北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

首师附高二上学期期中数学试卷 一、选择题 ‎1.抛物线的焦点是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.‎ ‎【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.‎ ‎【点睛】求圆锥曲线焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.‎ ‎2.“”是“直线与直线垂直”的（ ）．‎ A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当直线与直线垂直时，‎ ‎，即，‎ ‎∴“”是“直线与直线垂直”的 既不充分也不必要条件．‎ ‎3.若双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且，则等于( )‎ A. 11 B. ‎9 ‎C. 5 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线定义可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】由双曲线定义可知：‎ 又 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线定义的应用，属于基础题.‎ ‎4.直线被圆(为参数)截得的弦长为( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的参数方程化为普通方程，可确定圆心和半径；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据垂径定理求得弦长.‎ ‎【详解】由圆的参数方程可得圆的普通方程为：‎ 圆是以为圆心，为半径的圆 圆心到直线距离 弦长为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，涉及到参数方程化普通方程、点到直线距离公式和垂径定理的应用，属于常考题型.‎ ‎5.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入椭圆方程求得，可表示出，由垂直关系可知，从而构造出关于的齐次方程，由求得结果.‎ ‎【详解】将代入椭圆方程得：，‎ 又椭圆焦点 ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于的齐次方程，从而根据求得离心率.‎ ‎6.设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（　　）‎ A. 若m∥n，n⊂α，则m∥α B. 若m∥α，n⊂α，则m∥n C. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D. 若m⊥β，m⊂α，则α⊥β ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．‎ ‎【详解】由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，得：‎ 在A中，若m∥n，n⊂α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；‎ 在B中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；‎ 在C中，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误；‎ 在D中，若m⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎7.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）‎ A 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】F（2，0）,K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，‎ ‎∴|AK|=|AM|，三角形APM为等腰直角三角形，‎ 设A（m2，2m）（m＞0）,‎ 由得，解得 则△AFK的面积=4×2m•=4m=8, ‎ 故选：B.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理，正弦定理即可得到结论．‎ ‎【详解】法1：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，则，‎ 设，，且，椭圆离心率为，双曲线离心率为，‎ 在中，由余弦定理得：，‎ 由椭圆和双曲线定义可得：，，，‎ 令，‎ 当时， ，即 由双曲线的对称性可知，当时，结论一致，的最大值为.‎ 法2：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，‎ 则，则a1+a2＝m，则，‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝sin（120°﹣θ）≤＝.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和双曲线离心率的求解问题，涉及到椭圆和双曲线定义、余弦，正弦定理的应用、函数最值的求解等知识，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎9.已知直线的参数方程为为参数，则直线的倾斜角为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先消去参数，化为普通方程，然后求解斜率，可得倾斜角.‎ ‎【详解】因为，所以，两式相除可得，斜率为，故倾斜角为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的参数方程，掌握常用消参的方法是求解的关键.‎ ‎10.若圆与圆相切，则实数______.‎ ‎【答案】或9.‎ ‎【解析】‎ 分析：首先将圆C的方程化为标准方程，根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.‎ 详解：圆C：可化为，‎ 因为与圆C相切，‎ 所以或，‎ 所以或，故答案是或 点睛：该题考查的是有关两圆的位置关系的问题，根据两圆相切，得到两圆内切或外切，从而得到两圆心之间的距离所满足的关系式，从而求得结果，在解题的过程中，需要注意相切应分为外切和内切两种情况.‎ ‎11.若方程表示的是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆标准方程的形式和焦点位置可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：，解得： 的取值范围为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆焦点所在轴求解参数范围的问题，属于基础题.‎ ‎12.直线与双曲线相交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由中点坐标公式可知，；利用点差法可求得直线斜率，进而得到直线方程.‎ ‎【详解】设，‎ 为中点 ，‎ 由两式作差可得：‎ 直线斜率 直线方程为：，即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据弦中点求解直线方程的问题，关键是能够熟练应用点差法，将直线的斜率与中点坐标之间的关系表示出来，从而求得直线斜率.‎ ‎13.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆方程得到圆心和半径，根据两圆关于直线对称可知圆心关于直线对称，半径相同；由点关于直线对称点的求解方法构造方程求得圆的圆心，进而得到圆的标准方程.‎ ‎【详解】由圆的方程可知圆的圆心为，半径为 设圆的圆心为 与关于直线对称 ‎，解得： 圆的圆心为，半径为 圆的标准方程为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求解，关键是明确两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相同，进而利用点关于直线对称点的求解方法求得对称圆的圆心.‎ ‎14.已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：‎ ‎①点的轨迹关于轴对称；②的最小值为2；‎ ‎③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，‎ 其中，所有正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ 分析：运用椭圆的定义可得也在椭圆上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断②正确；通过的变化，可得③不正确.‎ 详解：‎ 椭圆的两个焦点分别为 和，‎ 短轴的两个端点分别为和，‎ 设，点在椭圆上，‎ 且满足，‎ 由椭圆定义可得，，‎ 即有在椭圆上，‎ 对于①，将换为方程不变，‎ 则点的轨迹关于轴对称，故①正确.；‎ 对于②，由图象可得，当满足，‎ 即有，‎ 即时，取得最小值，‎ 可得时，‎ 即有取得最小值为，故②正确；‎ 对于③，由图象可得轨迹关于轴对称，且，‎ 则椭圆上满足条件的点有个，‎ 不存在使得椭圆上满足条件的点有个，故③不正确.‎ ‎，故答案为①②.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题.‎ ‎ 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ 三、解答题 ‎15.已知动点与平面上点，的距离之和等于.‎ ‎(1)试求动点轨迹方程.‎ ‎(2)设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆定义可知所求轨迹为，的椭圆，进而求得，从而得到所求轨迹；‎ ‎（2）将直线方程代入椭圆方程，得到韦达定理的形式；由弦长公式可构造方程求得，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）‎ 由椭圆定义可知点轨迹是以为焦点的椭圆，且，‎ ‎ 动点的轨迹方程为：‎ ‎（2）将直线代入椭圆方程得：‎ 则 ‎ 设， ，‎ ‎，解得：‎ 直线的方程为：‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求解、弦长公式的应用；关键是能够熟练掌握椭圆的定义，进而得到动点所满足的方程，属于基础题.‎ ‎16.如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，.‎ ‎(1)若点为上一点且，证明：平面.‎ ‎(2)求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作，根据比例关系可知，从而可证得四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；‎ ‎（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.‎ ‎【详解】（1）作交于，连接 ‎ ‎ 又且 且 四边形为平行四边形 ‎ 平面，平面 平面 ‎（2）平面，平面 ‎ 又， ‎ 则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，‎ ‎，，‎ 设平面法向量 则，令，则， ‎ 设平面的法向量 则，令，则， ‎ ‎ ‎ 二面角为锐二面角 二面角的大小为 ‎【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中的角度问题的方法；需注意的是，法向量的夹角可能为二面角，也可能为二面角的补角.‎ ‎17.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用离心率可得，进而得到；将点代入椭圆方程可求得，从而得到椭圆方程；‎ ‎（2）①当直线斜率不存在时，可求得坐标，从而得到，得到；②当直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切可得到；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出，整理可得，得到；综合两种情况可得到结论.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，即 椭圆方程为 将代入椭圆方程得： ‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）①当直线斜率不存在时，方程为：或 当时，，，此时 ‎ ‎ 当时，同理可得 ‎②当直线斜率存在时，设方程为：，即 直线与圆相切 ，即 联立得：‎ 设， ，‎ 代入整理可得： ‎ 综上所述：为定值 ‎【点睛】本题考查根据椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果.‎ ‎18.设、分别为椭圆的左右顶点，设点为直线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、.‎ ‎（1）判断与以为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明.‎ ‎（2）记直线与轴的交点为，在直线上，求点，使得.‎ ‎【答案】（1）点在以为直径的圆内，证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，由在椭圆上可得且；由三点共线可得，表示出，可整理得到，从而可知为锐角，得到为钝角，从而得到在以为直径的圆内；‎ ‎（2）设，，由三点共线得到；根据可知，从而构造出关于的方程，求得，进而得到，求得点坐标.‎ ‎【详解】（1）点在以为直径的圆内．证明如下：‎ 由已知可得，，设，，‎ 在椭圆上，…①‎ 又点异于顶点，‎ 由三点共线可得：，即 ‎，‎ ‎…②‎ 将①代入②化简可得：‎ 为锐角，为钝角 在以为直径的圆内 ‎（2）设，‎ 由三点共线可得：，即 又等价于 ， ，‎ ‎，解得：，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到点与圆的位置关系的判定、共线向量的坐标表示等知识；关键是能够通过三点共线构造方程，从而减少变量的个数，进而利用已知条件中的等量关系求得结果.‎ ‎ ‎