中考数学整体思想练习

中考数学整体思想练习

中考数学专项讲解 整体思想 知识梳理 整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、 已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体 构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解 题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方 面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法． 典型例题 一、在数与式的运算中的应用 【例 1】 已知代数式 3x2－4x+6 的值为 9，则 的值为 ( ) A．18 B．12 C．9 D．7 【分析】 如果根据题意直接求出 x 再代入到 中求值将非常麻烦，特别是 x 为一个无理数．考 虑到由题意 3x2－4x=3 成立，而 3x2－4x 是 的 3 倍，所以可以将 看作一个整体，则 ． 【解】D 此题是灵活运用数学方法，解题技巧求值的问题，首先要观察一直条件和需要求解的代数式，然 后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解【练习】先化简，再求值 ，其中 满足 2－2 －1=0． 【分析】 对分式进行化筒结果为 ，如果把 求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把 2－2 看成一个整体，则由已知可得 2－2 =1，所以原式= ． 【解】原式= 当 2－2 =1 时，原式= ． 【例 2】计算： 【分析】 如果直接计算，运算量非常大，观察括号内的算式的特征．考虑用“整体替换”． 2 4 63x x− + 2 4 63x x− + 2 4 3x x− 2 4 3x x− 2 4 6 1 6 73x x− + = + = 2 2 2 1 4 2 4 4 2 a a a a a a a a + − − − ÷ − − + −  a a a 2 1 2a a− a a a a a 2 1 12a a =− ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 4 4 2 1 2 2 4 22 2 a a a a a a a a a a aa a a  + − − − −− ÷ = =  − − − −− −   a a 2 1 12a a =− 1 1 1 1 1 1 1 112 3 4 2008 2 3 4 2007   + + + + + + + + + −    … … 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2008 2 3 4 2007   + + + + + + +    … + … + 【解】设： ， ， 则原式= (1+b)－(1+ )b= －b= ． 二、在方程中的应用 【例 3】(08 绍兴)若买 2 支圆珠笔、1 本日记本需 4 元；买 1 支圆珠笔、2 本日记本需 5 元，则买 4 支 圆珠笔、4 本日记本需__________元． 【分析】 设日记本、圆珠笔的单价分别为 x 元，y 元，根据题意得方程组： ，如果解出 x 和 y 再求 4 支圆珠笔、4 本日记本需多少元完全可以，但只要我们细心观察只要将方程的两式相加得 3x+3y=9，这样可得 x+y=3，即圆珠笔和日记本的单价和为 3，把它作为一个整体直接乘以 4 就能得到答案 为 12 元． 【解】D 【例 4】(08 苏州)解方程： ． 【分析】 直接去分母解方程固然可以，但观察方程可以先用换元的方法简化方程． 【解】 设 ，则原方程可化为 2t2+t－6=0，解方程得：t1=－2， ， ，x2=2，经检验 ，x2=2 是原方程的解． 三、在几何计算中的应用 【例 5】如图⊙A，⊙B，⊙C 两两不相交，且半径都是 0．5 cm，则图中的阴影部分的面积是 ( ) A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2 【分析】 由于不能求出各个扇形的面积，因此要将三个阴影部分作整体考虑，注意到三角形内角和为 180 °，所以三个扇形的圆心角和为 180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为 0．5 cm 的半圆的面积，即 ．选择 B． 【答案】B 1 1 1 1 2 3 4 2008 a+ + + =… + 1 1 1 1 2 3 4 2007 b+ + + =… + a a a 1 2008 2 4 2 5 x y x y + =  + = ( )2 2 2 1 1 6 0x x x x + ++ − = 1x tx + = 2 3 2t = 1 1 3x∴ = − 1 1 3x = − 12 π 8 π 4 π 6 π 2 210.5 2 8 cm ππ × × = 综合训练 1．当代数式 +b 的值为 3 时，代数式 2 +2b+1 的值是 ( ) A．5 B．6 C．7 D．8 2．用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)－1=0，若设 y=x2+x，则原方程可变形为 ( ) A．y2+2y+1=0 B．y2－2y+1=0 C．y2+2y－1=0 D．y2－2y－1=0 3．当 x=1 时，代数式 x3+bx+7 的值为 4，则当 x=－l 时，代数式 x3+bx+7 的值为 A．7 B．10 C．11 D．12 ( ) 4．若方程组 的解 x，y 满足 0－4 5．(08 芜湖)已知 ，则代数式 的值为_________． 6．已知 x2－2x－1=0，且 x<0，则 =__________． 7．如果( 2+b2) 2－2( 2+b2)－3=0，那么 2+b2=_________． 8．如图，在高 2 米，坡角为 30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米． 9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为__________cm2． 10．如图，ABCD 是各边长都大于 2 的四边形，分别以它的顶点为圆心、1 为半径画弧(弧的端点分别 在四边形的相邻两边上)，则这 4 条弧长的和是__________． a a a a 3 6 1 3 3 x y k x y + = +  + = 1 1 3x y − = 2 14 2 2 x xy y x xy y − − − − 1x x − a a a 11．如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直，以 O 为顶点的两 条抛物线分别经过点 C、E 和点 D、F，则图中阴影部分的面积是________． 12．若买铅笔 4 支，日记本 3 本，圆珠笔 2 支共需 10 元，若买铅笔 9 支，日记本 7 本，圆珠笔 5 支 共需 25 元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元． 13．(08 烟台)已知 x(x－1)－(x2－y)=－3，求 x2+y2－2xy 的值． 14．(07 泰州)先化简，再求值： ，其中 是方程 x2+3x+1=0 的根． 15．阅读材料，解答问题． 为了解方程(x2－1) 2－5(x2－1)+4=0．我们可以将 x2－1 视为一个整体，然后设 x2－1= y，则原方程可化为 y2－5y+4=0①．解得 y1=1，y2=4．当 y=1 时，x2－1=1， x2=2， ；当 y=4 时，x2－1=4， x2=5， ． ， ， ， ． 解答问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数 学思想； (2)用上述方法解方程：x4－x2－6=0． 2 2 2 4 1 2 4 4 2 2 a a a a a a  − − ÷ − + − −  a ∴ ∴ 2x = ± ∴ ∴ 5x = ± ∴ 1 2x = 2 2x = − 3 5x = 4 5x = − 参考答案 1．C 2．C 3．B 4．A 5．4 6．2 7．3 8．2+ 9．49 10． 11． 12．5 13．原题化简得 x－y=3， x2+y2－2xy=(x－y) 2=32=9． 14．解：原式= 是方程 x2+3x+1=0 的根， 2+3 +1=0， 2+3 =－1， 原式=－ ． 15．(1)换元 整体 (2)设 x2=y 则原方程可化为 y2－y－6=0，解得 y1=3，y2=－2<0(舍去) 当 y=3 时，x2=3， ．原方程的解为 ． 2 2 3+ 2π 2 π ∴ ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 21 2 1 2 2 2 2 22 a a a a a aa a a aa  + − − −+ + × = + ×   − − − −   ( ) ( )23 1 32 2 a a a a += = +  a ∴ a a ∴ a a ∴ 1 2 ∴ ∴ 3x = ± 3x = ±