中考数学专题复习练习:垂直于弦的直径1

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中考数学专题复习练习:垂直于弦的直径1

垂直弦的直径 一、圆是轴对称(有无数条对称轴,过圆心的任一条直线都是对称轴);又是中心对称,对称中心是圆心.‎ C D A B O E 二、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.‎ ‎ 符号语言:∵CD为⊙O的直径,AB为⊙O的弦,且CD⊥AB,垂足为E,‎ ‎∴ AE=BE, = , = .‎ 推 论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.‎ ‎∵ CD为⊙O的直径,AB为⊙O的弦(不是直径),且AE=BE.‎ ‎∴ CD⊥AB, = , = .‎ 弦心距:圆心到弦的距离(垂线段OE)‎ 考点分析:‎ 垂径定理及推论的应用,证明.‎ 典型例题分析 类型1. 垂径定理及推论概念 例1.下面四个命题中正确的一个是( )‎ A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 例2. 如图1-2,如果为⊙直径,弦,垂足为,‎ 那么下列结论中错误的是( )‎ A. B. C. D.‎ 例3. 如图1-3在⊙O中,弦CD垂直平分半径OA,且CD=‎6cm, ‎ 则半径OA的长为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ C ‎ A ‎ D ‎ O ‎ ‎ 图1-2 图1-3 图1-4‎ 例4. 如图1-4,⊙O的直径CD与弦AB交于点M,添加条件:_____________(写出一个即可),就可得到M是AB的中点.类型2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中,通常的是要利用定理构建直角三角形,利用勾股定理进行运算.‎ 例5. 过⊙内一点的最长的弦长为,最短的弦长为,那么⊙的半径等于________,的长为________‎ 类型2. 垂径定理分类讨论 例1. 如图2-1,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,‎ 则OM的长的取值范围是( )‎ A. B. C. D. 图2-1 ‎ 例2. 已知:AB、CD为⊙O的两条弦,且AB∥CD,⊙O的半径为‎5cm,AB=‎8cm,CD=‎6cm,求AB、CD之间的距离.‎ 例3. 已知:△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=‎5cm,圆心O到BC的距离为‎3cm,求AB的长.‎ 类型3. 利用垂径定理求线段长度,角度 例1. 如图3-1,在圆中,直径垂直于弦,并且交于,直径交于,且,求.‎ ‎ ‎ ‎ 图3-1‎ 例2. 如图3-2,AB为⊙O的直径,且AB⊥弦CD于E,CD=16,AE=4,求OE的长.‎ A C B C D ‎ CCC E ‎ ‎.O ‎ ‎ 图3-2‎ 例3. 如图3-3,在中,∠C=900,AC=‎5cm,BC=‎12cm,以C为圆心、AC为半径的圆交斜边于D,求AD的长.‎ A ‎ C ‎ B ‎ D ‎ 图3-3‎ 例4. 如图3-4,已知:AB是⊙O的直径,弦CD交AB于E点,BE=1,AE=5,∠AEC=300,‎ 求CD的长.‎ B ‎ D ‎ C ‎ B ‎ A ‎ ‎.O ‎ ‎ 图3-4‎ 例5. 如图3-5,O是两个同心圆的圆心,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,OE⊥CD于E,若AB=2CD=4OE ‎ 求:大圆半径R与小圆半径r之比.‎ A ‎ C ‎ O ‎ E ‎ D ‎ B ‎ ‎ 图3-5‎ 类型4. 垂径定理相关证明 例1.如图4-1,,是⊙的直径,.求证:.‎ ‎ 图4-1‎ 例2.如图4-2,F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任一点,A是 的中点,AD⊥BC于D.‎ 求证:‎ 图4-2‎ 例3.已知:如图4-3,⊙的弦,相交于点,是的平分线,点,分别是, 的中点,分别交,于点,.求证:.‎ ‎ 图4-3‎ 例4.如图,⊙的直径和弦相交于点,,,垂足分别是,.‎ ‎(1)求证:.‎ ‎(2)若,,求的值.‎ 图4-4‎ 类型5. 垂径定理的综合应用 例1. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图5-1所示,如果水管横截面的半径 是‎13cm,水面宽,则水管中水深是_______cm. 图5-1‎ 例2. 如图5-2,某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度为米,拱顶高出水面米,现有一艘宽米,船仓顶部为方形并高出水面米的货船要经过这里.问货船能否顺利通过这座拱桥?‎ ‎ 图5-2‎ 例3. 如图5-3,在某养殖场A处发现高致病性禽流感,为防止禽流感蔓延,政府规定离疫点‎3千米范围内为捕杀区;离疫点3至‎5千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路EB通疫区,若在捕杀区内CD=‎4千米,问这条公路在改免疫区内多少千米?‎ E ‎ C ‎ D ‎ B ‎ ‎.A ‎ 图5-3‎ ‎【拓展提升】‎ 例1. 如图6-1,已知在⊙中,弦,且,垂足为,于, 于.(1)求证:是正方形.(2)若,,求圆心到弦和的距离.‎ A ‎ O ‎ D ‎ C ‎ B ‎ E ‎ F ‎ ‎ 图6-1 ‎ 例2. 如图6-2,AB是⊙O的直径,P是AB上一动点,C、D是⊙O的两点,有∠CPB=∠DPB.‎ ‎ 求证:PC=PD.‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ P ‎ O . ‎ ‎ 图6-2‎ 例3. 已知:如图6-3,A,B是半圆O上的两点,CD是⊙的直径,∠AOD=800,B是 中点.‎ ‎ (1)在CD上求作一点P,使得AP+PB最短;C ‎ D ‎ O ‎ A ‎ B. ‎ (2)若CD=‎4cm,求AP+PB的最小值.‎ 图6-3‎ 例4. 如图6-4,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E ,BF⊥CD于F .求证: CE=DF ;OE=OF.‎ C ‎ O ‎ A ‎ B ‎ E ‎ F ‎ D ‎ ‎ 图6-4‎ 变式题1. 如图6-5,⊙的直径和弦相交于点,,,垂足分别是,.‎ ‎(1)求证:.‎ ‎(2)若,,求的值.‎ ‎ 图6-5‎ 变式题2:如果弦CD是动弦,与直径AB不相交,AE⊥CD于E ,BF⊥CD于F,此时是否有:‎ ‎ CE=DF ;OE=OF.如果有请证明,如果不成立,请说明.‎
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