2018-2019学年广东省佛山市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省佛山市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省佛山市高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知 ， ，则　　‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用并集定义运算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎4，，5，；‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 考查集合的列举法的表示，以及并集的运算，属于基础题.‎ ‎2．　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数化简求值，是基本知识的考查．‎ ‎3．下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是　　‎ ‎；；；．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，依次分析4个函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，依次分析4个函数，‎ 对于，为奇函数，且在上为减函数，不符合题意；‎ 对于；为偶函数，不符合题意，‎ 对于，有，为奇函数，且，为增函数，符合题意，‎ 对于，有，为奇函数，且，为增函数，符合题意；‎ 则是奇函数且在区间上是增函数，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．‎ ‎4．方程的根所在的区间为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令函数，则方程的根即为函数的零点再根据函数零点的判定定理可得函数零点所在区间．‎ ‎【详解】‎ 令函数，则方程的根即为函数的零点，‎ 再由，且，可得函数在上有零点．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．‎ ‎5．函数的最大值为　　‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由两角和差的正余弦公式得：，由三角函数的有界性得：，可得解．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，‎ 故函数的最大值为2，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角和差的正余弦公式及三角函数的有界性，属简单题．‎ ‎6．已知函数的最小值为则实数m的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的最小值为．‎ 可知：时，由，解得，‎ 因为是增函数，所以只需，恒成立即可．‎ ‎，所以，可得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题．‎ ‎7．已知函数的部分图象如图所示，则的值可以　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数图象经过点，代入解析式得的值．‎ ‎【详解】‎ 由函数图象经过点，且此点为五点作图中第3个点，‎ 故代入解析式得，，‎ 故，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出正弦型三角函数的图象信息，确定其解析式，属于简单题．‎ ‎8．函数的大致图象为　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数，判断函数的单调性，推出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 函数是奇函数，排除选项A,B，‎ 当时，函数的导数为：，‎ 可得函数的极值点并且，，函数是减函数，，，函数是增函数，‎ 所以函数的图象是C．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象的判断，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．‎ ‎9．若，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对a，b，c通分即可得出，从而得出a，b，c的大小关系．‎ ‎【详解】‎ 又所以.‎ 所以 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的运算性质，分数指数幂的运算，对数函数的单调性．‎ ‎10．为了得到函数的图象，可以将的图象　　‎ A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．‎ ‎【详解】‎ 由于：，‎ 故：将函数图象上所有的点向左平移个单位，‎ 可得：的图象．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式、函数的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎11．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是　　‎ 参考数据：，，‎ A．2020 B．2021 C．2022 D．2023‎ ‎【答案】C ‎【解析】设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是第n年，则，进而得出．‎ ‎【详解】‎ 设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则，‎ 则，‎ 取．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎12．已知函数，对于任意，都有，且在有且只有5个零点，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得的图象关于点对称，可得，再根据在有且只有5个零点，则可得，结合所给的选项，求得的值．‎ ‎【详解】‎ 函数，对于任意，都有，‎ 故的图象关于点对称，，即，．‎ 在有且只有5个零点，则，求得，‎ 综上，结合所给的选项可得，，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象的对称性和零点，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 要使原函数有意义，则：；‎ ‎；‎ 原函数的定义域为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域．‎ ‎14．函数且的反函数过点，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由函数，且的反函数的图象过点，可得：图象过点，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由函数，且的反函数的图象过点，‎ 可得：图象过点，‎ ‎，‎ 又，．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了互为反函数的性质，属于基础题．‎ ‎15．已知，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．‎ ‎【详解】‎ 已知，，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．‎ ‎16．设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由当时，，函数是奇函数，可得当时，，从而在R上是单调递增函数，且满足，再根据不等式在恒成立，可得在恒成立，即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ 函数是奇函数 当时，‎ ‎，‎ 在R上是单调递增函数，‎ 且满足，‎ 不等式在恒成立，‎ 在恒成立，‎ 即：在恒成立，‎ ‎，‎ 解得：，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．‎ 三、解答题 ‎17．已知，‎ 求和的值．‎ 求和 ‎【答案】（1） ； （2），.‎ ‎【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用诱导公式求得的值．‎ 利用两角和差的三角公式求得和的值．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎．‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．‎ ‎18．已知函数，．‎ 若是R上的偶函数，求a的值．‎ 判断的奇偶性，并证明．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】根据是R上的偶函数，即可得出，即得出从而求出；‎ 可看出为偶函数，根据偶函数的定义证明即可．‎ ‎【详解】‎ 是R上的偶函数；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 是偶函数，证明如下：‎ 的定义域为R，且；‎ 是偶函数．‎ ‎【点睛】‎ 考查偶函数的定义及判断方法，以及对数的运算性质．‎ ‎19．写出以下各式的值：‎ ‎______；‎ ‎______；‎ ‎______．‎ 结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1），，； （2）见解析.‎ ‎【解析】利用特殊角的三角函数进行计算 当，，借助于和差角的三角函数公式进行证明即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当，，‎ 证明：，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎20．如图是半径为lm的水车截面图，在它的边缘圆周上有一动点P，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点P的初始位置为，且，设点P的纵坐标y是转动时间单位：的函数记为．‎ 求，的值，并写出函数的解析式；‎ 选用恰当的方法作出函数，的简图；‎ 试比较，，的大小直接给出大小关系，不用说明理由．‎ ‎【答案】（1），； （2）见解析； （3）‎ ‎【解析】由题意分别计算和的值，写出的解析式；‎ 根据题意列表、描点、连线，作出函数在的简图即可；‎ 由函数的图象与性质得出、与的大小．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，‎ ‎，‎ 函数，；‎ 根据题意列表如下；‎ ‎ t ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎6‎ y ‎ 1‎ ‎0‎ ‎0‎ 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；‎ 由函数的图象与性质知 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了函数图象与性质的应用问题，是中档题．‎ ‎21．已知函数，，，其中e为自然对数的底数，．‎ 试判断的单调性，并用定义证明；‎ 求证：方程没有实数根．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析.‎ ‎【解析】根据函数的单调性的定义证明即可；根据函数的单调性求出，从而证明结论．‎ ‎【详解】‎ 在递增，‎ 设a，且，‎ 则，‎ ‎，，，，‎ 故，即，‎ 故在递增；‎ 证明：当时，的值域是，‎ 由，解得：，‎ 当时，，‎ 故，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 又，故，‎ 综上，当时，，‎ 故方程没有实数根．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查转化思想，是一道常规题．‎ ‎22．设，或，，．‎ 从以下两个命题中任选一个进行证明：‎ 当时函数恰有一个零点；‎ 当时函数恰有一个零点；‎ 如图所示当时如，与的图象“好像”只有一个交点，但实际上这两个函数有两个交点，请证明：当时，与两个交点．‎ 若方程恰有4个实数根，请结合 的研究，指出实数k的取值范围不用证明．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）.‎ ‎【解析】由函数的零点及方程的根的关系得：当时，令，解得：，即函数恰有一个零点，且此零点为2，再用判别式判断函数的零点个数 由二次方程区间根的问题得：，由韦达定理得：，，所以，．‎ 结合的研究，实数k的取值范围为：，得解 ‎【详解】‎ 当时，，‎ 令，解得：，‎ 即函数恰有一个零点，且此零点为2，‎ 证明：当时，，‎ 令，解得：，‎ 所以函数恰有一个零点，且此零点为，‎ ‎，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 所以方程，有两个不等实数根，记为，，‎ 由韦达定理得：，，所以，，‎ 即，，‎ 所以当时，与两个交点．‎ 结合的研究，实数k的取值范围为：，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点及方程的根的关系、二次方程区间根的问题，属中档题．‎