中考数学整体思想练习

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中考数学整体思想练习

中考数学专项讲解 整体思想 知识梳理 整体思想就是在解决数学问题时,将要解决的问题看作一个整体,通过对问题的整体形式、整体结构、 已知条件和所求综合考虑后.得出结论.整体思想的应用,要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体 构造.整体思想作为重要的数学思想之一,我们在解题过程中经常使用.整体思想使用得恰当,能提高解 题效率和能力,减少不必要的计算和走弯路,直奔主题.因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方 面有着广泛应用.是初中数学学习中的重要思想方法. 典型例题 一、在数与式的运算中的应用 【例 1】 已知代数式 3x2-4x+6 的值为 9,则 的值为 ( ) A.18 B.12 C.9 D.7 【分析】 如果根据题意直接求出 x 再代入到 中求值将非常麻烦,特别是 x 为一个无理数.考 虑到由题意 3x2-4x=3 成立,而 3x2-4x 是 的 3 倍,所以可以将 看作一个整体,则 . 【解】D 此题是灵活运用数学方法,解题技巧求值的问题,首先要观察一直条件和需要求解的代数式,然 后将已知条件变换成适合所求代数式的形式,运用主题带入法即可得解【练习】先化简,再求值 ,其中 满足 2-2 -1=0. 【分析】 对分式进行化筒结果为 ,如果把 求出具体值再代入计算会很麻烦,但如果把 2-2 看成一个整体,则由已知可得 2-2 =1,所以原式= . 【解】原式= 当 2-2 =1 时,原式= . 【例 2】计算: 【分析】 如果直接计算,运算量非常大,观察括号内的算式的特征.考虑用“整体替换”. 2 4 63x x− + 2 4 63x x− + 2 4 3x x− 2 4 3x x− 2 4 6 1 6 73x x− + = + = 2 2 2 1 4 2 4 4 2 a a a a a a a a + − − − ÷ − − + −  a a a 2 1 2a a− a a a a a 2 1 12a a =− ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 4 4 2 1 2 2 4 22 2 a a a a a a a a a a aa a a  + − − − −− ÷ = =  − − − −− −   a a 2 1 12a a =− 1 1 1 1 1 1 1 112 3 4 2008 2 3 4 2007   + + + + + + + + + −    … … 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2008 2 3 4 2007   + + + + + + +    … + … + 【解】设: , , 则原式= (1+b)-(1+ )b= -b= . 二、在方程中的应用 【例 3】(08 绍兴)若买 2 支圆珠笔、1 本日记本需 4 元;买 1 支圆珠笔、2 本日记本需 5 元,则买 4 支 圆珠笔、4 本日记本需__________元. 【分析】 设日记本、圆珠笔的单价分别为 x 元,y 元,根据题意得方程组: ,如果解出 x 和 y 再求 4 支圆珠笔、4 本日记本需多少元完全可以,但只要我们细心观察只要将方程的两式相加得 3x+3y=9,这样可得 x+y=3,即圆珠笔和日记本的单价和为 3,把它作为一个整体直接乘以 4 就能得到答案 为 12 元. 【解】D 【例 4】(08 苏州)解方程: . 【分析】 直接去分母解方程固然可以,但观察方程可以先用换元的方法简化方程. 【解】 设 ,则原方程可化为 2t2+t-6=0,解方程得:t1=-2, , ,x2=2,经检验 ,x2=2 是原方程的解. 三、在几何计算中的应用 【例 5】如图⊙A,⊙B,⊙C 两两不相交,且半径都是 0.5 cm,则图中的阴影部分的面积是 ( ) A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 【分析】 由于不能求出各个扇形的面积,因此要将三个阴影部分作整体考虑,注意到三角形内角和为 180 °,所以三个扇形的圆心角和为 180°,又因为各个扇形的半径相等,所以阴影部分的面积就是半径为 0.5 cm 的半圆的面积,即 .选择 B. 【答案】B 1 1 1 1 2 3 4 2008 a+ + + =… + 1 1 1 1 2 3 4 2007 b+ + + =… + a a a 1 2008 2 4 2 5 x y x y + =  + = ( )2 2 2 1 1 6 0x x x x + ++ − = 1x tx + = 2 3 2t = 1 1 3x∴ = − 1 1 3x = − 12 π 8 π 4 π 6 π 2 210.5 2 8 cm ππ × × = 综合训练 1.当代数式 +b 的值为 3 时,代数式 2 +2b+1 的值是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)-1=0,若设 y=x2+x,则原方程可变形为 ( ) A.y2+2y+1=0 B.y2-2y+1=0 C.y2+2y-1=0 D.y2-2y-1=0 3.当 x=1 时,代数式 x3+bx+7 的值为 4,则当 x=-l 时,代数式 x3+bx+7 的值为 A.7 B.10 C.11 D.12 ( ) 4.若方程组 的解 x,y 满足 0-4 5.(08 芜湖)已知 ,则代数式 的值为_________. 6.已知 x2-2x-1=0,且 x<0,则 =__________. 7.如果( 2+b2) 2-2( 2+b2)-3=0,那么 2+b2=_________. 8.如图,在高 2 米,坡角为 30°的楼梯表面铺地毯,则地毯长度至少需________米. 9.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为 7 cm,则正方形 A,B,C,D 的面积之和为__________cm2. 10.如图,ABCD 是各边长都大于 2 的四边形,分别以它的顶点为圆心、1 为半径画弧(弧的端点分别 在四边形的相邻两边上),则这 4 条弧长的和是__________. a a a a 3 6 1 3 3 x y k x y + = +  + = 1 1 3x y − = 2 14 2 2 x xy y x xy y − − − − 1x x − a a a 11.如图,半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O,其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直,以 O 为顶点的两 条抛物线分别经过点 C、E 和点 D、F,则图中阴影部分的面积是________. 12.若买铅笔 4 支,日记本 3 本,圆珠笔 2 支共需 10 元,若买铅笔 9 支,日记本 7 本,圆珠笔 5 支 共需 25 元,则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元. 13.(08 烟台)已知 x(x-1)-(x2-y)=-3,求 x2+y2-2xy 的值. 14.(07 泰州)先化简,再求值: ,其中 是方程 x2+3x+1=0 的根. 15.阅读材料,解答问题. 为了解方程(x2-1) 2-5(x2-1)+4=0.我们可以将 x2-1 视为一个整体,然后设 x2-1= y,则原方程可化为 y2-5y+4=0①.解得 y1=1,y2=4.当 y=1 时,x2-1=1, x2=2, ;当 y=4 时,x2-1=4, x2=5, . , , , . 解答问题: (1)填空:在由原方程得到方程①的过程中,利用_______法达到了降次的目的,体现了________的数 学思想; (2)用上述方法解方程:x4-x2-6=0. 2 2 2 4 1 2 4 4 2 2 a a a a a a  − − ÷ − + − −  a ∴ ∴ 2x = ± ∴ ∴ 5x = ± ∴ 1 2x = 2 2x = − 3 5x = 4 5x = − 参考答案 1.C 2.C 3.B 4.A 5.4 6.2 7.3 8.2+ 9.49 10. 11. 12.5 13.原题化简得 x-y=3, x2+y2-2xy=(x-y) 2=32=9. 14.解:原式= 是方程 x2+3x+1=0 的根, 2+3 +1=0, 2+3 =-1, 原式=- . 15.(1)换元 整体 (2)设 x2=y 则原方程可化为 y2-y-6=0,解得 y1=3,y2=-2<0(舍去) 当 y=3 时,x2=3, .原方程的解为 . 2 2 3+ 2π 2 π ∴ ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 21 2 1 2 2 2 2 22 a a a a a aa a a aa  + − − −+ + × = + ×   − − − −   ( ) ( )23 1 32 2 a a a a += = +  a ∴ a a ∴ a a ∴ 1 2 ∴ ∴ 3x = ± 3x = ±
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