广东省珠海市2018-2019学年高二下学期期末学业质量监测数学（理）试题 含解析

广东省珠海市2018-2019学年高二下学期期末学业质量监测数学（理）试题 含解析

www.ks5u.com 珠海市2018～2019学年高二下学期期末学业质量监测 数学理试题 试卷满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：选修2-2、选修2-3．‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）‎ ‎1.已知，，的实部与虚部相等，则（）‎ A. -2 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.‎ ‎【详解】设 （），则 即 ‎ ‎ .故选C.‎ ‎【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.‎ ‎2.函数在处的切线与直线:垂直，则（）‎ A. -3 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得的值。‎ ‎【详解】 ‎ ‎ 函数在（1，0）处的切线的斜率是 ，‎ 所以，与此切线垂直的直线的斜率是 ‎ ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．‎ ‎3.若随机变量满足，且，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布的数学期望和方差求解.‎ ‎【详解】由题意得： 解得： ，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差求解，属于基础题.‎ ‎4.若函数的图像如下图所示，则函数的图像有可能是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系求解。‎ ‎【详解】由 的图象可知：‎ 在 ，单调递减，所以当时， ‎ 在 ，单调递增，所以当时， ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系，属于基础题.‎ ‎5.如图所示阴影部分是由函数、、和围成的封闭图形，则其面积是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积。‎ ‎【详解】由定积分的几何意义可知：‎ 阴影部分面积 ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查定积分的几何意义和积分运算，属于基础题．‎ ‎6.某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表 男 女 总计 好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由得，.‎ 根据表 ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 得到下列结论，正确的是（）‎ A. 有以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”‎ B. 有以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”‎ C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”‎ D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立性检验的基本思想判断得解.‎ ‎【详解】因为 ，根据表可知；选C.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题.‎ ‎7.已知结论：“在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则．”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若 的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，‎ 一般的思路是：点到线，线到面，或是二维变三维；‎ 由题目中“在正三角形ABC中，若D是边BC中点，G是三角形ABC的重心，则AG：GD=2：1”，‎ 我们可以推断：“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1．”‎ 故答案为：“在正四面体ABCD中，若M是底面BCD的中心，O是正四面体ABCD的中心，则AO：OM=3：1．”‎ ‎8.从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有()种 A. 1190 B. 420 C. 560 D. 3360‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分类计数原理和组合的应用即可得解.‎ ‎【详解】要求参赛的3人中既有男生又有女生,分为两种情况：‎ 第一种情况：1名男生2名女生，有 种选法；‎ 第二种情况：2名男生1名女生，有种选法，‎ 由分类计算原理可得.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查分类计数原理和组合的应用，属于基础题.‎ ‎9.从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件：取到两数之和为偶数，事件：取到两数均为偶数，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件概率公式可得解.‎ ‎【详解】事件分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，‎ 所以，，‎ 由条件概率可得：，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查条件概率，属于基础题.‎ ‎10.已知13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的村庄数，则下列概率中等于的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据古典概型的概率公式可得解.‎ ‎【详解】由 可知选D.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率公式，容易误选B，属于基础题.‎ ‎11.直线：，，所得到的不同直线条数是（）‎ A. 22 B. 23 C. 24 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据排列知识求解，关键要减去重复的直线.‎ ‎【详解】当m,n相等时，有1种情况；‎ 当m,n不相等时，有 种情况，但 ‎ 重复了8条直线，‎ 因此共有条直线.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查排列问题，关键在于减去斜率相同的直线，属于中档题.‎ ‎12.凸10边形内对角线最多有( )个交点 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据凸边形内对角线最多有个交点的公式求得.‎ ‎【详解】凸边形内对角线最多有 个交点，‎ 又 ，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查凸边形内对角线最多有个交点的公式，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）‎ ‎13.若，则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的概念，属于基础题.‎ ‎14.，其共轭复数对应复平面内的点在第二象限，则实数的范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据共轭复数对应的点所在的象限，列出不等式组求解.‎ ‎【详解】由已知得：，且在第二象限，‎ 所以： ，‎ 解得： ，‎ 所以 ‎ 故答案为 .‎ ‎【点睛】本题考查共轭复数的概念和其对应的点所在的象限，属于基础题.‎ ‎15.若的展开式中，常数项为5670，则展开式中各项系数的和为____．‎ ‎【答案】256‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开式的通项公式求得 ，再用赋值法求出各项系数的和.‎ ‎【详解】由二项式的展开式的通项公式得 ，‎ 则 所以 所以 ‎ 所以再令 ‎ 得展开式中各项系数的和 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项和各项系数和，属于中档题.‎ ‎16.若，则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的运算法则即可求解.‎ ‎【详解】由求导运算法则得： ，‎ 所以 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算法则，关键复合函数求导，属于中档题.‎ ‎17.正态分布三个特殊区间的概率值,,,若随机变量满足，则____．‎ ‎【答案】0.1359‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布，得出其均值和方差的值，根据的原则和正态曲线的对称性可得.‎ ‎【详解】由题意可知，，，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查正态分布曲线的对称性和的原则，属于基础题.‎ ‎18.已知，且，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数相等的条件和复数的模运算可以求得.‎ ‎【详解】由复数相等得： 解得： ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查复数相等和复数的模，属于基础题.‎ ‎19.观察下列等式：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ 可以推测____（，用含有的代数式表示）．‎ ‎【答案】或或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察找到规律由等差数列求和可得.‎ ‎【详解】由观察找到规律可得：‎ 故可得解.‎ ‎【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和，属于中档题.‎ ‎20.若是定义在上的可导函数，且，对恒成立．当时，有如下结论：‎ ‎①，②，③，④，‎ 其中一定成立的是____．‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，并且由其导函数的正负判断函数的单调性即可得解.‎ ‎【详解】由得 即所以 所以在和单调递增，‎ 因为，所以 因所以在不等式两边同时乘以，‎ 得①正确，②、③、④错误.‎ ‎【点睛】本题考查构造函数、由导函数的正负判断函数的单调性，属于难度题.‎ 三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）时，求在点处函数切线方程；‎ ‎（2）时，讨论函数的单调区间和极值点．‎ ‎【答案】（1）（2）的减区间是和，增区间是；为的极小值点，为的极大值点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数求导法则求出得切线的斜率，得切线的方程；‎ ‎(2）对函数求导研究导函数的正负，得到函数的单调区间和极值.‎ ‎【详解】解：（1）∵时，,‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴在点处的切线：，‎ 即：.‎ ‎（未化成一般式扣1分）‎ ‎（2）∵时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴其，‎ 由解得，，‎ 当或时，当时，‎ ‎∴在和上单减，在上单增，‎ 为的极小值点，为的极大值点.‎ 综上，的减区间是和，增区间是；‎ 为的极小值点，为的极大值点.‎ ‎【点睛】本题考查导函数的几何意义求切线方程，求导得单调性及极值，属于中档题.‎ ‎22.已知的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）请答出展开式中第几项是有理项，并写出推演步骤（有理项就是的指数为整数的项）．‎ ‎【答案】（1）（2）有理项是展开式的第1，3，5，7项，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开式的通项公式中的二项式系数求出，再由通项求出有理项.‎ ‎【详解】解：（1）由题设知 ‎，‎ 解得.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴展开式通项，‎ ‎∵且，‎ ‎∴只有时，为有理项，‎ ‎∴有理项是展开式的第1，3，5，7项.‎ ‎【点睛】本题考查二项式的展开式的特定项系数和特定项，属于中档题.‎ ‎23.袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止．‎ ‎（1）求取球次数的分布列；‎ ‎（2）求取球次数的期望和方差．‎ ‎【答案】（1）见解析（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相互独立事件概率求出离散型随机变量的分布列、期望和方差.‎ ‎【详解】解：（1）由题设知，，‎ 则的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（2）则取球次数期望 ‎，‎ 的方差.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.‎ ‎24.某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取株作为样本进行研究。株高在及以下为不良，株高在到之间为正常，株高在 及以上为优等。下面是这个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁。请根据可见部分，解答下面的问题：‎ ‎（1）求的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；‎ ‎（2）通过频率分布直方图估计这株株高的中位数（结果保留整数）；‎ ‎（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量的分布列（用最简分数表示）．‎ ‎【答案】（1），补图见解析（2）估计这株株高的中位数为82（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列。‎ ‎【详解】解：（1）由第一组知，得，‎ 补全后的频率分布直方图如图 ‎（2）设中位数为，‎ 前三组的频率之和为，‎ 前四组频率之和为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 得，‎ ‎∴估计这株株高的中位数为82.‎ ‎（3）由题设知，‎ 则 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎【点睛】本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题.‎ ‎25.函数.‎ ‎（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：，时，.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用函数在区间单调递增，则其导函数在此区间大于等于零恒成立可得；‎ ‎(2)由第（1）问的结论，取 时构造函数，得其单调性，从而不等式左右累加可得.‎ ‎【详解】（1）解：∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∵在上为增函数，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（2）证明：由（1）知时，在上为增函数，‎ ‎∴令，其中，，‎ 则，‎ 则，‎ 即，‎ 即，‎ ‎∴‎ ‎……‎ ‎，‎ ‎∴累加得，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题关键在于构造出所需函数，得其单调性，累加可得，属于难度题。‎ ‎ ‎ ‎ ‎