- 2021-04-12 发布 |
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文档介绍
数学经典易错题会诊与高考试题预测13
高考数学经典易错题会诊（十三） 考点13 概率与统计 ►求某事件的概率 ►离散型承受机变量的分存列、期望与方差 ►统计 ►与比赛有关的概率问题 ►以概率与统计为背景的数列题 ►利用期望与方差解决实际问题 经典易错题会诊 命题角度 1 求某事件的概率 1．（典型例题Ⅰ）从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ） [考场错解] 基本事件总数为53=125，而各位数字之和等于9的情况有：（1）这三个数字为1，3，5；（2）这三个数字为2，3，4；（3）这三个数字都为3。第（1）种情况有A33个，第（2）种情况有A33个，第（3）种情况只有1个。∴各位数字之各等于9的概率为。选A [专家把脉]考虑问题不全面，各位数字之和等于9的情况不只三种情况，应该有五种情况，考虑问题的分类情况，应有一个标准，本题应这样来划分：（1）三人数字都不相同；（2）三个数字有两个相同；（3）三个数字都相同。这样就不会出现错解中考虑不全面的错误。 [对症下药] 基本事件总数为5×5×5=125，而各位数字之和等于9分三类：（1）三个数字都不相同，有（1，3，5），（2，3，4）；共2A33=12个；（2）三个数字有两个相同，有（2，2，5），（4，4，1），共2C13个三位数；（3）三个数字都相同，有（3，3，3），共1个三位数。∴所求概率为。选D。 2．（典型例题）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。 （1）分别求甲、乙两人考试合格的概率； （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。 [考场错解] （1）由已知从10道题中，任选一道，甲答对的概率为,那么选3道题甲至少答对2道相当于三次独立重复试验发生两次或三次.∴甲合格的概率为 17 [专家把脉] 相互独立事件的概念理解错误,只有当事件A发生与否对事伯B没有任何影响时,才能说A与B相互独立.而错解中,答对第一题这个事件发生与不发生对“答对第二题”这人事件有影响。所以它们之间不独立。 [对症下药] （1）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，那么对于A：基本事件总数为C310，而考试合格的可能有：（1）答对2题，共C26C14；（2）答对3题，共C36。 （2）由（1）知A与B相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P（）=∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P=1- 3．（典型例题）某人有5把钥匙，其中有1把可以打开房门，但忘记了开门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，那么恰好第三次打开房门的概率是____________. [考场错解] 基本事件总数为A55=120，而恰好第三次打开房门的可能为A24=12，故所求概率为 [专家把脉] 在利用等可能事件的概率公式P（A）=时，分子、分母的标准不一致，分母是将五把钥匙全排列，而分子只考虑前三次，导致错误。正确的想法是：要么分子分母都考虑5次，要么都只考虑前三次，或者干脆都只考虑第三次。 [对诊下药] （方法一）5把钥匙的次序共有A55种等可能结果。第三次打开房门，看作正确的钥匙恰好放在第三的位置，有A44种，∴概率P= （方法二）只考虑前3把的次序，概率P= （方法三）只考虑第3把钥匙，概率P= 4．（典型例题）20典型例题）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是。假设两人射击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。 （1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ [考场错解] 第（3）问，乙恰好射击5次后，被中止，则乙前3次都击中，4、5次未击中，∴所求概率为 17 [专家把脉] 乙恰好射击5次后，被中止射击，则4、5次未击中，但前3次不一定全部击中，可能有1次未击中，也可能有2次未击中。 [对症下药]（1）甲射击4次，全部击中的概率为，则至少1次未击中的概率为 （2）甲恰好击中目标2次的概率为乙恰好击中目标3次的概率为∴甲恰好击中2次且乙恰好击中3次的概率为 (3)依题意，乙恰好射击5次后，被中止射击，则4、5两次一定未击中，前3次若有1次未击中，则一定是1、2两次中的某一次；前3次若有2次未击中，则一定是1、3两次，但此时第4次也未中，那么射击4次后就被停止，∴这种情况不可能；前三次都击中也符合题意。∴所求事件的概率为 考场思维训练 1 （典型例题）掷三枚骰子，求所得点数中最大点数是最小点数两倍的概率是 （ ） 答案： C 解析：基本事件总数是：63，而这数点数是最小数点数的两倍包括：(1，1，2)，(1，2，2)，(2，2，4)，(2，3，4)，(2，4,4)，(3，3，6)，(3，4，6)，(3，5，6)，(3，6，6)．其中(1，1，2)，(1，2，2)，(2，2，4)，(2，4，4)，(3，3，6)，(3，6，6)各包含种结果，共有6种结果；(2，3，4)，(3，4，6)，(3，5，6)各包含种结果，共有3种结果．∴所求概率为 ∴选C 2 （典型例题）同时抛掷3枚均匀硬币16次，则这三枚硬币至少出现一次两个正面一个反而的概率__________（用式子作答）。 答案：1-（）16解析：事件A：出现两个正面一个反面的概率为，而事件B:“至少出现一次两个正面一个反面”的对立事件：“没有一次出现两个正面一个反面”的概率P()=()16． ∴所求事件的概率为1-()16. 3 （典型例题）设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点向另外三个顶点移动是等可能的，现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动，若抛出的点数是奇数，则棋子不动；若抛出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点，若棋子的初始位置为A，则： （1）投掷2次骰子，棋子才到达顶点BA的概率； 17 答案：“棋子才到达顶点B” 包括两种可能：(1)第一次掷出奇数，第二次掷出偶数；(2)第一次掷出偶数，第二次掷出偶数．它们的概率分别为P1=∴所求事件的概率为P=Pl+P2=. （2）投掷次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率是多少？ 答案：设Pn表示掷n次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率，Pn-1表示掷n-1次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率，掷n次骰子，“棋子恰巧在顶点B”包括两种可能：①掷n-1次骰子，棋子恰巧在顶点B，第n次掷出奇数，棋子在B处不动；②掷n-1次骰子，棋子不在B，第n次掷出偶数，棋子从别的顶点移向B．∴Pn=·pn-1+(1-Pn-1)·,而P1=.∴P2= ∴所求事件的概率为：. 专家会诊 对于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考虑了顺序，则分子也应考虑顺序等；将一个较复杂的事件进行分解时，一定要注意各事件之间是否互斥，还要注意有无考虑全面；有时正面情况较多，应考虑利用公式P（A）=1-P（）；对于A、B是否独立，应充分利用相互独立的定义，只有A、B相互独立，才能利用公式P（A·B）=P（A）·P（B），还应注意独立与互斥的区别，不要两者混淆。 命题角度 2 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1．（典型例题）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个。第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ。 （1）求随机变量ξ的分布列； （2）求随机变量ξ的期望。 [考场错解] （1）依题意，ξ的取值是3，6，7，它们所对应的概率分别为0.24,0.18,0.24,故随机变量ξ的分布列如下： ξ 3 6 7 P 0．24 0．18 0．24 [专家把脉] 随机变量ξ的取值不正确，当然随之概率之和不等于1，由于两次可能取到同标号的球，所以承受机变量ξ的取值应为2，3，4，6，7，10。 [对症下药] （1）由题意可得，随机变量ξ的取值是2，3，4，6，7，10。且P（ξ=2）=0.3×0.3=0.09,P(ξ=3)=C12×0.3×0.4=0.24,P(ξ=4)=0.4×0.4=0.16,P(ξ=6)=2×0.3×0.3=0.18,P(ξ=7)2×0.4×0.3=0.24,P(ξ=10)=0.3×0.3=0.09.故随机变量ξ的分布列如下： ξ 2 3 4 5 7 10 P 0．09 0．24 0．16 0．18 0．24 0．09 （2）随机变量ξ的数学期望 Eξ=2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2. 2．（典型例题Ⅱ 17 ）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。 （1）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率。 [考场错解] （1）由于这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，∴ξ服从二项分布。∴Eξ=100×0.8。 [专家把脉] 二项分布的概念理解错误，把n次独立重复试验事件A发生的次数作为随机变量，则这个随机变量服从二项分布，而本题中的得分不是这种随机变量，所以不服从二项分布，实际上本题中回答正确的个数服从二项分布。 [对症下药] （1）设这名同学回答正确的个数为随机变量η，则依题意η~B（3，0.8）, ∴Eη=2.4,又ξ=-300=180. η=0时，ξ=-300; η=1时，ξ=-100; η=2时,ξ=100; η=3时，ξ=300.所以ξ的分布列如下表所示： ξ -300 -100 100 300 P 0．008 0．096 0．384 0．512 （2）这名同学总得分不为负分的概率为P（ξ≥0）=0.384+0.512=0.986. 3．（典型例题）某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列如下： ξ 1 2 3 … 12 P … 设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大？ [考场错解] （解答1）由题意，ξ的期望Eξ=（1+2+…+12）=，由期望的意义知：电器商月初购进6台或7台电冰箱才能使自己平均收益最大。 （解答2）设月初购进x台电冰箱，则获利也是随机变量，取值为300-（x-1）·100，600-（x-2）·100,…，300x，它们的概率均为，∴获利的期望为∵1≤x≤2. ∴x=12时期望最大，∴月初购进12台电冰箱。 [专家把脉] 解答1，错把期望当作与实际等同，Eξ=表示平均能卖台，不是一定能卖台，总之是期望理解错误；解答2中当获利的取值为300x时，概率也为是错误的，错误认为只有x台，卖出比x大的台数不可能。实际上获利的取值为300x时，概率应为。 [对症下药] 设月初进x台，则获利η是一个随机变量取值为300-（x-1）·100，600-（x-2）·100，…300x，共x个值，它的分布列如下： η 300-（x-1）·100 600-(x-2)·100 … 300x 17 P ∴Eη= (400-100x+800-100x+…+300x-400)+300x·=(x2-19x).当x=9或x=10时，Eη最大，即月平均收益最大。 ∴月初购进9台或10台电冰箱才能使月平均收益最大。 4．（典型例题Ⅰ）一接等中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率为0.5，电话C、D战线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望。 [考场错解] 由已知得，ξ的取值为0，1，2，3，4。且P（ξ=0）=0.52×0.62=0.09,P(ξ=1)=0.52×0.62+0.52×0.4×0.6=0.15,P(ξ=2)=0.52×0.62+0.52×0.4×0.6+0.52×0.42=0.23,P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04,P(ξ=3)1-0.09-0.15-0.23-0.04=0.49. Eξ=1×0.15+2×0.23+4×0.04+3×0.49=2.4 [专家把脉] P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3）的计算有错误。P（ξ=1）表示一部电话占线的概率，它有两种情况：（1）A、B当中有一部占线，C、D都不占线；（2）A、B都不占线，C、D当中有一部占线，而对于（1），A、B当中有一部占线应为两次独立重复试验发生一次的概率，ξ（1）的概率应为C12×0.52×0.62; 同理（2）的概率应为C12×0.52×0.4×0.6. ∴P(ξ=1)=C1+×0.52×0.62+C12×0.52×0.4×0.6=0.3.同理可求P（ξ=2），P（ξ=3）。 [对症下药] 由题意知ξ的取值为0，1，2，3，4，它们的概率分别是：P（ξ=0）=0.52×0.62=0.09, P(ξ=1)=C12×0.52×0.62+C12×0.52×0.4×0.6=0.3, P(ξ=2)=0.52×0.62+C12C12×0.52×0.4×0.6+0.52×0.42=0.37, P(ξ=3)=C12×0.52×0.4×0.6+C12×0.52×0.42=0.2, P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04。 ∴ξ的概率分布如下： ξ 0 1 2 3 4 P 0．09 0．3 0．37 0．2 0．04 ∴Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8. 5．（典型例题）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人浏览这三个景点的概率分别为0.4,0.5,0.6,且客人是否浏览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时浏览的景点数与没有浏览的景点数之差的绝对值。 （1）求ξ的分布及数学期望； （2）记“函数f(x)=x2-3ξx+1,在区间[2，+∞]上单调递增”为事件A，求事件A的概率。 [考场错解] （1）ξ的取值为1，3，ξ=3表示客人浏览了3个景点，∴P(ξ=3)=0.4×0.5×0.6=0.12. ∴P（ξ=1）=1-0.12=0.88,Eξ=0.36+0.88=1.24. [专家把脉] ξ=3表示的事件应为两个互斥事件，而错解中的ξ=3表示一个事件，所以错误，这是很容易出现的错误，所以在做概率分布的题目时，特别应分析随机变量取某个值，对应哪些事件。 17 [对症下药] （1）客人浏览的景点数的可能取值为0，1，2，3，相应地，客人没有浏览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的取值为1，3.P（ξ=3）=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=1-0.24, ∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48. (2)当ξ=1时，函数f(x)=x2-3x+1在区间上单调递增；当ξ=2时，函数f(x)=x2-9x+1在区间[2，+∞]上不单调递增。∵P（A）=P（ξ=1）=0.76。 考场思维训练 1．某商店搞促销活动规则如下：木箱内放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，则有奖品，奖励办法如下表： 取出的棋子 奖品 5枚白棋子 价值50元的商品 4枚白棋子 价值30元的商品 3枚白棋子 价值10元的商品 如果取出的不是上述三种情况，则顾客需用50元购买商品。 （1）求获得价值50元的商品的概率； 答案：解：（1）依题意，基本事件总数为，而取到5枚白棋子的可能只有一种. ∴获得价值50元的商品的概率为 （2）求获得奖品的概率； 答案：获得奖品有三种情况：①摸到5枚白棋子，概率为；②摸到4枚白棋子、1枚黑棋子，概率为③摸到3枚白棋子，2枚黑棋子，概率为由于互斥，所以获得奖品的概率为P=+ （3）如果顾客所买商品成本价为10元，假设有10000人次参加这项促销活动，同商家可以获得的利润大约是多少（精确到元）。 答案：设商家在某顾客处获得的利润为随机变量ξ，则ξ的取值为：-50，-30，-10，40，它们所对应的概率分别为，，，.∴ξ的分布列如下所示： ξ -50 -30 -10 40 P ∴Eξ=-52×+(-30)×+(-10)×+40×=. ∴10000人参加这项促销活动，则商家可以获得的利润大约为×10000=128571元. 2．A、B两地之间有6条网线并联，它们能通过的信息量分别为：1，1，2，2，3， 3，现从中任取三条网线，设可通过的信息量为x，当可通过的信息量x≥6时，则保证信息畅通。 （1）求线路信息畅通的概率； 17 答案：解：（1）线路信息畅通包括三种情况，且它们彼此互斥：①x=6; ②x=7;③x=8.由已知P（x=6）= ∴线路信息畅通的概率P= （2）求任取三条网线所通过信息量的数学期望。 答案：任取三条网线所通过的信息量 为随机变量x，且x的取值为：4，5，6，7，8。它们所对应的概率分别为的分布列如下： x 4 5 6 7 8 P ∴Ex=4×+5×+6×+7×+8×=6. ∴任取三条网线所通过信息量的数学期望为6。 3．袋中放2个白球和3个黑球，每次从中取一个球，直到取到白球为止，若每次取出的球不再放回去，求取球次数ξ的概率分布及数学期望。 答案：解：∵袋中放2个白球和3个黑球，每次从中取一球，直至取到白球为止，∴取球次数ξ的取值为1，2，3，4，它们所对应的概率分别为P（ξ=1）=，P（ξ=2） P（ξ=3）=×=×故ξ的分布列为： ξ 1 2 3 4 p ∴Eξ=1×+2×+3×+4×=2. 专家会诊 离散型随机变量的分布列，期望与方差是概率统计的重点内容，对离散型随机变量及分布列，期望与方差的概念的关键。求离散型随机变量的分布列的步骤是：（1）根据问题实际找出随机变量ξ的所有可能值xi;（2）求出各个取值的概率P（ξ=xi）=Pi;(3)画表填入相应数字，其中随机变量ξ的取值很容易出现错误，解题时应认真推敲，对于概率通常利用所有概率之和是否等于1来进行检验。期望与方差的计算公式尤其是方差的计算公式较为复杂，要在理解的基础上进行记忆。 命题角度 3 统计 1．（典型例题）样本总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组抽取的号码为m那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，若m=6，则在第7组中抽取的号码是____________. 17 [考场错解] 由于m=6，k=7，∵m+k=13，它的个位数字是3，∴在经7组中抽取的号码是73。或这样解答：由于第一组抽取的为6号，则第二组抽取的为16号，…第7组抽取的为66号。 [专家把脉] 答案为73的错因是：第7组中个体的号码错误，第7组应为61，62，…69。答案为66的错因是：死套课本上介绍的方法不管问题实际。 [对症下药] ∵m=6，k=7，∴m+k=13,它的个位为3，依题意第7组的号码为61，62，…，69。∴第7组抽取的号码应为63。 2．（典型例题）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图13-1所示的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ） A．0．6 B．0．9 C．1．0 D．1．5 [考场错解] 由图可以盾出用时间为0．5的人数最多，∴选A。 [专家把脉] 对条形图理解错误，实际上条形图应是一个离散型随机变量的期望的问题。 [对症下药] 设每人阅读的时间为ξ，则ξ=0,0.5,1.0,1.5,2.0.且P（ξ=0）=，P（ξ=0.5）=,P(ξ=1.0)=,P(ξ=1.5)=,P(ξ=2.0)=. ∴Eξ=0×. ∴这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9 小时。∴选B。 3．（典型例题）若随机变量ξ、η都服从正态分布，并且ξ~N（3，2），η=，则随机变量η的期望是_________。 [考场错解] ∵ξ~N（3，2），∴μ=3，σ2=2，σ= ∴Eξ=μ=3，又η=，∴Eη=（）=（Eξ-3）=0。 ∴η的期望为0。 4．（典型例题）设随机变量服从正态分布N（0，1），记φ（x）=P(ξ查看更多