【物理】2019届一轮复习人教版运动图象 追及、相遇问题学案
第4 讲 运动图象 追及、相遇问题
运动图象问题的应用[学生用书P8]
【题型解读】
运动学图象主要有x－t、v－t、a－t图象，应用图象解题时主要看图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素：
一般意义
x－t图象
v－t图象
a－t图象
轴
图象描述哪两个物理量之间的关系
纵轴—位移
横轴—时间
纵轴—速度
横轴—时间
纵轴—加速度
横轴—时间
线
表示物理量y随物理量x的变化过程和规律
运动物体的位移与时间的关系
运动物体的速度与时间的关系
运动物体的加速度与时间的关系
斜率
k＝，定性表示y随x变化的快慢
某点的斜率表示该点的瞬时速度
某点的斜率表示该点的加速度
某点的斜率表示该点加速度的变化率
点
两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等
两线交点表示两物体相遇
两线交点表示两物体该时刻速度相同
两线交点表示两物体该时刻加速度相同
面积
图线和时间轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义
无意义
图线和时间轴所围的面积，表示物体运动的位移
图线和时间轴所围的面积，表示物体的速度变化量
截距
图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况
在纵轴上的截距表示t＝0时的位移
在纵轴上的截距表示t＝0时的速度
在纵轴上的截距表示t＝0时的加速度
【典题例析】
(多选)(2016·高考全国卷Ⅰ)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
[审题指导] 由图象中的斜率、面积分别可得甲、乙两车运动时的加速度、位移等运动信息，再根据3 s时并排寻找两车间的相对运动情况，从而解决问题．
[解析] 根据题述，两车在t＝3 s时并排行驶，由图线与横轴所围面积表示位移可知，在t＝1 s时，甲车和乙车并排行驶，选项A、C错误．由图象可知，在t＝1 s时甲车速度为10 m/s，乙车速度为15 m/s，0～1 s时间内，甲车行驶位移为x1＝5 m，乙车行驶位移为x2＝12.5 m，所以在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m，选项B正确．从t＝1 s到t＝3 s，甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为x＝×(10＋30)×2 m＝40 m，选项D正确．
[答案] BD
【迁移题组】
迁移1 x－t图象
1．甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移－时间图象如图所示．下列表述正确的是( )
A．0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大
B．0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大
C．0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小
D．0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等
解析：选B.在0.2～0.5小时内，位移－时间图象是倾斜的直线，则物体做匀速直线运动，所以在0.2～0.5小时内，甲、乙两人的加速度都为零，选项A错误；位移－时间图象的斜率绝对值大小反映了物体运动速度的大小，斜率绝对值越大，速度越大，故0.2～0.5小时内甲的速度大于乙的速度，选项B正确；由位移－时间图象可知，0.6～0.8小时内甲的位移大于乙的位移，选项C错误；由位移－时间图象可知，0.8小时内甲、乙往返运动过程中，甲运动的路程大于乙运动的路程，选项D错误．
迁移2 v－t图象
2．(多选)如图所示为一个质点做直线运动的v－t图象，则下列说法中正确的是( )
A．质点在0～5 s内的位移为5 m
B．质点在整个运动过程中，10～12 s内的加速度最大
C．质点在10 s末离出发点最远
D．质点在8～12 s内的平均速度为4 m/s
解析：选AB.根据速度图象中图线与时间轴所围的面积表示位移可知，质点在0～5 s内的位移x＝×2×5 m＝5 m，选项A正确；由v－t图象的斜率表示加速度可知，0～5 s内的加速度大小a1＝ m/s2，8～10 s内的加速度大小a2＝ m/s2＝2 m/s2，10～12 s内的加速度大小a3＝6 m/s2，所以质点在整个运动过程中，10～12 s内的加速度最大，选项B正确；质点在11 s末离出发点最远，选项C错误；质点在8～12 s内的位移x＝8 m，平均速度为＝ m/s＝2 m/s，选项D错误．
迁移3 a－t图象
3．一辆摩托车在t＝0时刻由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的a－t图象如图所示，根据已知信息，可知( )
A．摩托车的最大动能
B．摩托车在30 s末的速度大小
C．在0～30 s的时间内牵引力对摩托车做的功
D．10 s末摩托车开始反向运动
解析：选B.由图可知，摩托车在0～10 s内做匀加速运动，在10～30 s内做减速运动，故10 s末速度最大，动能最大，由v＝at可求出最大速度，但摩托车的质量未知，故不能求最大动能，A错误；根据a－t图线与t轴所围的面积表示速度变化量，可求出30 s内速度的变化量，由于初速度为0，则可求摩托车在30 s末的速度大小，B正确；在10～30 s内牵引力是变力，由于不能求出位移，故不能求出牵引力对摩托车做的功，C错误；由图线与时间轴围成的面积表示速度变化量可知，30 s内速度变化量为零，所以摩托车一直沿同一方向运动，D错误．
迁移4 非常规运动图象
4．(多选)
一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的－t的图象如图所示，图线与纵横坐标轴的交点分别为0.5 m/s和－1 s，由此可知( )
A．物体做匀加速直线运动
B．物体做变加速直线运动
C．物体的初速度大小为0.5 m/s
D．物体的初速度大小为1 m/s
解析：选AC.图线的斜率为0.5 m/s2、纵截距为0.5 m/s.由位移公式x＝v0t＋at2两边除以对应运动时间t为＝v0＋at，可得纵截距的物理意义为物体运动的初速度，斜率的物理意义为物体加速度的一半.所以物体做初速度为v0＝0.5 m/s，加速度大小为a＝1 m/s2的匀加速直线运动．
(1)图象问题常见的是x－t和v－t图象，在处理特殊图象的相关问题时，可以把处理常见图象的思想以及方法加以迁移，通过物理情境遵循的规律，从图象中提取有用的信息，根据相应的物理规律或物理公式解答相关问题．处理图象问题可参考如下操作流程：
(2)处理特殊图象的问题时，在必要时可将该图象所反映的物理过程转换为常见的x－t或v－t图象进行处理．
对追及、相遇问题的分析[学生用书P9]
【题型解读】
1．方法概述
(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离．
(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇．
(3)图象法：①若用位移图象求解，分别作出两物体的位移图象，如果两物体的位移图象相交，则说明两物体相遇．②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积．
2．追及、相遇问题常见情景
(1)速度小者追速度大者
追及类型
图象描述
相关结论
匀加速
追匀速
设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论：
①t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离增大
②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx
③t＝t0以后，后面物体与前面物体间的距离减小
④一定能追上且只能相遇一次
匀速追
匀减速
匀加速追
匀减速
(2)速度大者追速度小者
追及类型
图象描述
相关结论
匀减速
追匀速
设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
②若Δx
x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2＝2t0－t1时刻两物体第二次相遇
匀速追
匀加速
匀减速追
匀加速
【典题例析】
在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
[审题指导] 两车不相撞的临界条件是A车追上B车时其速度与B车相等．
[解析] 法一：临界条件法
设两车运动速度相等时，所用时间为t，
由v0－(2a)t＝at得，t＝ ①
A车位移：xA＝v0t－(2a)t2
B车位移：xB＝at2
两车不相撞的条件：xB＋x≥xA
即：at2＋x≥v0t－at2 ②
联立①②得：v0≤.
法二：二次函数极值法
设两车运动了时间t，则
xA＝v0t－at2
xB＝at2
两车不相撞需要满足
Δx＝xB＋x－xA＝at2－v0t＋x≥0
则Δxmin＝≥0
解得v0≤.
法三：图象法
利用速度－时间图象求解，先作A、B两车的速度－时间图象，其图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vt＝v0－2at，
对B车有vt＝at
以上两式联立解得t＝
经时间t两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积来表示，由图象可知x＝v0t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
法四：相对运动法
巧选参考系求解．以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a′＝－2a－a＝－3a.A车追上B车且刚好不相撞的条件是：v＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式v2－v＝2ax得：
02－v＝2·(－3a)·x
所以v0＝.
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
[答案] v0≤
【跟进题组】
1．(2018·贵州凯里高三模拟)一辆卡车以vB＝10 m/s的初速度沿直线方向做匀减速直线运动，加速度的大小为a＝2 m/s2，在其后方一辆小汽车以vA＝4 m/s 的速度向相同方向做匀速直线运动，小汽车在卡车后方相距x0＝7 m 处，从此时开始计时，求：
(1)小汽车追上卡车前，两车间的最大距离d是多大？
(2)经过多长时间小汽车追上卡车？
解析：(1)设两车速度相等经历的时间为t1有：
vA＝vB－at1
汽车与卡车的最远距离d，有：
v－v＝2axB1
xA1＝vAt1
两者间的最大距离为：
d＝x0＋xB1－xA1
代入数据解得：d＝16 m.
(2)卡车速度减为零的时间为t2，有：
0＝vB－at2得：t2＝5 s
卡车速度减为零的位移为：2axB＝v
得xB＝25 m
此时汽车的位移为：
xA＝vAt2＝4×5 m＝20 m，
因为xA＜xB＋x0，可知卡车速度减为零时，汽车还未追上卡车．
还需追及的时间：t3＝，得t3＝3 s
则有：t＝t2＋t3＝5 s＋3 s＝8 s.
答案：见解析
2．A车在直线公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因大雾天气能见度低，当司机发现正前方有一辆静止的B车时，两车距离仅有76 m，A车司机立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为质点)．
(1)通过计算判断A能否撞上B车？若能，求A车从刹车开始到撞上B车的时间(假设B车一直静止)；
(2)为了避免碰撞，A车在刹车的同时，如果向B车发出信号，B车收到信号经Δt＝2 s的反应时间才开始匀加速向前行驶，问：B车加速度a2至少为多大才能避免事故．
解析：(1)设A车从刹车到停止所用的时间为t0、位移为x
由速度时间公式v0＝a1t0
解得t0＝10 s
由速度位移关系有0－v＝－2a1x
代入数据解得x＝100 m>76 m，所以A车能撞上B车
设撞上B车的时间为t1，有x0＝v0t1－a1t，其中x0＝76 m
解得t1＝(10－2) s，t′1＝(10＋2) s，
(10＋2) s大于10 s，故舍去
故时间为(10－2) s.
(2)假设A车恰能追上B车，设B车运动时间为t，则A车运动时间为t＋Δt，此时两车速度相等，即v0－a1(t＋Δt)＝a2t
解得t＝
由位移关系xA＝x0＋xB
可知v0(t＋Δt)－a1(t＋Δt)2＝x0＋a2t2
整理得a2＝
解得a2＝1.2 m/s2
因此欲使A、B两车不相撞，B车的最小加速度为a2＝1.2 m/s2.
答案：见解析
1．分析追及、相遇问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
(1)做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0xB，则不能追上．
(2)数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．
3．注意三类追及、相遇情况
(1)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上．
(2)若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过程中追上．
(3)判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体速度相等时的位置关系，而不是比较减速到0时的位置关系．
[学生用书P11]
1．甲、乙、丙三辆汽车同时以相同的速度v0经过某一路标，此后甲一直做匀速直线运动，乙先加速后减速，丙先减速后加速，它们经过下一个路标时的速度仍为v0，则( )
A．甲车先经过下一个路标
B．乙车先经过下一个路标
C．丙车先经过下一个路标
D．无法判断谁先经过下一个路标
解析：
选B.由题意画出v－t图象如图所示，由于甲、乙、丙在此过程中位移相同，故由图可得乙车所用时间最短．
2.
(高考全国卷Ⅱ)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
解析：选A.根据v－t图象下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据＝得，汽车甲的平均速度甲大于汽车乙的平均速度乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v－t图象的斜率大小反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．
3．(2018·济南调研)某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是( )
A．v＝ B．v＝
C．v＞ D．＜v＜
解析：
选C.由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，画出相应的v－t图象大致如图所示．根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为：t.应有：t＞x，所以v＞，所以选项C正确．
4．(2016·高考江苏卷)小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动．取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是( )
解析：选A.小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后能回到原高度，重复原来的过程，以落地点为原点，速度为零时，位移最大，速度最大时位移为零，设高度为h，则速度大小与位移的关系满足v2＝2g(h－x)，A项正确．
5．(多选)(2018·江西上高高三月考)平直公路上行驶的a车和b车，其位移时间图象分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且a＝－2 m/s2，t＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切，下列说法正确的是( )
A．a车的速度是2 m/s
B．t＝3 s时，a、b两车的速度相等，相距最远
C．b车的初速度是8 m/s
D．t＝0 s时a车和b车之间的距离为9 m
解析：选ACD.x－t图象的斜率等于速度，由题图可知，a车的速度不变，做匀速直线运动，速度为：va＝ m/s＝2 m/s，故A正确；t＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切，位置坐标相同，两车相遇．斜率相等，此时两车的速度相等，则t＝3 s，b车的速度为：vb＝va＝2 m/s，设b车的初速度为v0，对b车，由v0＋at＝vb，解得：v0＝8 m/s，故B错误，C正确；t＝3 s时，a车的位移为：xa＝vat＝6 m，b车的位移为：xb＝t＝×3 m＝15 m，t＝3 s时，a车和b车到达同一位置，所以t＝0时两车相距x0＝xb－xa＝9 m，故D正确．
6．(2018·湖北八校联考)春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前x0＝9 m区间的速度不超过v0＝6 m/s.现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20 m/s和v乙＝34 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2 m/s2的加速度匀减速刹车．
(1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章．
(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？
解析：(1)对甲车，速度由20 m/s减至6 m/s过程中的位移x1＝＝91 m
x2＝x0＋x1＝100 m
即：甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车．
(2)设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：v乙－a乙(t－t0)＝v甲－a甲t，
解得t＝8 s
相同速度v＝v甲－a甲t＝4 m/s＜6 m/s，即v＝6 m/s的共同速度为不相撞的临界条件
乙车从34 m/s减速至6 m/s的过程中的位移为
x3＝v乙t0＋＝157 m
所以要满足条件甲、乙的距离至少为x＝x3－x1＝66 m.
答案：(1)100 m (2)66 m
