2020高中数学 课时分层作业22 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 新人教A版必修4

2020高中数学 课时分层作业22 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 新人教A版必修4

课时分层作业(二十二)平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－‎4a·b等于(　　)‎ A．23　　　　 B．57　　　　‎ C．63　　　　 D．83‎ D　[因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，‎ a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，‎ 所以3|a|2－‎4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.]‎ ‎2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若‎2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)‎ A．1　　　　 B． ‎ C．2　　　　 D．4‎ C　[∵(‎2a－b)·b＝‎2a·b－|b|2‎ ‎＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，‎ ‎∴n2＝3，∴|a|＝＝2.]‎ ‎3．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sin θ等于(　　) ‎ ‎【导学号：84352258】‎ A. B. C. D. A　[设b＝(x，y)，则 a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，‎ 所以解得 即b＝(1,1)，‎ 所以cos θ＝＝，‎ 所以sin θ＝＝.]‎ ‎4．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为(　　)‎ A. B. C. D. 6‎ A　[a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝＝＝.]‎ ‎5．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于(　　) ‎ ‎【导学号：84352259】‎ A．(2,1) B．(1,0)‎ C． D．(0，－1)‎ A　[设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，‎ 因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，‎ 因为(c－a)∥b，所以＝，即2x－y－3＝0.‎ 由解得所以c＝(2,1)．]‎ 二、填空题 ‎6．已知向量a＝(1，－2)，向量b与a共线，且|b|＝4|a|，则b＝________.‎ ‎(4，－8)或(－4,8)　[因为b∥a，令b＝λa＝(λ，－2λ)，‎ 又|b|＝4|a|，‎ 所以(λ)2＋(－2λ)2＝16(1＋4)，故有λ2＝16，解得λ＝±4，‎ 所以b＝(4，－8)或(－4,8)．]‎ ‎7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．‎ ‎19　[ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，‎ a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．‎ 又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，‎ 即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]‎ ‎8．如图246，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________. ‎ ‎【导学号：84352260】‎ 图246‎ ‎－　[不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 6‎ 则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，‎ 所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，‎ 所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，‎ ‎|a＋b|＝，|a－b|＝，‎ 所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.]‎ 三、解答题 ‎9．已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，－3)，且(‎2a＋b)⊥b.‎ ‎(1)求向量a的坐标．‎ ‎(2)求向量a与b的夹角．‎ ‎[解]　(1)设a＝(x，y)，‎ 因为|a|＝，则＝， ①‎ 又因为b＝(1，－3)，且(‎2a＋b)⊥b，‎ ‎2a‎＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)，‎ 所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，‎ ‎ ②‎ 由①②解得或 所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)．‎ ‎(2)设向量a与b的夹角为θ，‎ 所以cos θ＝＝＝－或cos θ＝ ‎＝＝－，‎ 因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角θ＝.‎ ‎10．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值.‎ ‎ 【导学号：84352261】‎ ‎[解]　∵＝(2,3)，＝(1，k)，‎ ‎∴＝－＝(－1，k－3)．‎ 若∠A＝90°，‎ 则·＝2×1＋3×k＝0，‎ 6‎ ‎∴k＝－；‎ 若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，‎ ‎∴k＝；‎ 若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，‎ ‎∴k＝.‎ 综上，k的值为－或或.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为(　　)‎ A．－ B． C．或－ D．或 C　[∵tan α＝－2，‎ ‎∴可设P(x，－2x)，‎ cos〈，〉＝＝，‎ 当x＞0时，cos〈，〉＝，‎ 当x＜0时，cos〈，〉＝－.故选C.]‎ ‎2．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为(　　) ‎ ‎【导学号：84352262】‎ A．3　　　　 B．5 ‎ C．7　　　　 D．8‎ B　[如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，设P(0，x)(0≤x≤a)，则＋3＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,‎3a－4x)，‎ 6‎ 所以|＋3|＝≥5.]‎ ‎3．如图247所示，已知点A(1,1)，单位圆上半部分上的点B满足·＝0，则向量的坐标为________．‎ 图247‎ 　[根据题意可设B(cos θ，sin θ)(0＜θ＜π)，‎ ＝(1,1)，＝(cos θ，sin θ)．‎ 由·＝0得sin θ＋cos θ＝0，tan θ＝－1，‎ 所以θ＝，cos＝－，sin＝，‎ 所以＝.]‎ ‎4．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上存在一点P使·有最小值，则点P的坐标是________. ‎ ‎【导学号：84352263】‎ ‎(3,0)　[设点P的坐标是(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，‎ 所以·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，‎ 当x＝3时·取得最小值，故点P的坐标为(3,0)．]‎ ‎5．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，‎ ‎(1)求证：AB⊥AD；‎ ‎(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值. ‎ ‎【导学号：84352264】‎ ‎[解]　(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，‎ ‎∴＝(1,1)，＝(－3,3)，‎ 又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，‎ 6‎ ‎∴⊥，即AB⊥AD.‎ ‎(2)解：⊥，四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴＝.‎ 设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，‎ ‎∴得 ‎∴C点坐标为(0,5)．‎ 由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，‎ 所以·＝8＋8＝16＞0，‎ ‎||＝2，||＝2.‎ 设与夹角为θ，则 cos θ＝＝＝＞0，‎ 解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.‎ 6‎