全国2卷高考文科数学试卷及答案

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全国2卷高考文科数学试卷及答案

‎2016年普通高等学校招生全统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24题,共150分 第Ⅰ卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ (1) 已知集合,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ (2) 设复数满足,则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ (3) 函数的部分图像如图所示,则 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ (4) 体积为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ (5) 设为抛物线:的焦点,曲线与交于点,轴,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ (6) 圆的圆心到直线的距离为,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ (7) 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ‎(A)20π ‎(B)24π ‎ ‎(C)28π ‎ ‎(D)32π 否 是 输入 输出 开始 结束 输入 (1) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ (2) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的,,依次输入的为2,2,5,则输出的 ‎(A)7 (B)12 (C)17 (D)34‎ (3) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ (4) 函数的最大值为 ‎(A)4 (B)5 (C)6 (D)7‎ (5) 已知函数满足,若函数与图像的交点为,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题都必须作答。第(22)~(24)题为选考题,考生根据要求作答。‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分。‎ (6) 已知向量a,b,且a∥b,则 .‎ (7) 若满足约束条件则的最小值为 . ‎ (8) 的内角的对边分别为,若,则 .‎ (9) 有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.‎ 甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ (1) ‎(本小题满分12分)‎ 等差数列中,且,.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,求数列的前10项和,其中表示不超过的最大整数,如,.‎ (2) ‎(本小题满分12分)‎ 某险种的基本保费为(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 保 费 随机调查了设该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:‎ 出险次数 概 数 ‎(Ⅰ)记为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值;‎ ‎(Ⅱ)记为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求的估计值;‎ ‎(Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值.‎ (3) ‎(本小题满分12分)‎ 如图,菱形的对角线与交于点,点分别在上,,交于点.将沿折到 的位置.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)若,,,,求五棱锥的体积.‎ (1) ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若当时,,求的取值范围.‎ (2) ‎(本小题满分12分)‎ 已知是椭圆:的左顶点,斜率为的直线交于两点,点在上,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求的面积;‎ ‎(Ⅱ)当时,证明:.‎ 请考生在第(22)~(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ (3) ‎(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,在正方形中,分别在边上(不与端点重合),且,过点作,垂足为.‎ ‎(Ⅰ)证明:四点共圆;‎ ‎(Ⅱ)若,为的中点,求四边形的面积.‎ (1) ‎(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆的方程为.‎ ‎(Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)直线的参数方程是(为参数),与交于两点,,求的斜率.‎ (2) ‎(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数,为不等式的解集.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)证明:当时,.‎ ‎2016年全国卷Ⅱ高考数学(文科)答案 一. 选择题 ‎(1)D (2)C (3) A ( 4) A (5) D ( 6) A ‎(7) C (8) B (9) C (10) D (11) B (12) B 二.填空题 ‎(13) (14) (15) (16)1和3‎ 三、解答题 ‎(17)(本小题满分12分)‎ ‎ (Ⅰ)设数列的公差为d,由题意有,解得,‎ 所以的通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ 当n=1,2,3时,;‎ 当n=4,5时,;‎ 当n=6,7,8时,;‎ 当n=9,10时,,‎ 所以数列的前10项和为.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ ‎ (Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内险次数小于2的频率为,‎ 故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为,‎ 故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(Ⅲ)由题所求分布列为:‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查200名续保人的平均保费为 ‎,‎ 因此,续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ ‎(I)由已知得,‎ 又由得,故 由此得,所以.‎ ‎(II)由得 由得 所以 于是故 由(I)知,又,‎ 所以平面于是 又由,所以,平面 又由得 五边形的面积 所以五棱锥体积 ‎(20)(本小题满分12分)‎ ‎(I)的定义域为.当时,‎ ‎,曲线在处的切线方程为 ‎(II)当时,等价于 令,则 ‎,‎ ‎(i)当,时,,故在上单调递增,因此;‎ ‎(ii)当时,令得 ‎,‎ 由和得,故当时,,在单调递减,因此.‎ 综上,的取值范围是 ‎(21)(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)设,则由题意知.‎ 由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为,‎ 又,因此直线的方程为.‎ 将代入得,‎ 解得或,所以.‎ 因此的面积.‎ ‎(II)将直线的方程代入得 ‎.‎ 由得,故.‎ 由题设,直线的方程为,故同理可得.‎ 由得,即.‎ 设,则是的零点,,‎ 所以在单调递增,又,‎ 因此在有唯一的零点,且零点在内,所以.‎ ‎(22)(本小题满分10分)‎ ‎(I)因为,所以 则有 所以由此可得 由此所以四点共圆.‎ ‎(II)由四点共圆,知,连结,‎ 由为斜边的中点,知,故 因此四边形的面积是面积的2倍,即 ‎(23)(本小题满分10分)‎ ‎(I)由可得的极坐标方程 ‎(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得,‎ 所以的斜率为或.‎ ‎(24)(本小题满分10分)‎ ‎(I)先去掉绝对值,再分,和三种情况解不等式,即可得;(II)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当,时,.‎ 试题解析:(I)‎ 当时,由得解得;‎ 当时,;‎ 当时,由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎(II)由(I)知,当时,,从而 ‎,‎ 因此
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