2020年四川省达州市中考数学试卷(含解析）

2020年四川省达州市中考数学试卷(含解析）

‎2020年四川省达州市中考数学试卷 一、单项选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（　　）‎ A．1.002×107 B．1.002×106 ‎ C．1002×104 D．1.002×102万 ‎2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　）‎ A．3.14 B．‎10‎‎3‎ C．‎12‎ D．‎‎17‎ ‎3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．（3分）下列说法正确的是（　　）‎ A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 ‎ B．确定事件一定会发生 ‎ C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98 ‎ D．数据6、5、8、7、2的中位数是6‎ ‎5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）‎ 第31页（共31页）‎ A．x2+3x+2 B．x2+2x+1 C．x2+4x+3 D．2x2+4x ‎6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（　　）‎ A．12（m﹣1） B．4m+8（ m﹣2） C．12（ m﹣2）+8 D．12m﹣16‎ ‎7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）‎ A．10 B．89 C．165 D．294‎ ‎8．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的AB恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为（　　）‎ A．‎5‎‎3‎π B．‎5‎‎2‎π C．‎5‎‎4‎π D．‎5‎‎6‎π ‎9．（3分）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（　　）‎ 第31页（共31页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（3分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF‎=‎‎2‎AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：‎ ‎①绘制扇形统计图 ‎②收集三个部分本班学生喜欢的人数 ‎③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是　 　．‎ 第31页（共31页）‎ ‎12．（3分）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝　 　．‎ ‎13．（3分）小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为　 　．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）‎ ‎14．（3分）如图，点A、B在反比函数y‎=‎‎12‎x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是　 　．‎ ‎15．（3分）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4b-1‎‎-‎19，则△ABC的内切圆半径＝　 　．‎ ‎16．（3分）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是　 　；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝　 　，S1+S2+S3+…+S100的值为　 　．‎ 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）‎ ‎17．（5分）计算：﹣22+（‎1‎‎3‎）﹣2+（π‎-‎‎5‎）0‎+‎‎3‎‎-125‎．‎ ‎18．（7分）求代数式（‎2x-1‎x-1‎‎-‎x﹣1）‎÷‎x-2‎x‎2‎‎-2x+1‎的值，其中x‎=‎2‎+‎1．‎ ‎19．（7分）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交 第31页（共31页）‎ ‎⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．‎ ‎（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；‎ ‎（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．‎ ‎20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：‎ ‎94 83 90 86 94 88 96 100 89 82‎ ‎94 82 84 89 88 93 98 94 93 92‎ 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：‎ 等级 成绩/分 频数 A ‎95≤x≤100‎ a B ‎90≤x＜95‎ ‎8‎ C ‎85≤x＜90‎ ‎5‎ D ‎80≤x＜85‎ ‎4‎ 根据以上信息，解答下列问题．‎ ‎（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；‎ ‎（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；‎ ‎（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．‎ ‎21．（8分）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．‎ 第31页（共31页）‎ ‎（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；‎ ‎（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．‎ ‎22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：‎ 原进价（元/张）‎ 零售价（元/张）‎ 成套售价（元/套）‎ 餐桌 a ‎380‎ ‎940‎ 餐椅 a﹣140‎ ‎160‎ 已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．‎ ‎（1）求表中a的值；‎ ‎（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：‎ ‎（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．‎ ‎（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：‎ 当BC＝6cm时，得表1：‎ BP/cm ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ CE/cm ‎…‎ ‎0.83‎ ‎1.33‎ ‎1.50‎ ‎1.33‎ ‎0.83‎ ‎…‎ 当BC＝8cm时，得表2：‎ BP/cm ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎…‎ CE/cm ‎…‎ ‎1.17‎ ‎2.00‎ ‎2.50‎ ‎2.67‎ ‎2.50‎ ‎2.00‎ ‎1.17‎ ‎…‎ 这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．‎ 第31页（共31页）‎ ‎①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，　 　的长度为自变量，　 　的长度为因变量；‎ ‎②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．‎ ‎24．（10分）（1）[阅读与证明]‎ 如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．‎ ‎①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，‎ ‎∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．‎ ‎∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，‎ ‎∴AE＝AB，得∠3＝∠4．‎ 在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　 　°．‎ 在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　 　°．‎ ‎②求证：BF＝AF+2FG．‎ ‎（2）[类比与探究]‎ 把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：‎ ‎①∠FEG＝　 　°；‎ ‎②线段BF、AF、FG之间存在数量关系　 　．‎ ‎（3）[归纳与拓展]‎ 如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为　 　．‎ 第31页（共31页）‎ ‎25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN‎+‎‎1‎‎2‎ON的最小值．‎ 第31页（共31页）‎ ‎2020年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（　　）‎ A．1.002×107 B．1.002×106 ‎ C．1002×104 D．1.002×102万 ‎【解答】解：1002万用科学记数法表示为1.002×107，‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　）‎ A．3.14 B．‎10‎‎3‎ C．‎12‎ D．‎‎17‎ ‎【解答】解：3‎=‎‎9‎，4‎=‎‎16‎，‎ A、3.14是有理数，故此选项不合题意；‎ B、‎10‎‎3‎是有理数，故此选项不符合题意；‎ C、‎12‎是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；‎ D、‎17‎比4大的无理数，故此选项不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、手的对面是勤，不符合题意；‎ B、手的对面是口，符合题意；‎ 第31页（共31页）‎ C、手的对面是罩，不符合题意；‎ D、手的对面是罩，不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎4．（3分）下列说法正确的是（　　）‎ A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查 ‎ B．确定事件一定会发生 ‎ C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98 ‎ D．数据6、5、8、7、2的中位数是6‎ ‎【解答】解：A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；‎ B．确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；‎ C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98和99，此选项错误；‎ D．数据6、5、8、7、2的中位数是6，此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）‎ A．x2+3x+2 B．x2+2x+1 C．x2+4x+3 D．2x2+4x ‎【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3），S左＝x2+x＝x（x+1），‎ ‎∴俯视图的长为x+3，宽为x+1，‎ 则俯视图的面积S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3，‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（　　）‎ 第31页（共31页）‎ A．12（m﹣1） B．4m+8（ m﹣2） C．12（ m﹣2）+8 D．12m﹣16‎ ‎【解答】解：由题意得，当每条棱上的小球数为m时，正方体上的所有小球数为12m﹣8×2＝12m﹣16．‎ 而12（m﹣1）＝12m﹣12≠12m﹣16，4m+8（ m﹣2）＝12m﹣16，12（ m﹣2）+8＝12m﹣16，‎ 所以A选项表达错误，符合题意；‎ B、C、D选项表达正确，不符合题意；‎ 故选：A．‎ ‎7．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）‎ A．10 B．89 C．165 D．294‎ ‎【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的AB恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为（　　）‎ A．‎5‎‎3‎π B．‎5‎‎2‎π C．‎5‎‎4‎π D．‎5‎‎6‎π ‎【解答】解：如图，作O点关于AB的对称点O′，连接O′A、O′B，‎ ‎∵OA＝OB＝O′A＝O′B，‎ 第31页（共31页）‎ ‎∴四边形OAO′B为菱形，‎ ‎∵折叠后的AB与OA、OB相切，‎ ‎∴O′A⊥OA，O′B⊥OB，‎ ‎∴四边形OAO′B为正方形，‎ ‎∴∠AOB＝90°，‎ ‎∴劣弧AB的长‎=‎90⋅π⋅5‎‎180‎=‎‎5‎‎2‎π．‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：设y＝y2﹣y1，‎ ‎∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，‎ ‎∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，‎ 由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，‎ 故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；‎ 故选：B．‎ 第31页（共31页）‎ ‎10．（3分）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF‎=‎‎2‎AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴EB＝ED，‎ ‎∵BO＝DO，‎ ‎∴OE平分∠BOD，‎ 故①正确；‎ ‎②∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠OAD＝∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠ABD+∠ADB＝90°，‎ ‎∵OB＝OD，BE＝DE，‎ ‎∴OE⊥BD，‎ ‎∴∠BOE+∠OBE＝90°，‎ ‎∴∠BOE＝∠BDA，‎ ‎∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，‎ ‎∴∠ADO＝45°，‎ ‎∴AO＝AD，‎ ‎∴△AOF≌△ABD（ASA），‎ ‎∴OF＝BD，‎ 故②正确；‎ ‎③∵△AOF≌△ABD，‎ ‎∴AF＝AB，‎ 连接BF，如图1，‎ 第31页（共31页）‎ ‎∴BF‎=‎2‎AF，‎ ‎∵BE＝DE，OE⊥BD，‎ ‎∴DF＝BF，‎ ‎∴DF‎=‎2‎AF，‎ 故③正确；‎ ‎④根据题意作出图形，如图2，‎ ‎∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，‎ ‎∴AG＝OG，‎ ‎∴∠AOG＝∠OAG，‎ ‎∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，‎ ‎∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，‎ ‎∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴EA＝ED，‎ ‎∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，‎ ‎∴∠EAG＝90°，‎ ‎∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，‎ ‎∴∠AEG＝45°，‎ ‎∴AE＝AG，‎ ‎∴△AEG为等腰直角三角形，‎ 故④正确；‎ 第31页（共31页）‎ 故选：A．‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：‎ ‎①绘制扇形统计图 ‎②收集三个部分本班学生喜欢的人数 ‎③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是　②③①　．‎ ‎【解答】解：正确的统计顺序是：‎ ‎②收集三个部分本班学生喜欢的人数；‎ ‎③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；‎ ‎①绘制扇形统计图；‎ 故答案为：②③①．‎ ‎12．（3分）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝　﹣5　．‎ ‎【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，‎ ‎∴a＝﹣2，b＝﹣3，‎ ‎∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5，‎ 故答案为﹣5．‎ ‎13．（3分）小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为　11　．（结果精确到1m．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）‎ 第31页（共31页）‎ ‎【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，DE＝CD＝1‎ 在Rt△ADE中，AD＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，‎ ‎∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）‎ 故答案为：11．‎ ‎14．（3分）如图，点A、B在反比函数y‎=‎‎12‎x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是　9　．‎ ‎【解答】解：∵点A、B在反比函数y‎=‎‎12‎x的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，‎ ‎∴A（4，3），B（2，6），‎ 作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，‎ ‎∴S△AOD＝S△BOE‎=‎1‎‎2‎×‎12＝6，‎ ‎∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，‎ ‎∴S△AOB‎=‎‎1‎‎2‎（4+2）×（6﹣3）＝9，‎ 故答案为9．‎ 第31页（共31页）‎ ‎15．（3分）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4b-1‎‎-‎19，则△ABC的内切圆半径＝　1　．‎ ‎【解答】解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4b-1‎‎-‎19，‎ ‎∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（b-1‎‎-2‎）2＝0，‎ ‎∴c＝3，a＝4，b＝5，‎ ‎∵32+42＝25＝52，‎ ‎∴c2+a2＝b2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，‎ 设内切圆的半径为r，‎ 根据题意，得S△ABC‎=‎1‎‎2‎×‎3×4‎=‎1‎‎2‎×‎3×r‎+‎1‎‎2‎×‎4×r‎+‎1‎‎2‎×‎r×5，‎ ‎∴r＝1，‎ 故答案为：1．‎ ‎16．（3分）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是　（﹣1，1）　；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝　‎1‎‎4‎　，S1+S2+S3+…+S100的值为　‎50‎‎101‎　．‎ ‎【解答】解：∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，‎ ‎∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；‎ ‎∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，‎ ‎∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．‎ ‎∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．‎ ‎∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（‎-‎k+1‎k，0），‎ 直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（‎-‎k+2‎k+1‎，0），‎ ‎∴SK‎=‎1‎‎2‎×‎|‎-k+1‎k+‎k+2‎k+1‎|×1‎=‎‎1‎‎2k(k+1)‎，‎ 第31页（共31页）‎ ‎∴S1‎=‎1‎‎2‎×‎1‎‎1×2‎=‎‎1‎‎4‎；‎ ‎∴S1+S2+S3+…+S100‎=‎‎1‎‎2‎[‎1‎‎1×2‎‎+‎1‎‎2×3‎+⋯‎‎1‎‎100×101‎]‎ ‎=‎‎1‎‎2‎‎[（1‎-‎‎1‎‎2‎）+（‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎）+…+（‎1‎‎100‎‎-‎‎1‎‎101‎）]‎ ‎=‎1‎‎2‎×‎‎（1‎-‎‎1‎‎101‎）‎ ‎=‎1‎‎2‎×‎‎100‎‎101‎‎ ‎ ‎=‎‎50‎‎101‎‎．‎ 故答案为（﹣1，1）；‎1‎‎4‎；‎50‎‎101‎．‎ 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）‎ ‎17．（5分）计算：﹣22+（‎1‎‎3‎）﹣2+（π‎-‎‎5‎）0‎+‎‎3‎‎-125‎．‎ ‎【解答】解：原式＝﹣4+9+1﹣5‎ ‎＝1．‎ ‎18．（7分）求代数式（‎2x-1‎x-1‎‎-‎x﹣1）‎÷‎x-2‎x‎2‎‎-2x+1‎的值，其中x‎=‎2‎+‎1．‎ ‎【解答】解：原式＝（‎2x-1‎x-1‎‎-‎x‎2‎‎-1‎x-1‎）‎‎÷‎x-2‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎ ‎=‎‎-x‎2‎+2xx-1‎‎）‎÷‎x-2‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎ ‎ ‎=‎‎-x(x-2)‎x-1‎‎•‎(x-1‎‎)‎‎2‎x-2‎ ‎ ‎＝﹣x（x﹣1）‎ 当x‎=‎2‎+‎1时，‎ 原式＝﹣（‎2‎‎+‎1）（‎2‎‎+‎1﹣1）‎ ‎＝﹣（‎2‎‎+‎1）‎‎×‎‎2‎ ‎＝﹣2‎-‎‎2‎．‎ ‎19．（7分）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．‎ ‎（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；‎ ‎（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．‎ 第31页（共31页）‎ ‎【解答】解：（1）如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．‎ ‎（2）直线DE与⊙O相切，交点只有一个．‎ 理由：∵OB＝OD，‎ ‎∴∠ODB＝∠OBD，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABM＝∠CBM，‎ ‎∴∠ODB＝∠ABD，‎ ‎∴OD∥AB，‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴DE⊥OD，‎ ‎∴直线AE是⊙O的切线，‎ ‎∴⊙O与直线DE只有一个交点．‎ ‎20．（7分）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：‎ ‎94 83 90 86 94 88 96 100 89 82‎ ‎94 82 84 89 88 93 98 94 93 92‎ 整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：‎ 等级 成绩/分 频数 A ‎95≤x≤100‎ a B ‎90≤x＜95‎ ‎8‎ 第31页（共31页）‎ C ‎85≤x＜90‎ ‎5‎ D ‎80≤x＜85‎ ‎4‎ 根据以上信息，解答下列问题．‎ ‎（1）填空：a＝　3　，b＝　40　；‎ ‎（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；‎ ‎（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知a＝20﹣（8+5+4）＝3，b%‎=‎8‎‎20‎×‎100%＝40%，即b＝40；‎ 故答案为：3、40；‎ ‎（2）估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为1200‎×‎8+3‎‎20‎=‎660（人）；‎ ‎（3）列表如下：‎ ‎ ‎ 男 女 女 男 ‎ ‎ ‎（男，女）‎ ‎（男，女）‎ 女 ‎（男，女）‎ ‎ ‎ ‎（女，女）‎ 女 ‎（男，女）‎ ‎（女，女）‎ ‎ ‎ 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，‎ ‎∴恰好抽到一男一女的概率为‎4‎‎6‎‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎21．（8分）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．‎ ‎（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；‎ ‎（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．‎ 第31页（共31页）‎ ‎【解答】解：（1）结论：四边形ABDF是菱形．‎ ‎∵CD＝DB，CE＝EA，‎ ‎∴DE∥AB，AB＝2DE，‎ 由旋转的性质可知，DE＝EF，‎ ‎∴AB＝DF，AB∥DF，‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形，‎ ‎∵BC＝2AB，BD＝DC，‎ ‎∴BA＝BD，‎ ‎∴四边形ABDF是菱形．‎ ‎（2）连接BF，AD交于点O．‎ ‎∵四边形ABDF是菱形，‎ ‎∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，设OA＝x，OB＝y，‎ 则有‎2x+2y=8‎x‎2‎‎+y‎2‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴x+y＝4，‎ ‎∴x2+2xy+y2＝16，‎ ‎∴2xy＝7，‎ ‎∴S菱形ABDF‎=‎1‎‎2‎×‎BF×AD＝2xy＝7．‎ ‎22．（8分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：‎ 第31页（共31页）‎ 原进价（元/张）‎ 零售价（元/张）‎ 成套售价（元/套）‎ 餐桌 a ‎380‎ ‎940‎ 餐椅 a﹣140‎ ‎160‎ 已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．‎ ‎（1）求表中a的值；‎ ‎（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：‎600‎a-140‎‎=‎‎1300‎a，‎ 解得a＝260，‎ 经检验，a＝260是原分式方程的解．‎ 答：表中a的值为260．‎ ‎（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，‎ 根据题意得：x+5x+20≤200，‎ 解得：x≤30．‎ 设销售利润为y元，‎ 根据题意得：y＝[940﹣260﹣4×（260﹣140）]‎×‎‎1‎‎2‎x+（380﹣260）‎×‎‎1‎‎2‎x+[160﹣（260﹣140）]×（5x+20﹣4‎×‎‎1‎‎2‎x）＝280x+800，‎ ‎∵k＝280＞0，‎ ‎∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：280×30+800＝9200．‎ 答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．‎ ‎23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：‎ ‎（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．‎ ‎（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：‎ 第31页（共31页）‎ 当BC＝6cm时，得表1：‎ BP/cm ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ CE/cm ‎…‎ ‎0.83‎ ‎1.33‎ ‎1.50‎ ‎1.33‎ ‎0.83‎ ‎…‎ 当BC＝8cm时，得表2：‎ BP/cm ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎…‎ CE/cm ‎…‎ ‎1.17‎ ‎2.00‎ ‎2.50‎ ‎2.67‎ ‎2.50‎ ‎2.00‎ ‎1.17‎ ‎…‎ 这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．‎ ‎①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，　BP　的长度为自变量，　EC　的长度为因变量；‎ ‎②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B+∠C＝90°，‎ ‎∵∠B＝90°，‎ ‎∴∠B＝∠C＝90°，‎ ‎∵AP⊥PE，‎ ‎∴∠APE＝90°，‎ ‎∴∠APB+∠EPC＝90°，‎ ‎∵∠EPC+∠PEC＝90°，‎ ‎∴∠APB＝∠PEC，‎ ‎∴△ABP∽△PCE．‎ ‎（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP 第31页（共31页）‎ 的长度为自变量，EC的长度为因变量，‎ 故答案为：BP，EC．‎ ‎②设BP＝xcm，CE＝ycm．‎ ‎∵△ABP∽△PCE，‎ ‎∴ABPC‎=‎BPCE，‎ ‎∴‎6‎m-x‎=‎xy，‎ ‎∴y‎=-‎‎1‎‎6‎x2‎+‎‎1‎‎6‎mx‎=-‎‎1‎‎6‎（x‎-‎‎1‎‎2‎m）2‎+‎m‎2‎‎24‎，‎ ‎∵‎-‎1‎‎6‎＜‎0，‎ ‎∴x‎=‎‎1‎‎2‎m时，y有最大值m‎2‎‎24‎，‎ ‎∵点E在线段CD上，CD＝2cm，‎ ‎∴m‎2‎‎24‎‎≤‎2，‎ ‎∴m≤4‎3‎，‎ ‎∴0＜m≤4‎3‎．‎ ‎24．（10分）（1）[阅读与证明]‎ 如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．‎ ‎①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，‎ ‎∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．‎ ‎∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，‎ ‎∴AE＝AB，得∠3＝∠4．‎ 在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　60　°．‎ 在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　30　°．‎ 第31页（共31页）‎ ‎②求证：BF＝AF+2FG．‎ ‎（2）[类比与探究]‎ 把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：‎ ‎①∠FEG＝　45　°；‎ ‎②线段BF、AF、FG之间存在数量关系　BF‎=‎‎2‎AF‎+‎‎2‎FG　．‎ ‎（3）[归纳与拓展]‎ 如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为　BF＝2AF•sin‎1‎‎2‎α‎+‎FGsin‎1‎‎2‎α　．‎ ‎【解答】（1）①解：如图1中，∵点E是点C关于AM的对称点，‎ ‎∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．‎ ‎∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，‎ ‎∴AE＝AB，得∠3＝∠4．‎ 在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，‎ ‎∴∠1+∠3＝60°．‎ 在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，‎ ‎∴∠FEG＝30°．‎ 故答案为60，30．‎ 第31页（共31页）‎ ‎②证明：如图1中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．‎ ‎∵C，E关于AM对称，‎ ‎∴AM垂直平分线段EC，‎ ‎∴FE＝FC，‎ ‎∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，‎ ‎∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝60°，‎ ‎∵FC＝FT，‎ ‎∴△CFT是等边三角形，‎ ‎∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，‎ ‎∴∠BCT＝∠ACF，‎ ‎∵CB＝CA，‎ ‎∴△BCT≌△ACF（SAS），‎ ‎∴BT＝AF，‎ ‎∴BF＝BT+FT＝AF+EF＝AF+2FG．‎ ‎（2）解：①如图2中，∵AB＝AC＝AE，‎ ‎∴点A是△ECB的外接圆的圆心，‎ ‎∴∠BEC‎=‎‎1‎‎2‎∠BAC，‎ ‎∵∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠FEG＝45°．‎ 故答案为45．‎ ‎②结论：BF‎=‎‎2‎AF‎+‎‎2‎FG．‎ 理由：如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．‎ 第31页（共31页）‎ ‎∵AM⊥EC，CG＝CE，‎ ‎∴FC＝EF，‎ ‎∴∠FEC＝∠FCE＝45°，EF‎=‎‎2‎FG，‎ ‎∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝90°，‎ ‎∵CF＝CT，‎ ‎∴△CFT是等腰直角三角形，‎ ‎∴CT‎=‎‎2‎CF，‎ ‎∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴BC‎=‎‎2‎AC，‎ ‎∴CTCF‎=‎CBCA，‎ ‎∵∠BCA＝∠TCF＝45°，‎ ‎∴∠BCT＝∠ACF，‎ ‎∴△BCT∽△ACF，‎ ‎∴BTAF‎=BCAC=‎‎2‎，‎ ‎∴BT‎=‎‎2‎CF，‎ ‎∴BF＝BT+TF‎=‎‎2‎AF+E‎2‎AF‎+‎‎2‎FG．．‎ ‎（3）如图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF．‎ 第31页（共31页）‎ ‎∵AB＝AC，∠BAC＝α，‎ ‎∴‎1‎‎2‎BCAC‎=‎sin‎1‎‎2‎α，‎ ‎∴BCAC‎=‎2•sin‎1‎‎2‎α，‎ ‎∵AB＝AC＝AE，‎ ‎∴∠BEC‎=‎‎1‎‎2‎∠BAC‎=‎‎1‎‎2‎α，EF‎=‎FGsin‎1‎‎2‎α，‎ ‎∵FC＝FE，‎ ‎∴∠FEC＝∠FCE‎=‎‎1‎‎2‎α，‎ ‎∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝α，‎ 同法可证，△BCT∽△ACF，‎ ‎∴BTAF‎=BCAC=‎2•sin‎1‎‎2‎α，‎ ‎∴BT＝2AF•sin‎1‎‎2‎α，‎ ‎∴BF＝BT+FT＝2AF•sin‎1‎‎2‎α+EF．即BF＝2AF•sin‎1‎‎2‎α‎+‎FGsin‎1‎‎2‎α．‎ 故答案为：BF＝2AF•sin‎1‎‎2‎α‎+‎FGsin‎1‎‎2‎α．‎ ‎25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；‎ 第31页（共31页）‎ ‎（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN‎+‎‎1‎‎2‎ON的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，‎ ‎∴点A（4，0），点B（0，﹣2），‎ 设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），‎ ‎∴﹣2＝﹣4a，‎ ‎∴a‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴抛物线解析式为：y‎=‎‎1‎‎2‎（x+1）（x﹣4）‎=‎‎1‎‎2‎x2‎-‎‎3‎‎2‎x﹣2；‎ ‎（2）如图，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线与点P，‎ ‎∵OP∥AB，‎ ‎∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形，‎ ‎∴S△PAB＝S△ABO，‎ ‎∵OP∥AB，‎ ‎∴直线PO的解析式为y‎=‎‎1‎‎2‎x，‎ 联立方程组可得y=‎1‎‎2‎xy=‎1‎‎2‎x‎2‎-‎3‎‎2‎x-2‎，‎ 第31页（共31页）‎ 解得：x=2+2‎‎2‎y=1+‎‎2‎或x=2-2‎‎2‎y=1-‎‎2‎，‎ ‎∴点P（2+2‎2‎，1‎+‎‎2‎）或（2﹣2‎2‎，1‎-‎‎2‎）；‎ 当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，‎ ‎∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，‎ ‎∴S△ABP''＝S△ABO，‎ ‎∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），‎ ‎∴直线EP''解析式为y‎=‎‎1‎‎2‎x﹣4，‎ 联立方程组可得y=‎1‎‎2‎x-4‎y=‎1‎‎2‎x‎2‎-‎3‎‎2‎x-2‎，‎ 解得x=2‎y=-3‎，‎ ‎∴点P''（2，﹣3），‎ 综上所述：点P坐标为（2+2‎2‎，1‎+‎‎2‎）或（2﹣2‎2‎，1‎-‎‎2‎）或（2，﹣3）；‎ ‎（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，‎ 设点M（m，‎1‎‎2‎m2‎-‎‎3‎‎2‎m﹣2），则点F（m，‎1‎‎2‎m﹣2），‎ ‎∴MF‎=‎‎1‎‎2‎m﹣2﹣（‎1‎‎2‎m2‎-‎‎3‎‎2‎m﹣2）‎=-‎‎1‎‎2‎（m﹣2）2+2，‎ ‎∴△MAB的面积‎=‎1‎‎2‎×‎4×[‎-‎‎1‎‎2‎（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，‎ ‎∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，‎ ‎∴点M（2，﹣3），‎ 如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，‎ 第31页（共31页）‎ ‎∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，‎ ‎∴KN‎=‎‎1‎‎2‎ON，‎ ‎∴MN‎+‎‎1‎‎2‎ON＝MN+KN，‎ ‎∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN‎+‎‎1‎‎2‎ON有最小值，即最小值为MP，‎ ‎∵∠KOB＝30°，‎ ‎∴直线OK解析式为y‎=‎‎3‎x，‎ 当x＝2时，点Q（2，2‎3‎），‎ ‎∴QM＝2‎3‎‎+‎3，‎ ‎∵OB∥QM，‎ ‎∴∠PQM＝∠PON＝30°，‎ ‎∴PM‎=‎‎1‎‎2‎QM‎=‎3‎+‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴MN‎+‎‎1‎‎2‎ON的最小值为‎3‎‎+‎‎3‎‎2‎．‎ 第31页（共31页）‎