵BP=t， ∴PG=4 5t，BG=3 5t． 若⊙P 与⊙O 相切，则可分为两种情况，⊙P 与⊙O 外切，⊙P 与⊙O 内切． 如图②，当⊙P 与⊙O 外切时，连接 OP，则 OP=1+t． 过点 P 作 PH⊥OE，垂足为 H． ∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°， ∴四边形 PHEG 是矩形， ∴HE=PG，PH=CE， ∴OH=OE−HE=1－4 5t，PH=GE=BC−EC−BG＝3－1－3 5t＝2－3 5t． 在 Rt△OPH 中，由勾股定理，得 2 ＋ 2 ＝(1＋t)2． 解得 t＝2 3． 如图③，当⊙P 与⊙O 内切时，连接 OP，则 OP=t−1， 过点 O 作 OM⊥PG，垂足为 M． ∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°， ∴四边形 OEGM 是矩形． ∴MG=OE，OM=EG， ∴PM=PG－MG＝4 5t－1，OM=EG=BC−EC−BG=3－1－3 5t＝2－3 5t． 在 Rt△OPM 中，由勾股定理，得 2 ＋ 2 ＝(t－1)2． A C O P B H GE ② A C O P B M G E ③ 解得 t＝2． 综上，若⊙P 与⊙O 相切，t＝2 3 s 或 t＝2 s．（8 分） 27．（1）HL． （2）证明：如图①，分别过点 C、F 作对边 AB、DE 上的高其中 G、H 为垂足． ∵且∠ABC、∠DEF 都是钝角， ∴G、H 分别在 AB、DE 的延长线上． ∵CG⊥AG，FH⊥DH， ∴∠CGA＝∠FHD＝90° ∵∠CBG=180°－∠ABC，∠FEH=180°－∠DEH，∠ABC=∠DEF ∴∠CBG=∠FEH， 在△CBG 和△FEH 中， ∵∠CGB=∠FHE，∠CBG=∠FEH，BC=EF， ∴△BCG≌△EFH， ∴CG=FH， 又∵AC=DF ∴Rt△ACG≌Rt△DFH， ∴∠A=∠D， 在△ABC 和△DEF 中， ∵∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，AC=DF， ∴△ABC≌△DEF．　（6 分） （3）△DEF 就是所求作的三角形． （9 分） （4）本题解法不唯一，下列解法供参考． ∠B≥∠A． 　　　　 （11 分） C(F) B(E)A D ② ① C BA G F ED H