人教版高中数学必修2立体几何复习

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人教版高中数学必修2立体几何复习

必修二复习(立体几何) 空间几何体 空间几何体的结构 柱、锥、台、球的结构特征 简单几何体的结构特征 三视图 柱、锥、台、球的三视图 简单几何体的三视图 直观图 斜二测画法 平面图形 空间几何体 中心投影 柱、锥、台、球的表面积与体积 平行投影 画 图 识图 柱锥台球 圆锥 圆台 多面体 旋转体 圆柱 棱柱 棱锥 棱台 概念 结构特征 侧面积 体积 球 概念 性质 侧面积 体积 由上述几何体组合在一起形成的几何体称为简单组合体 柱、锥、台、球的结构特征 D A B C E F F’ A’ E’ D’ B’ C’ 棱柱 结构特征 有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的多面体。 侧棱 侧面 底面 顶点 注意: 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗? 答:不一定是.如图所示,不是棱柱. 棱柱的性质 1. 侧棱都相等,侧面都是平行四边形; 2. 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形; 3. 平行于侧棱的截面都是平行四边形; 1 、 按侧棱是否和底面垂直分类 : 棱柱 斜棱柱 直棱柱 正棱柱 其它直棱柱 2 、 按底面多边形边数分类 : 棱柱的分类 三棱柱、四棱柱、 五棱柱、 ······ 棱柱的分类 按边数分 按侧棱是否与底面垂直分 斜棱柱 直棱柱 正棱柱 三棱柱 四棱柱 五棱柱 四棱柱 平行六面体 长方体 直平行六面体 正四棱柱 正方体 底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直 底面是 矩形 底面为 正方形 侧棱与底面 边长相等 几种六面体的关系: 柱、锥、台、球的结构特征 棱锥 S A B C D 顶点 侧面 侧棱 底面 结构特征 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形。 按底面多边形的边数,可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、 …… A B C D S 棱锥的分类 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥。 【 知识梳理 】 棱锥 1 、 定义: 有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥。 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2 、 性质 Ⅰ 、正棱锥的性质 (1) 各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。 (2) 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 正棱锥性质 2 棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形 Rt⊿ SOH Rt⊿ SOB Rt⊿ SHB Rt⊿ BHO 棱台由棱锥截得而成,所以在棱台中也有类似的直角梯形。 柱、锥、台、球的结构特征 棱台 结构特征 A B C D A’ B’ C’ D’ 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 , 底面与截面之间的部分是棱台 . B’ 柱、锥、台、球的结构特征 圆柱 A A’ O B O’ 轴 底面 侧面 母线 结构特征 以矩形的一边所在直线为旋转轴 , 其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。 B’ 柱、锥、台、球的结构特征 圆锥 S 顶点 A B O 底面 轴 侧面 母线 结构特征 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴 , 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 柱、锥、台、球的结构特征 圆台 结构特征 O O’ 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 , 底面与截面之间的部分是圆台 . 柱、锥、台、球的结构特征 球 结构特征 O 半径 球心 以半圆的直径所在直线为旋转轴 , 半圆面旋转一周形成的旋转体 . 空间几何体的表面积和体积 圆柱的侧面积: 圆锥的侧面积: 圆台的侧面积: 球的表面积: 柱体的体积: 锥体的体积: 台体的体积: 球的体积: 面积 体积 练习 C 1. 设棱锥的底面面积为 8cm 2 ,那么这个棱锥的中截面 ( 过棱锥的中点且平行于底面的截面 ) 的面积是 ( ) (A)4cm 2 (B) cm 2 (C)2cm 2 (D) cm 2 2. 若一个锥体被平行于底面的平面所截,若截面面积 是底面面积的四分之一,则锥体被截面截得的一个小 锥与原棱锥体积之比为 ( ) (A)1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 1 : 8 (D) 1 : 7 C   练 4 :一个正三棱锥的底面边长是 6 ,高是 ,那么这个正三棱 锥的体积是( ) ( A ) 9 ( B ) ( C ) 7 ( D ) 练 5 :一个正三棱台的上、下底 面边长分别为 3cm 和 6cm , 高是 1.5cm ,求三棱台的侧 面积。 A 6. 如图,等边圆柱(轴截面为正方形 ABCD ) 一只蚂蚁在 A 处,想吃 C 1 处的蜜糖,怎么走才最快,并求最短路线的长? A B C D A D C B 二、空间几何体的三视图和直观图 中心投影 平行投影 斜二测画法 俯视图 侧视图 正视图 三视图 直观图 投影 知识框架 A B C a b c A B C a b c H H 平行投影法   平行投影法 投影线相互平行的投影法 . ( 1 )斜投影法 投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法 . ( 2 )正投影法 投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法 . 斜投影法   正投影法 正 投 影 三视图的形成原理 有关概念 物体向投影面投 影 所得到的图形称为 视图 。 如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影,所得到的三个图形摊平在一个平面上,则就是 三视图 。 三视图的形成 正视图 俯视图 侧视图 俯视图 侧视图 正视图 展开图 长对正 , 高平齐 , 宽相等 . 长 长 高 高 宽 宽 三视图的作图步骤 正视图方向 1. 确定视图方向 侧视图方向 俯视图方向 2. 先画出能反映物体真实形状的一个视图 4. 运用长对正、高平齐、宽相等的原则画出其它视图 5. 检查 , 加深 , 加粗。 (1) 一般几何体, 投影各顶点 , 连接。 (2) 常见几何体 , 熟悉。 总结 画三视图 : 两个三角形, 一般为锥体 两个矩形, 一般为柱体 两个梯形, 一般为台体 两个圆, 一般为球 三视图中, 斜二测画法步骤是: ( 1 )在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O 。画直观图时,把它们画成对应的 x’ 轴和 y’ 轴,两轴交于点 O’ ,且使 ∠ x’O’y’=45° (或 135 ° ),它们确定的平面表示水平面。 ( 2 )已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x’ 轴或 y’ 轴的线段。 ( 3 )已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半。 练 1 :圆柱的正视图、侧视图都是 ,俯视图是 ; 圆锥的正视图、侧视图都是 ,俯视图是 ; 圆台的正视图、侧视图都是 ,俯视图是 。 练 2 :利用斜二测画法可以得到: ①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平 行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图 是菱形。以上结论正确的是( ) ( A )①② ( B )① ( C )③④ ( D )①②③④ 矩形 圆 三角形 圆及圆心 梯形 圆环 A 练 3 :根据三视图可以描述物体的形状,其中根据左视图可以判 断物体的 ;根据俯视图可以判断物体的 ;根据正视图可以判断物体的 。 宽度和高度 长度和宽度 长度和高度 “ 正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽” . 练 4 :某生画出了图中实物的正视图与俯视图,则下列判断正确的 是( ) A. 正视图正确,俯视图正确 B. 正视图正确,俯视图错误 C. 正视图错误,俯视图正确 D. 正视图错误,俯视图错误 俯视 正视图 俯视图 左视 正视 练 5 :下图中三视图所表示物体的形状为( ) 主视图 左视图 俯视图 一个倒放着的圆锥 B 6. 一平面图形的直观图如图所示,它原来的面积是 ( ) 2 2 o’ A B x ’ y ’ A. 4 B. C. D. 8 A 7. 如图所示, △ ABC 的直观图△ A’B’C’, 这里△ A’B’ C’ 是边长为 2 的正三角形,作出△ ABC 的平面图 ,并求△ ABC 的面积 . O’ A’ B’ x ’ y ’ C’ 正三棱柱的侧棱为 2 ,底面是边长为 2 的正三角形,则侧视图的面积为( ) B. C. D. A. B 侧视图 练习 8 : 将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示分别是三边的中点)得到几何体如图 2 ,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) E B A . B E B . B E C . B E D . A E F D I A H G B C 侧视 图 1 图 2 E F D C A B P Q 9 : (1) 如图是一个空间几何体的三视图,如果直角三角形的直角边长均为 1 ,那么几何体的体积为 ( ) A . 1 B .   C . D . C 正视图 侧视图 俯视图 1 1 1 练习 10 : 20 20 主视图 20 侧视图 10 10 20 俯视图 11. 已知某个几何体的三视图如图 2 ,根据图中标出的尺寸 (单位: cm ),可得这个几何体的体积是 ________. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 四个公理 直线与直线位置关系 三类关系 直线与平面位置关系 平面与平面位置关系 线线角 三种角 线面角 二面角 线面平行的判定定理与性质定理 线面垂直的判定定理与性质定理 八个定理 面面平行的判定定理与性质定理 面面垂直的判定定理与性质定理 四个公理 公理 1 :如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内 . (常用于证明直线在平面内) 公理 2 :不共线的三点确定一个平面 . (用于确定平面) . 推论 1 :直线与直线外的一点确定一个平面 . 推论 2 :两条相交直线确定一个平面 . 推论 3 :两条平行直线确定一个平面 . 公理 3 :如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线) . 平行公理 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 . 三类关系 1. 线线关系: 三类关系 2. 线面关系 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交, 则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。 3. 面面关系 八个定理 八个定理 八个定理 八个定理 八个定理 八个定理 八个定理 立体几何解题中的转化策略 大策略:空间 平面 位置关系的相互转化 小策略: ③ 平行关系 垂直关系 ① 平行转化:线线平行 线面平行 面面平行 ② 垂直转化:线线垂直 线面垂直 面面垂直 例 1 :在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中, (1) 求异面直线 A 1 B 与 B 1 C 所成的角的大小 ; (2) 求直线 A 1 B 与平面 BB 1 D 1 D 所成的角 ; (4) 求证 : 平面 A 1 BD// 平面 CB 1 D 1 ; (7) 求点 A 1 到平面 CB 1 D 1 的距离 . (3) 求二面角 A—BD—A 1 的正切值 ; 经典例题 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 立体几何解题中的转化策略 例 2 : 立体几何解题中的转化策略 平面中的数量关系隐藏着三角形特征! 练习 1 : 立体几何解题中的转化策略 转化需要辅助线的添加! 练习 1 : 策略:线面平行转化成线线平行(空间转化平面) 立体几何解题中的转化策略 一个多面体的直观图及三视图如图所示: 例 3 (综合题型): (其中 分别是 、 的中点) 正视图 侧视图 俯视图 立体几何解题中的转化策略 一个多面体的直观图及三视图如图所示: 例 3 (综合题型): (其中 分别是 、 的中点) 直三棱柱 ( 1 )求该多面体的表面积与体积; 策略:空间几何体的相互转化 可考虑将该多面体补图成正方体 解: 立体几何解题中的转化策略 一个多面体的直观图及三视图如图所示: 例 3 (综合题型): (其中 分别是 、 的中点) 直三棱柱 ( 2 )求证: 平面 ; 策略:利用中位线将线面平行转化成线线平行 解: 立体几何解题中的转化策略 一个多面体的直观图及三视图如图所示: 例 3 (综合题型): (其中 分别是 、 的中点) 直三棱柱 ( 3 )求二面角 的正切值; 策略:将二面角转化成平面角 , 先找后求 解: 立体几何解题中的转化策略 一个多面体的直观图及三视图如图所示: 例 3 (综合题型): (其中 分别是 、 的中点) 直三棱柱 ( 4 )求多面体 的体积; 策略:将点面距离转化成点线距离 解: 必修二复习(解析几何) 解析几何知识网络图 直线和圆 直线的斜率与倾斜角 直线方程的五种形式 点到直线的距离公式 两条直线的位置关系 圆的标准及一般方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 空间两点的距离公式 了解空间直角坐标系 直线与直线方程 直线的倾斜角和斜率 直线的方程 两直线的位置关系 一、直线与直线方程 1 、直线的倾斜角 倾斜角的取值范围是 2 、直线的斜率 意义:斜率表示倾斜角不等于 90 0 的直线对于 x 轴的倾斜程度。 直线的斜率计算公式 : 形式 条件 方程 应用范围 点斜式 过点 ( x 0 , y 0 ), 斜率为 k 斜截式 在 y 轴上的截距为 b , 斜率为 k 两点式 过 P 1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ) 截距式 在 y 轴上的截距为 b , 在 x 轴上的截距为 a 一般式 任何直线 两直线平行的判定 : 方法: 2) 若 1) 若 两直线相交的判定 : 方法: 1) 若 相交 2) 若 相交 两直线垂直的判定 : 方法: 2) 若 1) 若 ( 1 )点 到直线 距离: 4. 点到直线的距离,平行线的距离 ( 2 )直线 到直线 的距离: 对称问题 1) 中心对称 ( 点关于点的对称点 , 直线关于点的对称直线 ) 解决方法 中点坐标公式 3) 轴对称 ( 点关于直线的对称点 , 直线关于直线的对称直线 ) 解决方法 (1) 垂直 (2) 中点在对称轴上 题型一 求直线的方程 例 1 、求适合下列条件的直线方程: ( 1 )经过点 P ( 3 , 2 ),且在两坐标轴上的截距 相等; ( 2 )经过点 A ( -1 , -3 ),且倾斜角等于直线 y = 3 x 的倾斜角的 2 倍 . 选择适当的直线方程形式,把所需要 的条件求出即可 . 解 ( 1 ) 方法一 设直线 l 在 x , y 轴上的截距均为 a , 若 a =0 ,即 l 过点( 0 , 0 )和( 3 , 2 ), ∴ l 的方程为 y = x ,即 2 x -3 y =0. 思维启迪 若 a ≠0 ,则设 l 的方程为 ∵ l 过点( 3 , 2 ),∴ ∴ a =5 ,∴ l 的方程为 x + y -5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2 x -3 y =0 或 x + y -5=0. 方法二 由题意知,所求直线的斜率 k 存在且 k ≠0, 设直线方程为 y -2= k ( x -3), 令 y =0 ,得 x =3- , 令 x =0, 得 y =2-3 k , 由已知 3- =2-3 k ,解得 k =-1 或 k = , ∴ 直线 l 的方程为 y -2=- ( x -3 )或 y -2= ( x -3), 即 x + y -5=0 或 2 x -3 y =0. ( 2 )由已知:设直线 y =3 x 的倾斜角为 , 则所求直线的倾斜角为 2 . ∵tan =3,∴tan 2 = 又直线经过点 A ( -1 , -3 ), 因此所求直线方程为 y +3=- ( x +1), 即 3 x +4 y +15=0. 题型二 直线的斜率 【 例 2 】 已知直线 l 过点 P ( -1 , 2 ),且与以 A ( -2 , -3 ), B ( 3 , 0 )为端点的线段相交, 求直线 l 的斜率的取值范围 . 分别求出 PA 、 PB 的斜率,直线 l 处 于直线 PA 、 PB 之间,根据斜率的几何意义利 用数形结合即可求 . 解 方法一 如图所示,直线 PA 的 斜率 直线 PB 的斜率 思维启迪 当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时,它的斜率变化范围是[ 5 , +∞ ); 当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时,它的斜 率的变化范围是 ∴直线 l 的斜率的取值范围是 方法二 设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y -2= k ( x +1 ), 即 kx - y + k +2=0. ∵ A 、 B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上, ∴( -2 k +3+ k +2 )( 3 k -0+ k +2 )≤ 0 , 即 ( k -5 )( 4 k +2 )≥ 0 ,∴ k ≥5 或 k ≤- . 即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ∪[ 5 , +∞ ) . 方法一 运用了数形结合思想 . 当直线 的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时, 需根据正切函数 y =tan 的单调性求 k 的范围,数 形结合是解析几何中的重要方法 . 解题时,借助图 形及图形性质直观判断,明确解题思路,达到快 捷解题的目的 . 方法二则巧妙利用了不等式所表示 的平面区域的性质使问题得以解决 . 探究提高 题型三 两直线的位置关系 例 3 : 已知直线方程为 (2 + λ ) x + (1 - 2 λ ) y + 9 - 3 λ = 0. (1) 求证不论 λ 取何实数值,此直线必过定点; (2) 过这定点引一直线,使它夹在两坐标轴 间的线段被这点 平分,求这条直线方程 . 即点 ( - 3 ,- 3) 适合方程 2 x + y + 9 + λ ( x - 2 y - 3) = 0 ,也就 是适合方程 (2 + λ ) x + (1 - 2 λ ) y + 9 - 3 λ = 0. 解: 把直线方程整理为 2 x + y + 9 + λ ( x - 2 y - 3) = 0. 所以,不论 λ 取何实数值,直线 (2 + λ ) x + (1 - 2 λ ) y + 9 - 3 λ = 0 必过定点 ( - 3 ,- 3) . (2) 设经过点 ( - 3 ,- 3) 的直线与两坐标轴分别交于 A ( a, 0) , B (0 , b ) . 解得 a =- 6 , b =- 6. 即 x + y + 6 = 0. 练 1 、过 的直线 与线段 相交,若 , 求 的斜率 的取值范围。 2 、证明: 三点共线。 3 、设直线 的斜率为 ,且 ,求直线的倾斜角 的取值范围。 4 、已知直线 的倾斜角的正弦值为 ,且它与两坐标轴围成 的三角形面积为 ,求直线 的方程。 答案: 1 、 ; 2 、方法:① ② ③ ; 3 、 ; 4 、 、 、 、 。 练 5 、 为何值时,直线 与 平行?垂直? 练 6 、求过点 且与原点的距离为 的直线方程。 答案: 1 、判断 是否为 , 时垂直; 2 、 ; 9 、 ( 1 )求 A ( -2 , 3 )关于直线对称点 B 的坐标; ( 2 )光线自 A ( -3 , 3 )射出,经 x 轴反射以后经过点 B ( 2 , 5 ),求入射光线和反射光线的直线方程; ( 3 )已知 M ( -3 , 5 ), N ( 2 , 15 ),在直线上找一点 P ,使 |PM|+|PN| 最小,并求出最小值 D A . ab > 0 , bc > 0 C . ab < 0 , bc > 0 B . ab > 0 , bc < 0 D . ab < 0 , bc < 0 10 、若直线 ax + by + c = 0 在第一、二、 三象限,则 ( ) 圆 的 方 程 直线与圆、圆与圆的位置关系 圆与圆方程 求曲线方程 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的参数方程 二、圆的方程 ( 1 )曲线上的点的坐标都是这个方程 的解; ( 2 )以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点, 1. 曲线与方程 ( 1 )建立适当的坐标系,用 (x , y) 表示曲线上 任意 一点 M 的坐标; ( 2 )用坐标 x,y 表示关系式,即列出方程 f(x,y)=0; ( 3 )化简方程 f(x,y)= 0; ( 4 )验证 x 、 y 的取值范围。 2. 求曲线方程 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的参数方程 1.( 全国 ) 圆心为 (1,2) 且与直线 5x-12y-7=0 相切的圆的方程为 2. 圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4),B(0,-2), 求圆 C 的方程 . 3. △ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8), 求它的外接圆的方程 . 位置关系 直线与圆的位置关系 : 或 或 或 相离 相切 相交 判断方法 d>R+r d=R+r d= |R-r| |R-r|R+r d=R+r R-r
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