2020高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第1课 任意角的三角函数及诱导公式学案 4

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2020高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第1课 任意角的三角函数及诱导公式学案 4

第一课 任意角的三角函数及诱导公式 ‎[核心速填]‎ ‎1.与角α终边相同的角的集合为 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.‎ ‎2.角度制与弧度制的换算 ‎3.弧度制下扇形的弧长和面积公式 ‎(1)弧长公式:l=|α|r.‎ ‎(2)面积公式:S=lr=|α|r2.‎ ‎4.任意角的三角函数 ‎(1)定义1:设任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0).‎ ‎(2)定义2:设任意角α的终边上任意一点P的坐标为(x,y),r=|OP|=,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).‎ ‎5.同角三角函数基本关系式 sin2α+cos2α=1;=tan α.‎ ‎6.诱导公式记忆口诀 奇变偶不变,符号看象限.‎ ‎[体系构建]‎ 7‎ ‎[题型探究]‎ 象限角及终边相同的角 ‎ 已知α=-800°.‎ ‎(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;‎ ‎(2)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈.‎ ‎[解] (1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=π,‎ ‎∴α=-800°=+(-3)×2π.‎ ‎∵α与角终边相同,∴α是第四象限角.‎ ‎(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ+,k∈Z的形式,而γ与α的终边相同,∴γ=2kπ+,k∈Z.‎ 又γ∈,∴-<2kπ+<,k∈Z,‎ 解得k=-1,∴γ=-2π+=-.‎ ‎[规律方法] 1.灵活应用角度制或弧度制表示角 ‎(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用.‎ ‎(2)角度制与弧度制的换算 设一个角的弧度数为α,角度数为n,则 αrad=°,n°=rad.‎ 7‎ ‎2.象限角的判定方法 ‎(1)根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.‎ ‎(2)将角转化到0°~360°范围内.在直角坐标平面内,0°~360°范围内没有两个角终边是相同的.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.若α角与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是________. ‎ ‎【导学号:84352139】‎ ,,, [由题意,得α=+2kπ(k∈Z),=+(k∈Z).‎ 又∈[0,2π],所以k=0,1,2,3,=,,,.]‎ 弧度制下扇形弧长及面 积公式的计算 ‎ (1)如图11,△ABC是正三角形,曲线CDEF叫做正三角形的渐开线,其中弧、弧、弧的圆心依次是A、B、C,如果AB=1,那么曲线CDEF的长是________.‎ 图11‎ ‎(2)一扇形的圆心角为2弧度,记此扇形的周长为c,面积为S,则的最大值为________.‎ ‎(1)4π (2)4 [(1)弧的长是=,‎ 弧的长是:=,‎ 弧的长是:=2π,‎ 则曲线CDEF的长是:++2π=4π.‎ ‎(2)设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角大小为2弧度,‎ 则l=2r,可求:c=l+2r=2r+2r=4r,‎ 扇形的面积为S=lr=r2×2=r2,‎ 7‎ 所以==-2+ ‎=-2+4≤4.‎ r=时等号成立,所以的最大值为4.]‎ ‎ [规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)明确弧度制下弧长公式l=|α|r,扇形的面积公式是S=lr=|α|r2(其中l是扇形的弧长,α是扇形的圆心角);‎ (2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.如图12,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积. ‎ ‎【导学号:84352140】‎ 图12‎ ‎[解] ∵120°=π=π,‎ ‎∴l=6×π=4π,∴的长为4π.‎ ‎∵S扇形OAB=lr=×4π×6=12π,‎ 如图所示,作OD⊥AB,有S△OAB=×AB×OD=×2×6cos 30°×3=9.‎ ‎∴S弓形ACB=S扇形OAB-S△OAB=12π-9.‎ ‎∴弓形ACB的面积为12π-9.‎ 任意角三角函数的定义 ‎ (1)若一个α角的终边上有一点P(-4,a),且sin α·cos α=,则a的值为(  )‎ A.4   B.±4 7‎ C.-4或- D. ‎(2)已知角α的终边经过点P(‎12m,-‎5m)(m≠0),求sin α,cos α,tan α的值. ‎ ‎【导学号:84352141】‎ ‎(1)C [(1)因为α角的终边上有一点P(-4,a),所以tan α=-,‎ 所以sin αcos α====,‎ 整理得a2+‎16a+16=0,(a+4)(a+4)=0,所以a=-4或-.]‎ ‎(2)r==13|m|,‎ 若m>0,则r=‎13m,α为第四象限角,‎ sin α===-,‎ cos α===,‎ tan α===-.‎ 若m<0,则r=-‎13m,α为第二象限角,‎ sin α===,‎ cos α===-,‎ tan α===-.‎ ‎[规律方法] 利用定义求三角函数值的两种方法 (1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标,再利用正弦、余弦、正切函数的定义,求出相应的三角函数值.‎ (2)取角α的终边上任意一点P(a,b)(原点除外),则对应的角α的正弦值sin α=,余弦值cos α=,正切值tan α=.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.‎ ‎ [跟踪训练]‎ ‎3.如果点P(sin θ·cos θ,2cos θ)位于第三象限,试判断角θ所在的象限. ‎ ‎【导学号:84352142】‎ ‎[解] 因为点P(sin θ·cos θ,2cos θ)位于第三象限,‎ 所以sin θ·cos θ<0,2cos θ<0,‎ 7‎ 即所以角θ在第二象限.‎ 同角三角函数基本关系和 诱导公式的应用 ‎ (1)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,则=________.‎ ‎(2)已知f(α)=.‎ ‎①化简f(α);‎ ‎②若f(α)=,且<α<,求cos α-sin α的值;‎ ‎③若α=-,求f(α)的值. 【导学号:84352143】‎ ‎[思路探究] 先用诱导公式化简,再用同角三角函数基本关系求值.‎ ‎(1) [(1)由已知得-sin θ-2cos θ=0,故tan θ=-2,‎ 则===.]‎ ‎(2)①f(α)==sin α·cos α.‎ ‎②由f(α)=sin α·cos α=可知,‎ ‎(cos α-sin α)2=cos2α-2sin α·cos α+sin2α ‎=1-2sin α·cos α=1-2×=,‎ 又∵<α<,∴cos α<sin α,‎ 即cos α-sin α<0,‎ ‎∴cos α-sin α=-.‎ ‎③∵α=-π=-6×2π+,‎ ‎∴f=cos·sin ‎=cos·sin ‎=cos·sin=×=.‎ 母题探究:1.将本例(2)中“”改为“-8”“<α<”改为“-<α<‎0”‎求cos α+sin α.‎ 7‎ ‎[解] 因为-<α<0,所以cos α>0,sin α<0且|cos α|>|sin α|,‎ 所以cos α+sin α>0,‎ 又(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=1+2×=,‎ 所以cos α+sin α=.‎ ‎2.将本例(2)中的用tan α表示.‎ ‎[解] = ‎==.‎ ‎[规律方法] 1.牢记两个基本关系式sin2α+cos2α=1及=tan α,并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中,要注意掌握解题的技巧.比如:已知sin α±cos α的值,可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2=1±2sin αcos α.‎ ‎2.诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.‎ 7‎
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