广西柳州一中2019-2020学年高二上学期开学考试数学理试题 含解析

广西柳州一中2019-2020学年高二上学期开学考试数学理试题 含解析

柳州一中新高二开学考试理科数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 设集合S={x|（x-2）（x-3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 与函数y=x有相同图象的一个函数是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2-，则f（-2）=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是（　　）‎ A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 1或3‎ 6. 为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=（　　）‎ A. 13 B. 12 C. 10 D. 9‎ 7. 已知A（1，4），B（8，3），点P在x轴上，则使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 已知，，且，则与的夹角为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 设，，则（       ）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知直线x+y-a=0与圆C：（x-a）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的取值为（　　）‎ A. 或 B. 1或 C. 2或 D. 1‎ 1. 方程sinx=的根的个数为（　　）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ 2. 在Rt△ABC中，∠ABC=，AB=8，BC=6，D为AC中点，则∠ADB的余弦值等于（　　）‎ A. B. C. 0 D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 3. cos75°=______．‎ 4. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为______．‎ 5. 已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x-1）＞0，则x的取值范围是______．‎ 6. 把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，恰与函数y=sin2x的图象重合，若对任意的，恒有，则k的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 7. 已知A（x，0），B（2x，1），C（2，x），D（6，2x）． （1）若向量与向量共线，求实数x的值； （2）若A，B，C，D四点在一条直线上，求实数x的值． ‎ 8. 已知的一个零点是 （1）求f（x）的最小正周期 （2）当时，求函数的最大值以及最小值 ‎ 1. 某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：‎ 分组 频数 频率 ‎[39.5，39.7）‎ ‎10‎ ‎[39.7，39.9）‎ ‎20‎ ‎[39.9，40.1）‎ ‎50‎ ‎[40.1，40.3]‎ ‎20‎ ‎　合计 ‎100‎ ‎（Ⅰ）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）． ‎ 2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，F为B1C1的中点． （1）证明A，C，F，E四点共面，并求四边形ACFE的面积； （2）过A，C，F，E四点的平面把正方体截成两部分几何体，求两部分几何体体积之比（小比大）． ‎ 3. 已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R） （Ⅰ）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交； （Ⅱ）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．‎ ‎ ‎ 1. 已知函数f（x）=ax2-2x+1+b（a≠0）在x=1处取得最小值0． （1）求a，b的值； （2），求函数的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】‎ 本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键,属于基础题. 求出S中不等式的解集，确定出S，找出S与T的交集即可． 【解答】‎ 解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（-∞，2]∪[3，+∞）， ∵T=（0，+∞）， ∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞）， 故选D. ‎ ‎ 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意知所求函数与y=x表示同一个函数，故定义域、值域、对应法则都相同 又原函数y=x的定义域为R、值域为R 对于A：函数y==|x|的值域为[0，+∞），解析式及值域均与原函数的不同，故不正确； 对于B：=x，其定义域为[0，+∞），值域为[0，+∞），与原函数的不同，故不正确 对于C：函数=x，其定义域，值域均为（-∞，0）∪（0，+∞），与原函数的不同，故不正确 对于D：函数=x，与原函数的定义域、值域、对应法则都相同，故正确 故选D 如两个函数有相同的图象，则这两个函数表示同一个函数，需满足定义域、值域、对应法则都相同，分别验证即可得答案． 本题考查两函数表示同一个函数的条件，当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素（定义域、值域、对应法则）都相同．要求会求函数的定义域和值域，并会化简函数解析式．属简单题 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据题意，当x＞0时，f（x）=x2-，则f（2）=4-=， 又由函数f（x）为奇函数，则f（2）=-f（-2）=-； 故选：C． 根据题意，由函数的解析式可得f（2）的值，结合函数的奇偶性可得f（2）=-f（-2‎ ‎），即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇函数的性质进行分析． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积，是基础题． 【解答】‎ 解：正方体体积为8，可知其边长为2， 正方体的体对角线为=， 即为球的直径，所以半径为， 所以球的表面积为=12π． 故选A．‎ ‎ 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子． 故选：C． 分四个点在一个面和三个点在一个面，另一个点在平面外三种情况讨论． 借助几何模型三棱锥分析． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由分层抽样得=， 解得n=13， 故选：A． 根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题意，点A（1，4）关于x轴的对称点为A′（1，-4）， 连接A′B，交x轴于点P，此时|AP|+|BP|取得最小值，如图所示； 设点P（x，0），则=（x-1，4），=（8-x，3）， 与共线，则3（x-1）-4（8-x）=0， 解得x=5‎ ‎， 所以点P的坐标是（5，0）． 故选：B． 求出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，利用向量共线求出点P的坐标即可． 本题考查了直线方程的应用问题，是基础题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵； ∵=； ∴； 又； ∴与的夹角为． 故选：B． 根据即可得出，进行数量积的运算即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件，向量夹角的范围． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题． ​直接利用对数的运算性质化简即可得答案． 【解答】 解：∵a=log0.20.3=，b=log20.3=， ∴=， ab== ∵，， ∴ab＜a+b＜0． 故选：B． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，圆C：（x-a）2+（y+a）2=1的圆心为（a，a），半径r=1， 若△ABC为等腰直角三角形，则圆心C到直线AB的距离d=r=， 又由AB的方程为x+y-a=0， 则有d===， 解可得：a=1或-1； 故选：B． 根据题意，分析圆的圆心与半径，结合等腰直角三角形的性质分析可得圆心C到直线AB的距离d=r=，又由点到直线的距离公式可得d===，解可得a的值，即可得答案． 本题考查直角与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式和圆的标准方程，熟练掌握公式及性质是解本题的关键． ‎ ‎11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：方程sinx=的根的个数即为函数y=sinx 与直线y= 的交点的个数， 直线y= 过原点，在（0，10）上和函数y=sinx 有3个交点，在（-10，0）上也有3个交点， 在原点和函数y=sinx 有一个交点，在其它的区间上，这两个函数没有交点， 故这两个函数的交点个数为7，即方程sinx=的根的个数为 7， 故选：A． 方程sinx=的根的个数即为函数y=sinx  与直线y= 的交点的个数， 在（0，10）上有3个交点，在（-10，0）上也有3个交点，在原点有一个交点． 本题考查方程的根与两个函数的交点的关系，体现了转化的数学思想． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：Rt△ABC中，∠ABC=，AB=8，BC=6，D为AC中点， 所以，BD=AD=DC=5． 在△ABD中，利用余弦定理= 故选：A． 直接利用勾股定理和余弦定理的应用求出结果． 本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°=×-×=． 故答案为： 将所求式子中的角75°变形为45°+30°，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值． 此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 14.【答案】0.3 ‎ ‎【解析】解：从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务， 基本事件总数n=， 选中的2人都是女同学包含的基本事件个数m=， 则选中的2人都是女同学的概率为p=． 故答案为：0.3． 基本事件总数n=，选中的2人都是女同学包含的基本事件个数m=，由此能求出选中的2人都是女同学的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． ‎ ‎15.【答案】（-1，3） ‎ ‎【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0， ∴不等式f（x-1）＞0等价为f（x-1）＞f（2）， 即f（|x-1|）＞f（2）， ∴|x-1|＜2， 解得-1＜x＜3， 故答案为：（-1，3） 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x-1|）＞f（2），即可得到结论． 本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x-1|）＞f（2）是解决本题的关键． 16.【答案】（，] ‎ ‎【解析】解：∵把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，恰与函数y=sin2x的图象重合， 则把函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得f（x）=sin（2x+）=cos2x的图象． 若对任意的，恒有，且f（）=cos=-=cos， 则＜k≤， 故答案为：（，]． 由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，结合余弦函数的图象，可得k的范围． 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数的恒成立问题，余弦函数的图象，属于中档题． 17.【答案】解：（1）， ∵， ∴x2-4=0，解得x=±2； （2）∵A，B，C，D四点在一条直线上， ∴，且，且， ∴x（x-1）-（2-2x）=0，解得x=-2或1； 由（1）知，若则x=±2， ∴若A，B，C，D四点在一条直线上，则x=-2． ‎ ‎【解析】（1）可求出，根据即可得出x2-4=0，从而求出x=±2； （2）若A，B，C，D四点在一条直线上，则可得出且，根据（1）由得出x=±2，同样的方法，由可求出x=-2或1，从而得出x的值． 考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量共线的定义，以及共线向量的坐标关系，“四点A，B，C，D在一条直线上“等价于“，且”． 18.【答案】解：（1）已知f（x）=sin（2x-φ）-1的最小正周期为=π． ∵f（x）的一个零点是， ∴sin（2•+φ）-1=0，求得cosφ=，∴φ=，∴f（x）=sin（2x-）-1‎ ‎， （2）当时，2x-∈[-，]， 故当2x-=时，函数f（x）取得最大值为-1， 当2x-=-时，函数f（x）取得最小值--1． ‎ ‎【解析】（1）根据函数的解析式，求出f（x）的最小正周期． （2）利用正弦函数的定义域和值域，求得当时，函数的最大值以及最小值． 本题主要考查正弦函数的周期性和零点，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 19.【答案】解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下：…（6分） （2）这批乒乓球直径的平均值约为： 39.6×0.10+39.8×0.20+40.0×0.50+40.2×0.20=39.96≈40.00（mm）．…（12分） ‎ ‎【解析】（1）由已知条件能求出频率分布表和频率分布直方图． （2）利用频率分布直方图能求出这批乒乓球直径的平均值． 本题考查频率分布表和频率分布直方图的作法，考查这批乒乓球直径的平均值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用． 20.【答案】（1）证明：连接A1C1， ∵E为A1B1的中点，F为B1C1的中点，∴EF∥A1C1， ∵AA1∥CC1，AA1=CC1，∴四边形ACC1A1为平行四边形，则A1C1∥AC， ∴EF∥AC，则A，C，F，E四点共面． 在平面四边形ACFE中，EF∥AC，由题意可得AE=CF， 则四边形ACFE为等腰梯形， EF=，AC=2，CF=，则F到AC的距离为． ∴四边形ACFE的面积S=； （2）解：正方体ABCD-A1B1C1 D1的体积V=2×2×2=8． 棱台ABC-EB1F的体积=， 则剩余部分多面体的体积． ∴两部分几何体体积之比（小比大）为． ‎ ‎【解析】（1）由三角形中位线定理证明EF∥A1C1，再由平行公理证明EF∥AC，则A，C，F，E四点共面，由梯形面积公式求四边形ACFE的面积； （2）求出正方体与棱台ABC-EB1F的体积，作差求出剩余多面体的体积，则答案可求． 本题考查空间中点、线、面间的位置关系，训练了多面体体积的求法，是中档题． 21.【答案】解：（Ⅰ）由直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R） 有：m（2x+y-7）+（x+y-4）=0； 得     即   即直线l恒过定点（3，1）； 又（3-1）2+（1-2）2=5＜25，即点（3，1）在圆C内部； 故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交； （Ⅱ）圆C的圆心为C（1，2）；设直线l恒过定点P（3，1）； 当直线l 与直线CP垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短； 此时，弦长最短为2； 直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为：y=2x-5； 故直线l与圆C所截得的弦长的最短长度为，此时直线l的方程y=2x-5； ‎ ‎【解析】（Ⅰ）直线（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）恒过定点（3，1），且该点在圆内； （Ⅱ）当直线截圆的弦以定点（3，1）为中点时，弦长最短； 含有参数的直线要求出其所过定点，直线与圆中的问题要注意数形结合利用垂径定理．属于中档题． 22.【答案】解：（1）f（x）=ax2-2x+1+b（a≠0）在x=1处取得最小值0， 即=1，f（1）=a+b-1=0，解得a=1，b=0； （2）由（1）知f（x）=（x-1）2， g（x）==x+-2，g（|2x-1|）=|2x-1|+-2， 令t=|2x-1|，∵x∈[，2]，则t∈[-1，3]， g（t）=t+-2≥0，当且仅当t=，即t=1时等号成立，即|2x-1|=1，解得x=1； g′（t）=，t∈[-1，1]时g′（t）＜0，g（t）单调递减；t∈[1，3]时，g′（t）0，g（t）单调递增； ∵g（）=2（-1），g（3）=， ∴g（3）＞g（），|2x-1|=3，解得x=2， ∴x=2时，g（|2x-1|）max=，x=1时，g（|2x-1|）min=0； ‎ ‎【解析】（1）f（x）=ax2-2x+1+b（a≠0）在x=1处取得最小值0，知对称轴=1，f（1）=a+b-1=0，进而求解； （2）令t=|2x-1|，∵x∈[，2]，则t∈[-1，3]，g（t）=t+-2，进而求解； （1）考查二次函数在对称轴处取最值，二次函数解析式的求法； （2）考查复合函数的最值问题，取最值是的x 值，转化思想，函数求导，根据导函数确定单调区间； ‎