【物理】2018届一轮复习人教版万有引力定律及其应用学案

【物理】2018届一轮复习人教版万有引力定律及其应用学案

第4节万有引力定律及其应用 ‎(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。(√)‎ ‎(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(×)‎ ‎(3)只有天体之间才存在万有引力。(×)‎ ‎(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。(×)‎ ‎(5)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。(√)‎ ‎(6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)‎ ‎(1)德国天文学家开普勒提出天体运动的开普勒三大定律。‎ ‎(2)牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。‎ ‎(3)英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。‎ 突破点(一)　开普勒行星运动定律与万有引力定律 典题先试]‎ ‎1．(2016·全国丙卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)‎ A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 解析：选B　开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。 ‎ ‎2．(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)‎ A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析：选C　太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得：＝，故＝，C正确。‎ ‎3．(2017·开封质检)北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道。其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B.2‎ C. D. 解析：选C　同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，根据开普勒第三定律 ＝k，得 ＝3，即同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为，故选项C正确。‎ 题后悟通]‎ ‎(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。‎ ‎(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。‎ ‎(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。‎ 突破点(二)　天体质量和密度的计算 ‎1．“自力更生”法(g－R)‎ 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。‎ ‎(1)由G＝mg得天体质量M＝。‎ ‎(2)天体密度ρ＝＝＝。‎ ‎(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。‎ ‎2．“借助外援”法(T－r)‎ 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。‎ ‎(1)由G＝m得天体的质量M＝。‎ ‎(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。‎ ‎(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。‎ 典例]　(多选)(2017·上饶二模)某人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过的角度为θ，引力常量为G，则(　　)‎ A．航天器的轨道半径为　　 B．航天器的环绕周期为 C．月球的质量为 D．月球的密度为 解析]　根据几何关系得r＝，故A错误；经过时间t，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，则＝，得T＝，故B正确；航天器由万有引力充当向心力而做圆周运动，所以G＝mr，得M＝＝＝，故C正确；月球的体积V＝πr3＝π3，月球的密度ρ＝＝＝，故D错误。‎ 答案]　BC 易错提醒]‎ ‎(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。‎ ‎(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。‎ 集训冲关]‎ ‎1．(多选)(2017·超级全能生26省联考)已知万有引力常量为G，如果将月球绕地球运动的轨道视为圆周，并测出了其运行的轨道半径R和运行周期T，则由此可推算(　　)‎ A．地球的质量　　　　　　　 B．地球的半径 C．月球的运行速度 D．地球对月球的万有引力 解析：选AC　设月球的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力提供向心力，得：G＝m，得：M＝，即可求出地球的质量M，不能求出地球的半径。故A正确，B错误；月球的运行速度为v＝，故C正确；地球对月球的万有引力为F＝G，由于月球的质量m无法求出，所以地球对月球的万有引力不能求出。故D错误。‎ ‎2．(2017·六安一中模拟)我国航天事业取得了突飞猛进地发展，航天技术位于世界前列。在航天控制中心对其正上方某卫星测控时，测得从发送“操作指令”到接收到卫星“已操作”的信息需要的时间为2t(设卫星接收到“操作指令”后立即操作，并立即发送“已操作”的信息到控制中心)，测得该卫星运行周期为T，地球半径为R，电磁波的传播速度为c，由此可以求出地球的质量为(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. 解析：选B　由x＝vt可得：‎ 卫星与地球的距离为x＝c×2t＝ct 卫星的轨道半径为r＝R＋x＝R＋ct；‎ 由万有引力公式可得：G＝mr 解得：M＝ 故B正确。‎ ‎3．(多选)(2017·南平质检)我国发射的一颗地球同步通讯卫星，其定点位置与东经98°‎ 的经线在同一平面内。甘肃省嘉峪关有一个微波通讯站(如图中P点位置)，它的经度和纬度分别为东经98°和北纬40°。已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度为g，光速为c，万有引力常量为G。下列说法中正确的是(　　)‎ A．根据提供的物理量能求出地球的质量 B．根据提供的物理量能求出该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期 C．根据提供的物理量能求出该卫星发出的微波信号传到嘉峪关微波接收站所需的时间 D．根据提供的物理量能求出该卫星的质量 解析：选ABC　由题意，通过几何关系，结合地球的半径，即可求解卫星离地心的高度，再由引力提供向心力，结合地球自转的周期，则可求得地球的质量，故A正确；由于是地球同步通讯卫星，因地球自转周期为T，那么卫星绕地球做匀速圆周运动的周期也为T，故B正确；根据几何关系，结合地球的半径，可求得卫星离地面的高度，再依据t＝，已知光速为c，从而求得微波信号传播的时间，故C正确；根据引力提供向心力，列出的表达式中，等式两边的卫星质量可约去，因此无法求解卫星的质量，故D错误。‎ 突破点(三)　天体表面的重力加速度问题 重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即mg＝，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。‎ 多维探究]‎ ‎(一)求天体表面某高度处的重力加速度 典例1]　科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为‎45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c＝3×‎108 m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为(　　)‎ A．‎108 m/s2　　　　　　　　 B．‎1010 m/s2‎ C．‎1012 m/s2 D．‎1014 m/s2‎ 解析]　黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有＝mg，又有＝，联立解得g＝，代入数据得重力加速度约为‎1012 m/s2，故选项C正确。‎ 答案]　C ‎(二)求天体表面某深度处的重力加速度 典例2]　假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)‎ A．1－　　　　　　　　　　 B．1＋ C.2 D.2‎ 解析]　如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G；设矿井底部处的重力加速度为g′，等效“地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部处的物体m受到的重力mg′＝G，又M＝ρV＝ρ·πR3，M′＝ρV′＝ρ·π(R－d)3，联立解得＝1－，A对。‎ 答案]　A ‎(三)天体表面重力加速度与抛体运动的综合 典例3]　(2015·海南高考)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为(　　)‎ A.R B.R C．2R D.R 解析]　平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即h＝gt2，所以x＝v0 ，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以＝，根据公式G＝mg可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，故C正确。‎ 答案]　C 万有引力的三种计算思路 ‎(一)用万有引力定律计算质点间的万有引力 公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。‎ ‎1.(多选)(2013·浙江高考)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是(　　)‎ A．地球对一颗卫星的引力大小为 B．一颗卫星对地球的引力大小为 C．两颗卫星之间的引力大小为 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 解析：选BC　由万有引力定律知A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d＝2rcos 30°＝r，由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，则D项错误。‎ ‎(二)用万有引力定律的两个推论计算万有引力 推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F＝0。‎ 推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力，即F＝G。　‎ ‎2.如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度(　　)‎ A．一直增大　　　　 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 解析：选D　设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有引力F＝G·＝πGρmr，物体的加速度a＝＝πGρr，由题意可知r先减小后增大，故选项D正确。‎ ‎(三)填补法求解万有引力 运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。‎ ‎3.如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　)‎ A．G　　　　　　　　　　 B．0‎ C．‎4G D．G 解析：选D　若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝G＝G，故D正确。‎ 反思领悟]‎ ‎(1)万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。‎ ‎(2)在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理。‎ ‎(3)可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。‎ 对点训练：开普勒行星运动定律与万有引力定律 ‎1．(2017·上海黄浦区检测)关于万有引力定律，下列说法正确的是(　　)‎ A．牛顿提出了万有引力定律，并测定了引力常量的数值 B．万有引力定律只适用于天体之间 C．万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律 D．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是相同的 解析：选C　牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许测定了引力常量的数值，万有引力定律适用于任何物体之间，万有引力的发现，揭示了自然界一种基本相互作用的规律，选项A、B错误，C正确；地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点受到太阳的万有引力大小是不相同的，选项D错误。‎ ‎2.对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如图所示图像，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　由＝m·r可得＝，结合题图图线可得，＝，故M＝，A正确。‎ ‎3．(多选)(2017·北京通州区摸底)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。下列选项中说法正确的是(　　)‎ A．在北极地面称量时，弹簧秤读数为F0＝G B．在赤道地面称量时，弹簧秤读数为F1＝G C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F2＝G D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F3＝G 解析：选AC　北极地面物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G ‎，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上随地球一起自转所需要的向心力，则有F1R时，g与r平方成反比。即质量一定的小物体受到的引力大小F在地球内部与r成正比，在外部与r的平方成反比。故选A。‎ 考点综合训练 ‎13．已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R。则地球的自转周期为(　　)‎ A．T＝2π B.T＝2π C．T＝2π D．T＝2π 解析：选A　在北极，物体所受的万有引力F与支持力N大小相等，在赤道处有F－N＝ΔN＝mR2，解得T＝2π ，A正确。‎ ‎14．(多选)(2017·西安模拟)欧洲航天局的第一枚月球探测器——“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它近月点的高度，ω表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于(　　)‎ A．ma　　　　　　　　　 B．m C．m(R＋h)ω2 D．m 解析：选AB　“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得F＝ma，A正确；由万有引力定律得F＝G，又月球表面上，G＝mg，解得F＝m，B正确；由于“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆半径不是R＋h，C、D错误。‎ ‎15．(2017·商丘5月三模)地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。进一步探测发现在地面P点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图所示。假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　如果将该球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1－k)mg；由万有引力定律，有：‎ ‎(1－k)mg＝G，解得：V＝，D正确。‎ ‎16．(多选)(2017·平度二模)我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星‎500”‎的实验活动。假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的。已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度是h，忽略自转的影响，下列说法正确的是(　　)‎ A．火星的密度为 B．火星表面的重力加速度是 C．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为 D．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是 解析：选AD　由G＝mg，得到：g＝，已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，则火星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的，即为g，故B错误；设火星质量为M′，由万有引力等于重力可得：G＝mg′，解得： M′＝，密度为：ρ′＝＝，故A正确；由G＝m，得到v＝ ，火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍，故C错误；王跃以初速度v0在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出可跳起的最大高度是：h＝ ‎，由于火星表面的重力加速度是g，王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳起的最大高度h′＝h，故D正确。‎