2018年上海市中考数学试卷

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2018年上海市中考数学试卷

‎2018年上海市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分。下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的)‎ ‎1.(4.00分)(2018•上海)下列计算﹣的结果是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.‎ ‎2.(4.00分)(2018•上海)下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断,正确的是(  )‎ A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根 ‎3.(4.00分)(2018•上海)下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述,正确的是(  )‎ A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的 ‎4.(4.00分)(2018•上海)据统计,某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是:27,30,29,25,26,28,29,那么这组数据的中位数和众数分别是(  )‎ A.25和30 B.25和29 C.28和30 D.28和29‎ ‎5.(4.00分)(2018•上海)已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是(  )‎ A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC ‎6.(4.00分)(2018•上海)如图,已知∠POQ=30°,点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间),半径长为2的⊙A与直线OP相切,半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是(  )‎ A.5<OB<9 B.4<OB<9 C.3<OB<7 D.2<OB<7‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)‎ ‎7.(4.00分)(2018•上海)﹣8的立方根是   .‎ ‎8.(4.00分)(2018•上海)计算:(a+1)2﹣a2=   .‎ ‎9.(4.00分)(2018•上海)方程组的解是   .‎ ‎10.(4.00分)(2018•上海)某商品原价为a元,如果按原价的八折销售,那么售价是   元.(用含字母a的代数式表示).‎ ‎11.(4.00分)(2018•上海)已知反比例函数y=(k是常数,k≠1)的图象有一支在第二象限,那么k的取值范围是   .‎ ‎12.(4.00分)(2018•上海)某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台,已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示,那么20﹣30元这个小组的组频率是   .‎ ‎13.(4.00分)(2018•上海)从,π,这三个数中选一个数,选出的这个数是无理数的概率为   .‎ ‎14.(4.00分)(2018•上海)如果一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0),那么y的值随x的增大而   .(填“增大”或“减小”)‎ ‎15.(4.00分)(2018•上海)如图,已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点,联结DE并延长,与AB的延长线交于点F.设=,=那么向量用向量、表示为   .‎ ‎16.(4.00分)(2018•上海)通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是   度.‎ ‎17.(4.00分)(2018•上海)如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是   .‎ ‎18.(4.00分)(2018•上海)对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共7题,满分78分)‎ ‎19.(10.00分)(2018•上海)解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.‎ ‎20.(10.00分)(2018•上海)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=.‎ ‎21.(10.00分)(2018•上海)如图,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.‎ ‎(1)求边AC的长;‎ ‎(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值.‎ ‎22.(10.00分)(2018•上海)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域)‎ ‎(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?‎ ‎23.(12.00分)(2018•上海)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.‎ ‎(1)求证:EF=AE﹣BE;‎ ‎(2)连接BF,如果=.求证:EF=EP.‎ ‎24.(12.00分)(2018•上海)在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.‎ ‎(1)求这条抛物线的表达式;‎ ‎(2)求线段CD的长;‎ ‎(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.‎ ‎25.(14.00分)(2018•上海)已知⊙O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC,垂足为点F.‎ ‎(1)如图1,如果AC=BD,求弦AC的长;‎ ‎(2)如图2,如果E为弦BD的中点,求∠ABD的余切值;‎ ‎(3)联结BC、CD、DA,如果BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边,求△ACD的面积.‎ ‎ ‎ ‎2018年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分。下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的)‎ ‎1.(4.00分)(2018•上海)下列计算﹣的结果是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.‎ ‎【分析】先化简,再合并同类项即可求解.‎ ‎【解答】解:﹣‎ ‎=3﹣‎ ‎=2.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】考查了二次根式的加减法,关键是熟练掌握二次根式的加减法法则:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变.‎ ‎ ‎ ‎2.(4.00分)(2018•上海)下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断,正确的是(  )‎ A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根 ‎【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=13>0,进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根.‎ ‎【解答】解:∵a=1,b=1,c=﹣3,‎ ‎∴△=b2﹣4ac=12﹣4×(1)×(﹣3)=13>0,‎ ‎∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎3.(4.00分)(2018•上海)下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述,正确的是(  )‎ A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的 ‎【分析】A、由a=1>0,可得出抛物线开口向上,选项A不正确;‎ B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=,选项B不正确;‎ C、代入x=0求出y值,由此可得出抛物线经过原点,选项C正确;‎ D、由a=1>0及抛物线对称轴为直线x=,利用二次函数的性质,可得出当x>时,y随x值的增大而增大,选项D不正确.‎ 综上即可得出结论.‎ ‎【解答】解:A、∵a=1>0,‎ ‎∴抛物线开口向上,选项A不正确;‎ B、∵﹣=,‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=,选项B不正确;‎ C、当x=0时,y=x2﹣x=0,‎ ‎∴抛物线经过原点,选项C正确;‎ D、∵a>0,抛物线的对称轴为直线x=,‎ ‎∴当x>时,y随x值的增大而增大,选项D不正确.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象,利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(4.00分)(2018•上海)据统计,某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是:27,30,29,25,26,28,29,那么这组数据的中位数和众数分别是(  )‎ A.25和30 B.25和29 C.28和30 D.28和29‎ ‎【分析】根据中位数和众数的概念解答.‎ ‎【解答】解:对这组数据重新排列顺序得,25,26,27,28,29,29,30,‎ 处于最中间是数是28,‎ ‎∴这组数据的中位数是28,‎ 在这组数据中,29出现的次数最多,‎ ‎∴这组数据的众数是29,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查的是中位数、众数的概念,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.‎ ‎ ‎ ‎5.(4.00分)(2018•上海)已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是(  )‎ A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC ‎【分析】由矩形的判定方法即可得出答案.‎ ‎【解答】解:A、∠A=∠B,∠A+∠B=180°,所以∠A=∠B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形,正确;‎ B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形,错误;‎ C、AC=BD,对角线相等,可推出平行四边形ABCD是矩形,故正确;‎ D、AB⊥BC,所以∠B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形,正确;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理.但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定.‎ ‎ ‎ ‎6.(4.00分)(2018•上海)如图,已知∠‎ POQ=30°,点A、B在射线OQ上(点A在点O、B之间),半径长为2的⊙A与直线OP相切,半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是(  )‎ A.5<OB<9 B.4<OB<9 C.3<OB<7 D.2<OB<7‎ ‎【分析】作半径AD,根据直角三角形30度角的性质得:OA=4,再确认⊙B与⊙A相切时,OB的长,可得结论.‎ ‎【解答】解:设⊙A与直线OP相切时切点为D,连接AD,‎ ‎∴AD⊥OP,‎ ‎∵∠O=30°,AD=2,‎ ‎∴OA=4,‎ 当⊙B与⊙A相内切时,设切点为C,如图1,‎ ‎∵BC=3,‎ ‎∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5;‎ 当⊙A与⊙B相外切时,设切点为E,如图2,‎ ‎∴OB=OA+AB=4+2+3=9,‎ ‎∴半径长为3的⊙B与⊙A相交,那么OB的取值范围是:5<OB<9,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理,熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键,还利用了数形结合的思想,通过图形确定OB的取值范围.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)‎ ‎7.(4.00分)(2018•上海)﹣8的立方根是 ﹣2 .‎ ‎【分析】利用立方根的定义即可求解.‎ ‎【解答】解:∵(﹣2)3=﹣8,‎ ‎∴﹣8的立方根是﹣2.‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎【点评】本题主要考查了立方根的概念.如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a(x3=a),那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做三次方根.读作“三次根号a”其中,a叫做被开方数,3叫做根指数.‎ ‎ ‎ ‎8.(4.00分)(2018•上海)计算:(a+1)2﹣a2= 2a+1 .‎ ‎【分析】原式利用完全平方公式化简,合并即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=a2+2a+1﹣a2=2a+1,‎ 故答案为:2a+1‎ ‎【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(4.00分)(2018•上海)方程组的解是 , .‎ ‎【分析】方程组中的两个方程相加,即可得出一个一元二次方程,求出方程的解,再代入求出y即可.‎ ‎【解答】解:‎ ‎②+①得:x2+x=2,‎ 解得:x=﹣2或1,‎ 把x=﹣2代入①得:y=﹣2,‎ 把x=1代入①得:y=1,‎ 所以原方程组的解为,,‎ 故答案为:,.‎ ‎【点评】本题考查了解高次方程组,能把二元二次方程组转化成一元二次方程是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎10.(4.00分)(2018•上海)某商品原价为a元,如果按原价的八折销售,那么售价是 0.8a 元.(用含字母a的代数式表示).‎ ‎【分析】根据实际售价=原价×即可得.‎ ‎【解答】解:根据题意知售价为0.8a元,‎ 故答案为:0.8a.‎ ‎【点评】本题主要考查列代数式,解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系.‎ ‎ ‎ ‎11.(4.00分)(2018•上海)已知反比例函数y=(k是常数,k≠1)的图象有一支在第二象限,那么k的取值范围是 k<1 .‎ ‎【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限,故k﹣1<0,求出k的取值范围即可.‎ ‎【解答】解:∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限,‎ ‎∴k﹣1<0,‎ 解得k<1.‎ 故答案为:k<1.‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数的性质,熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(4.00分)(2018•上海)某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台,已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示,那么20﹣30元这个小组的组频率是 0.25 .‎ ‎【分析】根据“频率=频数÷总数”即可得.‎ ‎【解答】解:20﹣30元这个小组的组频率是50÷200=0.25,‎ 故答案为:0.25.‎ ‎【点评】本题主要考查频数分布直方图,解题的关键是掌握频率=频数÷总数.‎ ‎ ‎ ‎13.(4.00分)(2018•上海)从,π,这三个数中选一个数,选出的这个数是无理数的概率为  .‎ ‎【分析】由题意可得共有3种等可能的结果,其中无理数有π、共2种情况,则可利用概率公式求解.‎ ‎【解答】解:∵在,π,这三个数中,无理数有π,这2个,‎ ‎∴选出的这个数是无理数的概率为,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义.此题比较简单,注意用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎14.(4.00分)(2018•上海)如果一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0),那么y的值随x的增大而 减小 .(填“增大”或“减小”)‎ ‎【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值,再利用一次函数的性质即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵一次函数y=kx+3(k是常数,k≠0)的图象经过点(1,0),‎ ‎∴0=k+3,‎ ‎∴k=﹣3,‎ ‎∴y的值随x的增大而减小.‎ 故答案为:减小.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质,牢记“k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x的增大而减小”是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(4.00分)(2018•上海)如图,已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点,联结DE并延长,与AB的延长线交于点F.设=,=那么向量用向量、表示为 +2 .‎ ‎【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形,则DC=BF,故AF=2AB=2DC,结合三角形法则进行解答.‎ ‎【解答】解:如图,连接BD,FC,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴DC∥AB,DC=AB.‎ ‎∴△DCE∽△FBE.‎ 又E是边BC的中点,‎ ‎∴==,‎ ‎∴EC=BE,即点E是DF的中点,‎ ‎∴四边形DBFC是平行四边形,‎ ‎∴DC=BF,故AF=2AB=2DC,‎ ‎∴=+=+2=+2.‎ 故答案是:+2.‎ ‎【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.注意掌握三角形法则的应用是关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(4.00分)(2018•上海)通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,那么该多边形的内角和是 540 度.‎ ‎【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形,然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和.‎ ‎【解答】解:从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条,则将多边形分割为3个三角形.‎ 所以该多边形的内角和是3×180°=540°.‎ 故答案为540.‎ ‎【点评】本题考查了多边形内角与外角:多边的内角和定理:(n﹣2)•180 (n≥‎ ‎3)且n为整数).此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出(n﹣3)条对角线,将n边形分割为(n﹣2)个三角形.‎ ‎ ‎ ‎17.(4.00分)(2018•上海)如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是  .‎ ‎【分析】作AH⊥BC于H,交GF于M,如图,先利用三角形面积公式计算出AH=3,设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3﹣x,再证明△AGF∽△ABC,则根据相似三角形的性质得=,然后解关于x的方程即可.‎ ‎【解答】解:作AH⊥BC于H,交GF于M,如图,‎ ‎∵△ABC的面积是6,‎ ‎∴BC•AH=6,‎ ‎∴AH==3,‎ 设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3﹣x,‎ ‎∵GF∥BC,‎ ‎∴△AGF∽△ABC,‎ ‎∴=,即=,解得x=,‎ 即正方形DEFG的边长为.‎ 故答案为.‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在应用相似三角形的性质时,主要利用相似比计算相应线段的长.也考查了正下方的性质.‎ ‎ ‎ ‎18.(4.00分)(2018•上海)对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅锤方向的边长称为该矩形的高.如图2,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是  .‎ ‎【分析】先根据要求画图,设矩形的宽AF=x,则CF=x,根据勾股定理列方程可得结论.‎ ‎【解答】解:在菱形上建立如图所示的矩形EAFC,‎ 设AF=x,则CF=x,‎ 在Rt△CBF中,CB=1,BF=x﹣1,‎ 由勾股定理得:BC2=BF2+CF2,‎ ‎,‎ 解得:x=或0(舍),‎ 即它的宽的值是,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理,理解新定义中矩形的宽和高是关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共7题,满分78分)‎ ‎19.(10.00分)(2018•上海)解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.‎ ‎【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分就是不等式组的解集.‎ ‎【解答】解:‎ 解不等式①得:x>﹣1,‎ 解不等式②得:x≤3,‎ 则不等式组的解集是:﹣1<x≤3,‎ 不等式组的解集在数轴上表示为:‎ ‎【点评】本题考查了不等式组的解法,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.‎ ‎ ‎ ‎20.(10.00分)(2018•上海)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=.‎ ‎【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a的值代入计算可得.‎ ‎【解答】解:原式=[﹣]÷‎ ‎=•‎ ‎=,‎ 当a=时,‎ 原式===5﹣2.‎ ‎【点评】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则.‎ ‎ ‎ ‎21.(10.00分)(2018•上海)如图,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=.‎ ‎(1)求边AC的长;‎ ‎(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值.‎ ‎【分析】(1)过A作AE⊥BC,在直角三角形ABE中,利用锐角三角函数定义求出AC的长即可;‎ ‎(2)由DF垂直平分BC,求出BF的长,利用锐角三角函数定义求出DF的长,利用勾股定理求出BD的长,进而求出AD的长,即可求出所求.‎ ‎【解答】解:(1)作A作AE⊥BC,‎ 在Rt△ABE中,tan∠ABC==,AB=5,‎ ‎∴AE=3,BE=4,‎ ‎∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1,‎ 在Rt△AEC中,根据勾股定理得:AC==;‎ ‎(2)∵DF垂直平分BC,‎ ‎∴BD=CD,BF=CF=,‎ ‎∵tan∠DBF==,‎ ‎∴DF=,‎ 在Rt△BFD中,根据勾股定理得:BD==,‎ ‎∴AD=5﹣=,‎ 则=.‎ ‎【点评】此题考查了解直角三角形,线段垂直平分线的性质,以及等腰三角形的性质,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(10.00分)(2018•上海)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域)‎ ‎(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式,再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程,此题得解.‎ ‎【解答】解:(1)设该一次函数解析式为y=kx+b,‎ 将(150,45)、(0,60)代入y=kx+b中,‎ ‎,解得:,‎ ‎∴该一次函数解析式为y=﹣x+60.‎ ‎(2)当y=﹣x+60=8时,‎ 解得x=520.‎ 即行驶520千米时,油箱中的剩余油量为8升.‎ ‎530﹣520=10千米,‎ 油箱中的剩余油量为8升时,距离加油站10千米.‎ ‎∴在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是10千米.‎ ‎【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征,根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(12.00分)(2018•上海)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.‎ ‎(1)求证:EF=AE﹣BE;‎ ‎(2)连接BF,如果=.求证:EF=EP.‎ ‎【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠‎ BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠1=∠3,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;‎ ‎(2)利用=和AF=BE得到=,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再证明∠4=∠5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.‎ ‎【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴AB=AD,∠BAD=90°,‎ ‎∵BE⊥AP,DF⊥AP,‎ ‎∴∠BEA=∠AFD=90°,‎ ‎∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,‎ ‎∴∠1=∠3,‎ 在△ABE和△DAF中 ‎,‎ ‎∴△ABE≌△DAF,‎ ‎∴BE=AF,‎ ‎∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE;‎ ‎(2)如图,∵=,‎ 而AF=BE,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴Rt△BEF∽Rt△DFA,‎ ‎∴∠4=∠3,‎ 而∠1=∠3,‎ ‎∴∠4=∠1,‎ ‎∵∠5=∠1,‎ ‎∴∠4=∠5,‎ 即BE平分∠FBP,‎ 而BE⊥EP,‎ ‎∴EF=EP.‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质.‎ ‎ ‎ ‎24.(12.00分)(2018•上海)在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.‎ ‎(1)求这条抛物线的表达式;‎ ‎(2)求线段CD的长;‎ ‎(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式;‎ ‎(2)利用配方法得到y=﹣(x﹣2)2+,则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2,如图,设CD=t,则D(2,﹣t),根据旋转性质得∠PDC=90°,DP=DC=t,则P(2+t,﹣t),然后把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程,从而解方程可得到CD的长;‎ ‎(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,),利用抛物线的平移规律确定E点坐标为(2,﹣2),设M(0,m),当m>0时,利用梯形面积公式得到•(m++2)•2=8当m<0时,利用梯形面积公式得到•(﹣m++2)•2=8,然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标.‎ ‎【解答】解:(1)把A(﹣1,0)和点B(0,)代入y=﹣x2+bx+c得,解得,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+;‎ ‎(2)∵y=﹣(x﹣2)2+,‎ ‎∴C(2,),抛物线的对称轴为直线x=2,‎ 如图,设CD=t,则D(2,﹣t),‎ ‎∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处,‎ ‎∴∠PDC=90°,DP=DC=t,‎ ‎∴P(2+t,﹣t),‎ 把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得﹣(2+t)2+2(2+t)+=﹣t,‎ 整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,‎ ‎∴线段CD的长为2;‎ ‎(3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,),‎ ‎∵抛物线平移,使其顶点C(2,)移到原点O的位置,‎ ‎∴抛物线向左平移2个单位,向下平移个单位,‎ 而P点(4,)向左平移2个单位,向下平移个单位得到点E,‎ ‎∴E点坐标为(2,﹣2),‎ 设M(0,m),‎ 当m>0时,•(m++2)•2=8,解得m=,此时M点坐标为(0,);‎ 当m<0时,•(﹣m++2)•2=8,解得m=﹣,此时M点坐标为(0,﹣);‎ 综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,﹣).‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.‎ ‎ ‎ ‎25.(14.00分)(2018•上海)已知⊙O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD⊥AC,垂足为点F.‎ ‎(1)如图1,如果AC=BD,求弦AC的长;‎ ‎(2)如图2,如果E为弦BD的中点,求∠ABD的余切值;‎ ‎(3)联结BC、CD、DA,如果BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边,求△ACD的面积.‎ ‎【分析】(1)由AC=BD知+=+,得=,根据OD⊥AC知=,从而得==,即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°,利用AF=AOsin∠AOF可得答案;‎ ‎(2)连接BC,设OF=t,证OF为△ABC中位线及△DEF≌△‎ BEC得BC=DF=2t,由DF=1﹣t可得t=,即可知BC=DF=,继而求得EF=AC=,由余切函数定义可得答案;‎ ‎(3)先求出BC、CD、AD所对圆心角度数,从而求得BC=AD=、OF=,从而根据三角形面积公式计算可得.‎ ‎【解答】解:(1)∵OD⊥AC,‎ ‎∴=,∠AFO=90°,‎ 又∵AC=BD,‎ ‎∴=,即+=+,‎ ‎∴=,‎ ‎∴==,‎ ‎∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°,‎ ‎∵AB=2,‎ ‎∴AO=BO=1,‎ ‎∴AF=AOsin∠AOF=1×=,‎ 则AC=2AF=;‎ ‎(2)如图1,连接BC,‎ ‎∵AB为直径,OD⊥AC,‎ ‎∴∠AFO=∠C=90°,‎ ‎∴OD∥BC,‎ ‎∴∠D=∠EBC,‎ ‎∵DE=BE、∠DEF=∠BEC,‎ ‎∴△DEF≌△BEC(ASA),‎ ‎∴BC=DF、EC=EF,‎ 又∵AO=OB,‎ ‎∴OF是△ABC的中位线,‎ 设OF=t,则BC=DF=2t,‎ ‎∵DF=DO﹣OF=1﹣t,‎ ‎∴1﹣t=2t,‎ 解得:t=,‎ 则DF=BC=、AC===,‎ ‎∴EF=FC=AC=,‎ ‎∵OB=OD,‎ ‎∴∠ABD=∠D,‎ 则cot∠ABD=cot∠D===;‎ ‎(3)如图2,‎ ‎∵BC是⊙O的内接正n边形的一边,CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边,‎ ‎∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=,‎ 则+2×=180,‎ 解得:n=4,‎ ‎∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°,‎ ‎∴BC=AC=,‎ ‎∵∠AFO=90°,‎ ‎∴OF=AOcos∠AOF=,‎ 则DF=OD﹣OF=1﹣,‎ ‎∴S△ACD=AC•DF=××(1﹣)=.‎ ‎【点评】本题主要考查圆的综合题,解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点.‎ ‎ ‎
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