- 2021-04-12 发布 |
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中考数学专题复习精品大全集+中考数学专题突破导学练等精品大全集
中考数学专题复习精品大全集 +中考数学专题突破导学练等精品大全集 三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰 三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图 所示： 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长 线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体 会。 典型例题 【例 1】如图，等边△ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B=∠C=∠EDF=60° 再用外角可证∠BED=∠CDF，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段 BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF=60° ∴∠B=∠C=∠EDF=60° ∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED ∴∠BED=∠FDC ∴△BDE∽△CFD （2）∵△BDE∽△CFD ∴ BE CD BD FC ∵BD=1，FC=3，CD=5 ∴BE= 3 5 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例 2】如图，等腰△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，∠EDF=∠B， 求证：△BDE∽△DFE 【思路分析】比较例 1 来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD=CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB=AC，∠EDF=∠B C A DB E F CD E A B F ∴∠B=∠C=∠EDF ∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED ∴∠BED=∠FDC ∴△BDE∽△CFD ∴ DF DE CD BE 又∵BD=CD ∴ DF DE BD BE 即 DF BD DE BE ∵∠EDF=∠B ∴△BDE∽△DFE 点评：三等角型相似中若点 D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点 D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得 DF DE CF BD 加上 BD=CD 可证得 △CFD 与△DFE 相似 【例 3】如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=8，点 P 为 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合）， 过点 P作射线 PM 交 AC 于点 M，使∠APM=∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设 BP=x，CM=y．求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求 PB 的长． 【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。对△APM 进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP∽△PCM 相关的结论 解：（1）∵AB=AC，∠APM=∠B∴∠APM=∠B=∠C ∵∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP ∴∠BAP=∠MPC ∴△ABP∽△PCM （2）∵BP=x，CM=y，CP=8-x ∵ MC BP PC AB ∴ y x x 8 5 ∴ xxy 5 8 5 1 2 )80( x （3）当 AP=PM 时 ∵ AB PC PA PM ∴PC=AB=5 ∴BP=3 当 AP=AM 时 ∵∠APM=∠B=∠C ∴∠PAM=∠BAC 即点 P 与点 B重合 ∴P 不与点 B、C 重合 ∴舍去 当 MP=AM 时 ∴∠MAP=∠MPA A B P C M A B CP M A B CP M ∴△MAP∽△ABC ∴ 8 5 BC AB AP MP ∴ 8 5 AB PC PA PM 即 8 5 5 8 x ∴BP= 8 39 点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行 转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP 和△PCM 中简化运算。 【例 4】（1）在 ABC 中， 5 ACAB ， 8BC ，点 P 、Q 分别在射线CB 、 AC 上 （点 P 不与点C 、点 B 重合），且保持 ABCAPQ . ①若点 P 在线段CB 上（如图 10），且 6BP ，求线段CQ 的长； ②若 xBP ， yCQ ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的 定义域； （2）正方形 ABCD 的边长为5（如图 12），点 P 、Q分别在直线．．CB 、DC 上（点 P 不与点C 、点 B 重合），且保持 90APQ . 当 1CQ 时，写出线段 BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）. 【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅 在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见 的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式 后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问 题。 解：（1）∵ BAPBCPQAPQ ， ABCAPQ ， ∴ CQPBAP . 又∵ ACAB ，∴ CB . ∴ QCP ∽ ABP . ∴ AB CP BP CQ . ∵ 5 ACAB ， 8BC ， 6BP ， 268 CP ， ∴ 5 2 6 CQ ， 5 12 CQ . （2）若点 P 在线段CB 上，由（1）知 AB CP BP CQ . A B C 备用图 A B CP Q A B C D 图 12 ∵ xBP ， 8BC ， ∴ xBPBCCP 8 ， 又∵ yCQ ， 5AB ，∴ 5 8 x x y ，即 xxy 5 8 5 1 2 . 故所求的函数关系式为 xxy 5 8 5 1 2 ， )80( x . 若点 P 在线段CB 的延长线上，如图 11. ∵ CPQAPBAPQ ， PABAPBABC ， ABCAPQ ，∴ PABCPQ . 又∵ ABCABP 180 ， ACBPCQ 180 ， ACBABC ， ∴ PCQABP .∴ QCP ∽ PBA .∴ PC AB CQ BP . ∵ xBP ， xBPBCCP 8 ， 5AB ， yCQ ， ∴ xy x 8 5 ，即 xxy 5 8 5 1 2 )0( x . （2）当点 P 在线段 BC 上， 2 55 BP ，或 2 55 BP . 当点 P 在线段 BC 的延长线上，则点Q在线段 DC 的延长线上， 2 535 BP . 当点 P 在线段CB 的延长线上，则点Q在线段 DC 的延长线上， 2 535 BP . 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通 过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情 况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。 强化训练： 1. 如图，在△ABC 中， 8 ACAB ， 10BC ，D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，且 CADE ． (1) 求证：△ABD∽△DCE； (2) 如果 xBD ， yAE ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的定义域； (3) 当点 D 是 BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． A B CD E A B C 备用图 P Q 2. 已知：如图，在△ABC 中， 5 ACAB ， 6BC ，点 D 在边 AB 上， ABDE ，点 E在边 BC 上．又点 F 在边 AC 上，且 BDEF ． (1) 求证：△FCE∽△EBD； (2) 当点 D在线段 AB 上运动时，是否有可能使 EBDFCE SS 4 ． 如果有可能，那么求出 BD 的长．如果不可能请说明理由． 3. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上一点，且 BP=2，将一 个大小与∠B 相等的角的顶点放在 P 点，然后将这个角绕 P点转动， 使角的两边始终分别与 AB、AC 相交，交点为 D、E。 （1）求证△BPD∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出 BD 的长；若不存在，说明理由。 4. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点(与 B、C 不 重合)，PE⊥AB 与 E，PF⊥BC 交 AC 与 F，设 PC=x，记 PE= 1y ，PF= 2y （1）分别求 1y 、 2y 关于 x 的函数关系式 （2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出 CP 的长，若不能，请说明理由。 5. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点(与 B、C 不 重合)，PE⊥AB 与 E，PF⊥BC 交 AC 与 F，设 PC=x，△PEF 的面积为 y （1）写出图中的相似三角形不必证明； （2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求 PC 的长。 6. 已知在等腰三角形 ABC 中， 4, 6AB BC AC ，D 是 AC 的中点， E 是 BC 上的动点（不与 B 、C 重合），连结 DE ，过点 D 作射线 DF ，使 EDF A ， 射线 DF 交射线 EB 于点 F ，交射线 AB 于点 H . （1）求证： CED ∽ ADH ； （2）设 ,EC x BF y . ①用含 x 的代数式表示 BH ； ②求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的定义域. 7. 已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足∠BPC＝∠A． CP E A B F CP E A B D CP E A B F A B C D E F H A B C D E F C DA B P ①求证；△ABP∽△DPC ②求 AP 的长． （2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE 交 直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 ①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP＝x，CQ＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，并 写出函数的定义域； ②当 CE＝1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程）． 8. 已知：如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， 90B ， 8AB ， 12AD ， 3 4tan C ， AM∥DC，E、F 分别是线段 AD、AM 上的动点（点 E 与 A、D不重合）且 AMBFEM ， 设 xDE ， yMF . （1）求证： DMAM ； （2）求 y 与 x 的函数关系式并写出定义域； （3）若点 E 在边 AD 上移动时， EFM 为等腰三角形，求 x 的值； 9. 已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 BC =6，AB=DC=4，点 E是 AB 的中点． （1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合），且满足∠EPF=∠C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么 ①当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= x ，DF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并 写出函数的定义域；②当 BEPDMF SS 4 9 时，求 BP 的长． 10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=CD=BC=4，AD=2．点 M 为边 BC 的中点， A E F D B M C E D CB A P （第 25 题图） E D CB A （备用图） A B C D M E F 以 M 为顶点作∠EMF=∠B，射线 ME 交边 AB 于点 E，射线 MF 交边 CD 于点 F，连结 EF． （1）指出图中所有与△BEM 相似的三角形，并加以证明； （2）设 BE=x，CF=y，求 y关于 x 的函数解析式，并写出定义域； 答案： 1. 解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C ∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE （2）∵△ABD∽△DCE∴ AB CD BD CE ∵ xBD ， yAE ， xDC 10 ∴ y x x 810 8 ∴ 8 4 5 8 1 2 xxy )100( x （3）∵ ACAB ， D 是 BC 的中点∴AD⊥BC∴∠DAE+∠ADE=90°∵ DEAE ∴△ADE 是直角三角形 2. 解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C ∵∠BED+∠DEF=∠C+∠EFC=90°又∵ BDEF ∴∠BED=∠EFC ∴△FCE∽△EBD （2）∵BD=x，BE= x 3 5 ， xEC 3 56 ∵△FCE∽△EBD∴ 2)( BD EC S S BED FEC 若 EBDFCE SS 4 ∴ 4)3 56 ( 2 x x ∴ 11 18 x ∴ 3 11 36 3 56 x ∴BD 不存在 3. 解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C ∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD∽△DCE （2）∵∠DPE=∠B 90° 若∠PDE=90°，在 Rt△ABH 和 Rt△PDE 中 ∴cos∠ABH=cos∠DPE= 5 3 PE PD AB BH ∴ 5 3 PC BD PE PD ∵PC=4 ∴ 5 12 BD 若∠PED=90°在 Rt△ABH 和 Rt△PDE 中 ∴cos∠ABH=cos∠PED= 5 3 PD PE AB BH ∴ 3 5 PC BD PE PD CP E A B D H CP E A B D H ∵PC=4 ∴ 5 3 20 BD （舍去） 综上所述，BD 的长为 5 12 4. 解：（1） 5 24 5 4)6( 5 4 1 xxy 、 xy 3 4 2 （2）∵∠FPE=∠B 90° 若∠PFE=90°，在 Rt△ABH 和 Rt△PFE 中 ∴cos∠ABH=cos∠FPE= 5 3 PE PF AB BH ∴ 5 3 1 2 y y ∴ 5 3 5 24 5 4 3 4 x x ∴ 17 27 x 若∠PEF=90°，在 Rt△ABH 和 Rt△PFE 中 ∴cos∠ABH=cos∠FPE= 5 3 PE PF AB BH ∴ 3 5 1 2 y y ∴ 3 5 5 24 5 4 3 4 x x ∴ 3x 5. 解：（1）△PEB∽△EPC （2）∵PC=x∴ xPF 3 4 ， )6( 5 4 xPE ， )6( 25 16 5 4 xEPEH ∴ )6( 75 32)6( 25 16 3 4 2 1 2 1 xxxxEHPFy 即 xxy 25 64 75 32 2 )30( x （3）当 PE=PF 时，△EPC≌△PEB，PC=BE=x， 5 3 6 x x ∴ 4 9 x 当 PE=EF 时， xPFPH 3 2 2 1 ，cos∠EPH=cosB， 5 3 )6( 5 4 3 2 x x ∴ 43 108 x 当 FE=PF 时， )6( 5 2 2 1 xEPPM ， cos∠FPM=cosB， 5 3 3 4 )6( 5 2 x x ∴ 2x 综上所述，PC 的长分别为 4 9 x 、 43 108 、 2 6. 解：（1）∵ AB BC ,∴ A C ∵ CDE EDF A H 又 EDF A ,∴ CDE H CED ∽ ADH CP E A B F H CP E A B F H CP E A B F G H M （2）①∵ CED ∽ ADH ，∴ CE CD AD AH ∵ D 是 AC 的中点， 6AC ，∴ 3AD CD ，又 ∵ , 4CE x AB ∴当 H 点在线段 AB 的延长线上时， 3 3 4 x BH ，∴ 9 4BH x 当 H 点在线段 AB 上时， 3 3 4 x BH ，∴ 94BH x ②过点 D 作 DG∥AB,交 BC 于点G ∴ 1 2 DG CG CD AB BC AC ，∴ 2, 2DG BG ∴当 H 点在线段 AB 的延长线上时，∴ BH BF GD GF ，∴ 9 4 2 2 yx y ∴ 18 8 90 9 2 4 xy x x 当 H 点 在 线 段 AB 上 时 ， ∴ BH BF GD GF ， ∴ 94 2 2 yx y ∴ 8 18 9 4 9 2 4 xy x x 7. 解：（1）①证明：∵ ∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB， ∠BPC＝∠A，∴ ∠ABP＝∠DPC． ∵ 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，∴ ∠A＝∠D．∴ △ABP∽△DPC． ②解：设 AP＝x，则 DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得 DC PD AP AB ，即 2 52 x x 解得 x1＝1，x2＝4，则 AP 的长为 1 或 4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴ DQ AP PD AB 即 y x x 25 2 ，得 2 2 5 2 1 2 xxy ，1＜x＜4． ②AP＝2或 AP＝3－ 5 ． 8. 证明：（1）过点 M 作 ADMG 交AD于 G ∵AM//DC ∴ CAMB ∵ 8AB,90B ∴ BM ABCAMB tantan ∴ BM 8 3 4 ∴ 6BM C DA B P Q E ∵AD//BC，AB//MG ∴AG=BM=6 ∵AD=12 ∴AG=GD∴ AGM ≌ DGM ∴AM=DM (2) ∵ AMBFEM AFEAMB ∴ EFM∽ AEM ∴ FM EM EM AM ∵ 2222 6)-(8EM1086AM x ∴ y x x 22 22 )6(8 )6(8 10 ∴ 10 5 6 10 1y 2 xx 定义域为： 120 x (3) ∵ FEMAEFMAEEFM ∴EM≠FM ∴若 EFM 为等腰三角形，则 EF=EM 或 EF=FM ① 当 EF=EM 时,12- x =10∴ x =2 ② 当 EF=FM 时 ∵ MAEFF EMME ∴ AE=EM ∴ 22 6)-(x8x-12 ∴ 3 11x 9. 证明：（1）∵在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠C BE=2,BP=2,CP=4,CD=4，∴ CD BP CP EB ，∴△BEP∽△CPD (2) ① FPCEPFBEPBEPF 又 ∠ EPF= ∠ C= ∠ B ， ∴ FPCBEP ∴△BEP∽△CPF，∴ CF BP CP EB ∴ 46 2 y x x ∴ 43 2 1 2 xxy （ 42 x ） ②当点 F 在线段 CD 的延长线上时 ∠FDM=∠C=∠B， FMDFPCBEP ，∴△BEP∽△DMF BEPDMF SS 4 9 ，∴ x y BP DF 2 3 又 43 2 1 2 xxy ，∴ 0832 xx ，Δ＜0，∴此方程无实数根， 故当点 F 在线段 CD 的延长线上时，不存在点 P 使 BEPDMF SS 4 9 当点 F 在线段 CD 上时，同理△BEP∽△DMF BEPDMF SS 4 9 ，∴ x y BP DF 2 3 ，又∴△BEP∽△CPF∴ CF BP CP EB ，∴ y x x 46 2 ∴ 43 2 1 2 xxy ，∴ 0892 xx ，解得 11 x ， 82 x 由于 82 x 不合题意舍去，∴ 1x ，即 BP=1 所以当 BEPDMF SS 4 9 时，BP 的长为 1． 10. 解：（1）△CMF∽△BEM，△MEF∽△BEM． 证明如下：在梯形 ABCD 中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C． 又∵∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM，∠EMF=∠B，∴∠FMC=∠BEM． ∴△CMF∽△BEM． ∴ CM BE FM EM ． 又∵CM=BM，∴ BM BE FM EM ．∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM． （2）∵△CMF∽△BEM，∴ CF CM BM BE ． ∵BM=CM=2，∴ y x 2 2 ．∴所求函数的解析式为 x y 4 ，（ 41 x ） 中考数学专题复习——数学应用题 解题步骤： 1、阅读、审题：要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句；为便于 数据处理，最 好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。 2、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。 3、合理求解纯数学问题 4、解释并回答实际问题 一、选择题 1. 已知某种商品的售价为 204 元，即使促销降价 20℅仍有的 20℅利润，则该商 品的成本价是（ ） A．133 B．134 C．135 D．136 2. 为悼念四川汶川地震中遇难同胞，在全国哀悼日第一天，某校升旗仪式中， 先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿 3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正 确反映这一过程中，国旗高度 h（米）与升旗时间 t(秒）的函数关系的大致图象 是（ ） 3. 均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度 h随时 间 t的变化规律如图所示(图中 OABC 为一折线)，这个容器的形状是图中（ ） 4. 如图（2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网 6米 的位置上，则球拍击球的高度 h为 （ ） A B C D A B C O t h A、8/15 B、 1 C、4/3 D、 8/5 5. 如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的 顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行 20m 到达点时，发现身前他影子的 顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都 是 9m，则两路灯之间的距离是（ ） A．24m B．25m C．28m D．30m 二、填空题 6. 为紧急安置 100 名地震灾民,需要同时搭建可容纳 6人和 4人的两种帐篷,则 搭建方案共有 ． 7. 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 m 元的商品，甲超市连续两次降 价 20%，乙超市一次性降价 40%，丙超市第一次降价 30%，第二次降价 10%，此时 顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 ． 8. 某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利 20%，若该书的进价为 21 元， 则标价为 ． 9. 一只不透明的袋子中，装有 2 个白球和 1个红球，这些球除颜色外都相同。 搅匀后从中一把摸出两个球，两个球必是白球的概率为 ． 10. 如图，山脚下有一棵树 AB，小华从点 B沿山坡向上走 50 米到达点 D，用 高 为 1.5 米的测角仪 CD 测得树顶的仰角为 10°，已知山 坡的坡角为 15°，则树 AB 的高为 ．(精确到 0．1 米)（已知 sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈ 0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈ 0.27．) 三、解答题 11. 为了解教学情况,某校抽取了部分初三年级学生期末数学考试成绩,将所得 分数整理后,画出频率分布直方图（分数取整数，满分 120 分）,如图 14 所示, 图中从左到右各小组的小长方形面积之比是 5：16：13：9：7，第一小组的频数 为 10. 请根据以上信息，回答下列问题： ⑴填空：第一小组的频率为_________； ⑵填空：在这个问题中，样本的容量是_____________； ⑶若分数在 81 分以上（含 81 分）为合格，试估计该校初三学生数学成绩的合格 率是多少？（写出计算过程，并作答） 12.小华与小丽设计了 A,B 两种游戏： 游戏 A的规则：用 3张数字分别是 2，3， 4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数 字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上 的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜． 游戏 B的规则：用 4张数字分别是 5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝 上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中 再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大， 则小华获胜；否则小丽获胜． 请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由． 13.如图所示，一根长 2a 的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上， 设木棍的中点为 P. 若木棍 A端沿墙下滑，且 B端沿地面向右滑行. （1）请判断木棍滑动的过程中，点 P到点 O的距离是否变化，并简述理由. （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述 理由，并求出面积的最大值. 中考数学专题复习——信息题问题 班级______________ 姓名_____________________ 座号___________ 信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、 加工、处理等手段去解决实际问题的一类题． 解答信息题时，首先要仔细观阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信 息（如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等），然后对这些 信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题 顺利获解． 一、选择题 1．如下图所示，正方形的面积y与边长x之间的函数关系的大致图象是（ ） A B P M N O 2．四个二次函数的图象，函数在 x=2 时有最大值 3的是（ ） 3．如图，在方格纸中有四个图形＜1＞、＜2＞、＜3＞、＜4＞，其中面积相等 的图形是（ ） A． ＜1＞和＜2＞ B．＜2＞和＜3＞ C．＜2＞和＜4＞ D．＜1 ＞和＜4＞ 4. 市内货摩(运货的摩托)的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的， 每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（ ） 5. 2003 年春季，我国部分地区 SARS 流行，党和政府采取果断措施，防治结合， 很快使病情得到控制．图 2－l－10 是某同学记载的 5 月 1 日到 30 日每天全 国的 SARS 新增确诊病例数据图．将图中记载的数据每 5天作为一组，从左至 右分为第一组至第六 组，下列说法：①第一组的平均数最大，第六组的平均数最小；②第二组的 中位数为 138；③第四组的众数为 28．其中正确的有（ ） A．0个 B．l个 C．2个 D．3个 二.填空题 6. 4、函数 的图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确．．．．．的是 ___________. ① 该函数的图象是中心对称图形 ② 当 时，该函数在 时取得最小值 2 ③ 的值不可能为 1 ④ 在每个象限内， 的值随 值的增大而减小 7．红星村今年对农田秋季播种作如图（3）的规划，且只种植这三种农 作物，则该村种植油菜占种植所有农作物的______%． 8. 二次函数 y＝ax2+(a－b）x—b 的图象如图，那么化简 2 22 | |a ab b b a 的结果是_________________. 9.为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条 件下对他们的电脑知识进行了 10 次测验，成绩如下，（单位：分）： 甲 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙 82 86 87 90 79 81 93 90 74 76 请填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 85 分以上频率 甲 84 84 14.4 0.3 乙 84 84 34 10.如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km 的过程中，行使的路程 y与经过的时间 x之间的函数关系．请根据图象填空：____________出发的早， 早了___________小时，____________先到达，先到_________小时，电动自行车 的速度为_________km / h，汽车的速度为_________km / h． 三、解答题 11.在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙 两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃 烧时间x(h)的关系如图2－1－2所示．请根据图象所提供的信 息解答下列问题： ⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是_____，从点燃到燃 尽所用的时间分别是_____； ⑵分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； ⑶当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相 等？ 12.某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型收割机20台，乙型收割机30 台，现将这50台收割机派往 A、B两地，其中30台派往 A地区，20台派往 B地区， 两地区与该农机公司商定的每天的租赁价格表如下： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800元 1600元 B 地区 1600元 1200元 （1）设派往 A地区 x台乙型收割机，租赁公司这50台收割机一天获得的租金为 y元，求 y与 x的函数关系式，并写出 x的取值范围。 （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元， 说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来。 （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司 提出一个合理建议。 中考数学专题复习——网格问题 这类题型的特点：以网格为背景，引出线段、角、三角形、四边形、相似、 圆、面积以及图案设计等问题，给人以耳目一新的感觉，作为考查学生数形结 合思想方法的运用能力和动手操作能力的载体，它除了给出图形显性特征，还 隐藏了网格所具有的隐含条件，解决问题的关键在于用好“网格”这个隐含条 件。 一、选择题．．．．． 1、如图，将三角形向右平移 2个单位长度，再向上平移 3个单位长 度，则平移后三个顶点的坐标是 （ ） A、(1, 7),(－2, 2),(3, 4) B、 (1, 7),(-2, 2),(4, 3)． C、 (1, 7),(2, 2),(3, 4)． D、(1, 7),(2,－2),(3, 3)． 2、如图，已知△ABC 的顶点 B的坐标是(2，1)，将△ABC 向左平移两个单位 后，点 B平移到 B1，则 B1的坐标是（ ）． A．(4，1) B．(0，1) C．(－1，1) D．(1， 0) 3、如图，方格纸上一圆经过（2 , 5）、（2 , -3）两点，且此两点为圆与方格纸 横线的切点，则该圆圆心的坐标为（ ） A．（2, -1） B．（2, 2） C．（2, 1） D．（3, 1） 4、在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1的正方形，A、B两点在小方格的 顶点上，位置如图所示，点 C也在小方格的顶点上，且 A、B、C为顶点的三角形 的面积为 1个平方单位，则点 C的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5、如图，在方格纸中，α、β与γ这三个角的大小关系是（ ） A. α=β>γ B. α<β<γ C. α>β>γ D. α=β=γ 二、填空题 1、如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则 AC 边 上的高是 ． 2、如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心 O在 格点上，则∠AED 的正切值等于 ． 3、某正方形园地是由边长为 1 的四个小正方形组成的，现要在 园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半， 以下图中设计不合要求．．．．的是 ． 4、如图，是一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 2 x 的图像，则关 于 x的方程 kx+b= 2 x 的解为 ． 5、请你在下面 3个网格（两相邻格点的距离均为 1个单位长度）内，分别设计 1个图案，要求:在(1)中所设计的图案是面积等于 3 的轴对称图形；在（2）中 γ β α A CB 所设计的图案是面积等于 2 3 的中心对称图形；在（3）中所设计的图案既是轴 对称图形又是中心对称图形，并且面积等于 3 3 ．将你设计的图案用铅笔涂黑． 三、解答题 11、如图⑴是某城市三月份 1至 10 日的最低气温随时间变化的图象． ⑴ 根据图⑴提供的信息，在图⑵中补全直方图； ⑵ 这 10 大最低气温的众数是℃，最低气温的中位数是______ ℃，最低气 温的平均数是_______℃． 12、如图 6，已知 ABC△ : （1） AC 的长等于_______． （2）若将 ABC△ 向右平移 2 个单位得到 A B C △ ， 则 A点的对应点 A的坐标是______； （3） 若将 ABC△ 绕点C 按顺时针方向旋转90后得到 A1B1C1，则 A点对应点 A1的坐标是_________． 13、如图，网格小正方形的边长都为 1．在△ABC 中， 试画出三边的中线（顶点与对边中点连结的线段），然后探究三条中线位置及其 有关线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？请说明理由． （1） （2） （3） 14、现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸 中，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，并且平行四边形纸片的每个顶点与 小正方形的顶点重合（如图 1、图 2、图 3）． 分别在图 1、图 2、图 3 中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁 剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下 列要求的几何图形． 要求： （1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格 纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形； （2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 中考数学习题精选：圆的有关计算与证明 解答题 1.△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB=11cm，BC=16cm，CA=15cm， 求 AF、BD、CE 的长？ 2.如图，在 4×4 的方格纸中（共有 16 个小方格），每个小方格都是边长为 1 的正方形．O、A、 B 分别是小正方形的顶点，求扇形 OAB 的弧长，周长和面积．（结果保留根号及π）． 图 1 矩形（非正方形） 图 2 正方形 图 3 有一个角是 135°的三角形 3.如图,直线 y= 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,圆心 P 的坐标为(1,0),圆 P 与 y 轴相切于点 O.若将圆 P沿 x轴向左移动,当圆 P与该直线相交时,求横坐标为整数的点 P的个 数. 4.如图所示，已知 F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是弧 BF 的中点，AD⊥BC 于点 D，求证：AD= BF． 5.如图，在△ABC 中，BE 是它的角平分线，∠C=90°，点 D 在 AB 边上，以 DB 为直径的半圆 O 经过点 E，交 BC 于点 F （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）已知 sinA= ，⊙O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积 6.如图，已知 是△ 的外角 的平分线，交 的延长线于点 ，延长 交△ 的外接圆于点 ，连接 ， ． （1）求证： ． （2）已知 ，若 是△ 外接圆的直径， ，求 的长． 7.已知：如图，在△ABC 中，AB=BC=10，以 AB 为直径作⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E，连 接 DE和 DB，过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F，交 BD 于点 P． （1）求证：AD=DE； （2）若 CE=2，求线段 CD 的长； （3）在（2）的条件下，求△DPE 的面积． 8.如图，AB 是半圆 O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC 是半圆 O 的切线； （2）若 OC∥AD，OC 交 BD 于 E，BD=6，CE=4，求 AD 的长． 9.如图 1，在正方形 ABCD 中，以 BC 为直径的正方形内，作半圆 O，AE 切半圆于点 F 交 CD 于点 E，连接 OA、OE． （1）求证：AO⊥EO； （2）如图 2，连接 DF 并延长交 BC 于点 M，求 的值． 10.如图，AD 是⊙O 的切线，切点为 A，AB 是⊙O 的弦．过点 B 作 BC∥AD，交⊙O 于点 C， 连接 AC，过点 C 作 CD∥AB，交 AD 于点 D．连接 AO并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线 于点 P，且∠BCP=∠ACD． （1）判断直线 PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AB=9，BC=6．求 PC 的长． 11.如图，点 A 在⊙O 上，点 P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点 A，连接 OP 交⊙O 于点 D，作 AB⊥OP 于点 C，交⊙O于点 B，连接 PB． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）若 PC=9，AB=6 ， ①求图中阴影部分的面积； 12.如图，AB 是⊙O 的直径，过点 A 作⊙O 的切线并在其上取一点 C，连接 OC 交⊙O 于点 D， BD 的延长线交 AC 于 E，连接 AD． （1）求证：△CDE∽△CAD； （2）若 AB=2，AC=2 ，求 AE 的长． 13.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 是一点，过点 B 作⊙O 的切线，与 AC 延长线交于点 D， 连接 BC，OE//BC 交⊙O于点 E，连接 BE 交 AC 于点 H． （1）求证：BE 平分∠ABC； （2）连接 OD，若 BH=BD=2，求 OD的长． 14.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（2，8），且与 x 轴相 切于点 B. 图① 图② （1）当 x＞0，y=5 时，求 x的值； （2）当 x = 6 时，求⊙P 的半径； （3）求 y 关于 x 的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象 （不必列表，画草图即可）. 15.如图，△OAB 的底边经过⊙O 上的点 C，且 OA=OB，CA=CB，⊙O 与 OA、OB 分别交于 D、 E 两点． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 D 为 OA 的中点，阴影部分的面积为 ，求⊙O 的半径 r． 16.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于 点 F，⊙O 是△BEF 的外接圆． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）过点 E作 EH⊥AB，垂足为 H，求证：CD=HF； （3）若 CD=1，EH=3，求 BF 及 AF 长． 17.如图，CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为点 F，AO⊥BC，垂足为点 E，CE=2． （1）求 AB 的长； （2）求⊙O 的半径． 18.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE，OE． （1）判断 DE 与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=2CD•OE； （3）若 cos∠BAD= ，BE= ，求 OE的长． 19.如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D，已 知∠D＝30°. （1）求∠A 的度数； （2）若点 F 在⊙O 上，CF⊥AB，垂足为 E，CF＝ ，求图中阴影部分的面积. 20.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 D，E，F 分别在 AC，BC，AB 边上，以 AF 为直径的⊙ O 恰好经过 D，E，且 DE=EF． （1）求证：BC 为⊙O的切线； （2）若∠B=40°，求∠CDE 的度数； （3）若 CD=2，CE=4，求⊙O 的半径及线段 BE 的长． 21.如图，⊙ 的圆心 在反比例函数 的图像上，且与 轴、 轴相切于点 、 ，一次函数 的图像经过点 ，且与 轴交于点 ，与⊙ 的另一个 交点为点 . （1）求 的值及点 的坐标； （2）求 长及 的大小； （3）若将⊙ 沿 轴上下平移，使其与 轴及直线 均相切，求平移的方向 及平移的距离. 参考答案 解答题 1.解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D、E、F， ∴AF=AE，BF=BD，CD=CE． 设 AF=AE=x，则 BF=BD=11﹣x，EC=DC=15﹣x． 根据题意得 11﹣x+15﹣x=16． 解得；x=5cm． ∴AF=5cm．BD=11﹣x=11﹣5=6cm，EC=15﹣x=10cm． ∴AF=5cm，BD=6cm，EC=10cm． 2.解：由图形可知，∠AOB=90°， ∴OA=OB= =2 ， ∴ = = ，扇形 OAB 的面积= =2π． 弧 AB 的长是： = π ∴周长=弧 AB 的长+2OA= π+4 ． 综上所述，扇形 OAB 的弧长是 π，周长是 π+4 ，面积是 2π． 3.解:∵直线 y= 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,∴A 点的坐标为(-3,0),B 点的坐 标为(0, ),∴AB=2 . 如图,将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相切于 C1时,连结 P1C1,则 P1C1=1, 易知△AP1C1∽△ABO,∴ = ,∴AP1=2,∴P1的坐标为(-1,0),同理可得 P2的坐标为(-5,0). -5 与-1 之间的整数(不含-5 和-1)有:-4,-3,-2,故满足题意的点 P 的个数是 3 4.证明：连接 OA，交 BF 于点 E， ∵A 是弧 BF 的中点，O 为圆心， ∴OA⊥BF， ∴BE= BF， ∵AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADO=∠BEO=90°， 在△OAD 与△OBE 中， ， ∴△OAD≌△OBE（AAS）， ∴AD=BE， ∴AD= BF 5. （1）证明：连结 OE， [MISSING IMAGE: , ] ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠ABE， ∴∠ABC=∠AOE， 又∵∠C=90°， ∴∠A+∠ABC=90°， ∴∠A+∠AOE=90°， ∵∠AEO=90°， 即 OE⊥AC， ∴AC 为⊙O的切线 . （2）解：连结 OF， ∵sinA= , ∴∠A=30°， 由（1）知 OE⊥AC， ∴∠AOE=∠ABC=60°， ∵⊙O 半径为 3， ∴OD=OE=OF=OB=BF=3， ∴∠BOF=∠EOF=∠ABC=60°, ∴S 扇形OEF= ， 在 Rt△AOE 中， ∴AO=6，AE=3 ， 在 Rt△ACB 中， ∴AB=9，BC= ， AC= ， ∴CE=AC-AE= -3 ， CF=BC-BF= -3= ， ∴S 梯形OFCE= = = ， ∴S 阴=S 梯形OFCE-S 扇形OEF= - . 6.（1）解：∵四边形 内接于圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是△ 的外角 平分线， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ （2）解：由（ ）得 ， 又∵ ， ∴△ ∽△ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ， ∵ 是直径， ∴ ， ∴BD= ， 又∵∠D=∠D， ∴△DBF∽△DAC， ∴ ， ∴ CD=24，解得：CD= . 7.（1）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°，即 BD⊥AC ∵AB=BC， ∴△ABD≌CBD ∴∠ABD=∠CBD 在⊙O 中，AD 与 DE 分别是∠ABD 与∠CBD 所对的弦 ∴AD=DE； （2）解：∵四边形 ABED 内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB， ∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴ ， ∵AB=BC=10，CE=2，D 是 AC 的中点， ∴CD= ； （3）解：延长 EF 交⊙O 于 M， 在 Rt△ABD 中，AD= ，AB=10， ∴BD=3 ， ∵EM⊥AB，AB 是⊙O 的直径， ∴ ， ∴∠BEP=∠EDB， ∴△BPE∽△BED， ∴ ， ∴BP= ， ∴DP=BD-BP= ， ∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32， ∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5， ∴S△BDE=12， ∴S△DPE= ． 8.（1）证明：∵AB 是半圆 O 的直径 ∴∠D=90° ∴∠A+∠DBA=90° ∵∠DBC=∠A ∴∠DBC+∠DBA=90° ∴BC⊥AB ∴BC 是半圆 O的切线 （2）解：∠BEC=∠D=90∘， ∵BD⊥AD，BD=6， ∴BE=DE=3， ∵∠DBC=∠A， ∴△BCE∽△BAD， ∴ ，即 ∴AD=4.5 9.（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B=∠C=90°，AB∥CD， ∴AB 和 CD 为⊙O 的切线， ∵AE 切半圆于点 F， ∴OA 平分∠BAE，OE 平分∠AEC， 而 AB∥CD， ∴∠BAE+∠AEC=180°， ∴∠OAE+∠OEA=90°， ∴∠AOE=90°， ∴OA⊥OE （2）解：作 FH⊥CD 于 H，如图，设正方形 ABCD 的边长为 4a， 则 AF=AB=4a，OB=OC=2a， ∵∠AOE=90°， ∴∠AOB+∠COE=90°， ∵∠AOB+∠OAB=90°， ∴∠OAB=∠EOC， ∴Rt△ABO∽Rt△OCE， ∴AB：OC=OB：CE，即 4a：2a=2a：CE，解得 CE=a， ∴EF=EC=a， ∴EA=5a，ED=3a， ∵FH∥AD， ∴△EFH∽△EAD， ∴ = = ，即 = = ， ∴FH= a，EH= a， ∴DH=3a﹣ a= a， ∴CH=4a﹣ a= a， ∵FH∥CM， ∴ = = ． 10.（1）解：PC 与圆 O 相切，理由为： 过 C 点作直径 CE，连接 EB，如图， ∵CE 为直径， ∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°， ∵AB∥DC， ∴∠ACD=∠BAC， ∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD． ∴∠E=∠BCP， ∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°， ∴CE⊥PC， ∴PC 与圆 O 相切； （2）解：∵AD 是⊙O 的切线，切点为 A， ∴OA⊥AD， ∵BC∥AD， ∴AM⊥BC， ∴BM=CM= BC=3， ∴AC=AB=9， 在 Rt△AMC 中，AM= =6 ， 设⊙O 的半径为 r，则 OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r， 在 Rt△OCM 中，OM2+CM2=OC2 ， 即 32+（6 ﹣r）2=r2 ， 解得 r= ， ∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ， ∴BE=2OM= ， ∵∠E=∠MCP， ∴Rt△PCM∽Rt△CEB， ∴ = ， 即 = ， ∴PC= ． 11.（1）证明：如图 1，连接 OB， ∵OP⊥AB，OP 经过圆心 O， ∴AC=BC， ∴OP 垂直平分 AB， ∴AP=BP， ∵OA=OB，OP=OP， ∴△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠PAO=∠PBO， ∵PA 切⊙O于点 A， ∴AP⊥OA， ∴∠PAO=90°， ∴∠PBO=∠PAO=90°， ∴OB⊥BP， 又∵点 B 在⊙O上， ∴PB 与⊙O 相切于点 B； （2）解：如图 1， ∵OP⊥AB，OP 经过圆心 O， ∴BC= AB=3 ， ∵∠PBO=∠BCO=90°， ∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°， ∴∠PBC=∠BOC， ∴△PBC∽△BOC， ∴ ∴OC= = =3， ∴在 Rt△OCB 中，OB= = =6，tan∠COB= = ， ∴∠COB=60°， ∴S△OPB= ×OP×BC= × =18 ，S 扇 DOB= =6π， ∴S 阴影=S△OPB﹣S 扇 DOB=18 ﹣6π； ②若点 E 是⊙O 上一点，连接 AE，BE，当 AE=6 时，BE= ． 3 ﹣3 或 3 +3 12.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵AC 为⊙O的切线， ∴BA⊥AC， ∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠B=∠CAD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， 而∠ODB=∠CDE， ∴∠B=∠CDE， ∴∠CAD=∠CDE， 而∠ECD=∠DCA， ∴△CDE∽△CAD （2）解：∵AB=2， ∴OA=1， 在 Rt△AOC 中，AC=2 ， ∴OC= =3， ∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2， ∵△CDE∽△CAD， ∴ = ，即 = ， ∴CE= ． ∴AE=AC﹣CE=2 ﹣ = ． 13.（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OE//BC， ∴OE⊥AC， ∴ = ， ∴∠1=∠2， ∴BE 平分∠ABC （2）解：∵BD 是⊙O 的切线， ∴∠ABD=90°， ∵∠ACB=90°，BH=BD=2， ∴∠CBD=∠2， ∴∠1=∠2=∠CBD， ∴∠CBD=30°，∠ADB=60°， ∵∠ABD=90°， ∴AB=2 ，OB= ， ∵OD2=OB2+BD2 ， ∴OD= ． 14.（1）解: 由 y=5，得到 P（x，5），连接 AP，PB， ∵圆 P 与 x 轴相切， ∴PB⊥x 轴， 即 PB=5， 由 AP=PB，由勾股定理得，x=2+ =2+4=6， ∴x=6 （2）解: 由 x=6，得到 P（6，y），连接 AP，PB，∵圆 P 与 x 轴相切，∴PB⊥x 轴，即 PB=y， 由 AP=PB，得到 =y， 解得：y=5，则圆 P 的半径为 5 （3）解: 同（2），由 AP=PB，得到（x﹣2）2+（8﹣y）2=y2 ，整理得： = ， 即 图 象 为 抛 物 线 ， 画 出 函 数 图 象 ， 如 图 ② 所 示 ； 15.（1）证明：连 OC，如图， ∵OA=OB，CA=CB， ∴OC⊥AB， ∴AB 是⊙O 的切线； （2）解：∵D为 OA 的中点，OD=OC=r， ∴OA=2OC=2r， ∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC= r， ∴∠AOB=120°，AB=2 r， ∴S 阴影部分=S△OAB﹣S 扇形ODE= •OC•AB﹣ = ﹣ ， ∴ •r•2 r﹣ r2= ﹣ ， ∴r=1， 即⊙O 的半径 r 为 1 16. （1）证明：如图，连接 OE． ∵BE⊥EF， ∴∠BEF=90°， ∴BF 是圆 O 的直径． ∵BE 平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO=∠C=90°， ∴AC 是⊙O的切线； （2）证明：如图，连结 DE． ∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC 于 C，EH⊥AB 于 H， ∴EC=EH． ∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE． 在△CDE 与△HFE 中， ， ∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD=HF （3）由（2）得 CD=HF，又 CD=1， ∴HF=1， 在 Rt△HFE 中，EF= = ， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF=90°， ∴∠EHF=∠BEF=90°， ∵∠EFH=∠BFE， ∴△EHF∽△BEF， ∴ = ，即 = ， ∴BF=10， ∴OE= BF=5，OH=5﹣1=4， ∴Rt△OHE 中，cos∠EOA= ， ∴Rt△EOA 中，cos∠EOA= = ， ∴ = ， ∴OA= ， ∴AF= ﹣5= 17.（1）解：∵ ， ∴ 在 中 ∴ ∴ ∵ , ∴ ∵ 是 的直径， ∴ ∴ （2）解：∵ 是 的半径， , ∴ , ∵ , ∴ . ∵ ， ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 的半径是 18.（1）证明：连接 OD，BD， ∵AB 为圆 O 的直径， ∴∠ADB=90°， 在 Rt△BDC 中，E 为斜边 BC 的中点， ∴CE=DE=BE= BC， ∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°， ∴DE⊥OD，又 OD 为圆的半径， ∴DE 为圆 O 的切线； （2）证明：∵E 是 BC 的中点，O 点是 AB 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴AC=2OE， ∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC， ∴△ABC∽△BDC， ∴ ，即 BC2=AC•CD． ∴BC2=2CD•OE （3）解：∵cos∠BAD= ， ∴sin∠BAC= = ， 又∵BE= ，E是 BC 的中点，即 BC= ， ∴AC= ． 又∵AC=2OE， ∴OE= AC= 19.（1）解：连接 OC， ∵CD 切⊙O 于点 C ∴∠OCD=90° ∵∠D=30° ∴∠COD=60° ∵OA=OC ∴∠A=∠ACO=30°； （2）解：∵CF⊥直径 AB，CF=4 ∴CE=2 ∴在 Rt△OCE 中，tan∠COE= ， OE= =2， ∴OC=2OE=4 ∴S 扇形 BOC= ，S△EOC= ×2×2 =2 ∴S 阴影=S 扇形 BOC-S△EOC= -2 ． 20.（1）证明：连接 OD、OE、DF，如图， ∵AF 为直径， ∴∠ADF=90°， 而∠C=90°， ∴DF∥BC， ∵DE=EF， ∴ = ∴OE⊥DF， ∴OE⊥BC， ∴BC 为⊙O 的切线 （2）解：∵∠OEB=90°，∠B=40°， ∴∠BOE=90°﹣40°=50°， ∴∠OFE= （180°﹣50°）=65°， ∴∠CDE=∠AFE=65° （3）解：易得四边形 CDHE 为矩形， ∴HE=CD=2，DH=CE=4， 设⊙O 的半径为 r，则 OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r， 在 Rt△OHD 中，（r﹣2）2+42=r2 ， 解得 r=5， ∵OH⊥DF， ∴HF=DH=4， ∵HF∥BE， ∴△OHF∽△OEB， ∴HF：BE=OH：OE，即 4：BE=3：5， ∴BE= 21.（1）解：如图 1 中，连接 AC、AB． ∵⊙A 与 x轴、y 轴相切于点 B、C， ∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四边形 ABOC 是正方形，设 A（m，m）， ∵点 A 在 y= 上， ∴m2=3，∵m＞0， ∴点 A 坐标（ ， ）， ∴OC= ， ∴点 C 坐标（0， ）， ∵一次函数 y= x+b 的图象经过点 C， ∴b= ， ∴一次函数的解析式为 y= ， 令 y=0 得 x=-3，∴D（-3，0），b= （2）解：如图 2 中，连接 BC、BE，作 AM⊥CE 于 M． 在 Rt△DOC 中， ∵tan∠CDO= ， ∴∠CDO=30°， ∵AC∥BD， ∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°， ∵AM⊥CE， ∴∠CAM=∠EAM=60°， ∴∠CAE=120°， 在 Rt△AMC 中，CM=AC•cos30°= ，∴CE=2CM=3，∴∠CBE= ∠CAE=60° （3）解：如图 3 中， ①当⊙A″与直线 y= 相切于点 E，AB 与直线 CD 交于点 K， ∵AB∥OC， ∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，在 Rt△A″EK 中，A″E= ，A″K=A″E÷cos30°=2，在 Rt△CKA 中， AK=CA•tan30°=1， ∴AA″=A″K+AK=1+2=3， ∴⊙A 向上平移 3 的单位⊙A 与 y 轴及直线 y= 均相切．②同理可得⊙A 向下平 移 1 个单位⊙A 与 y 轴及直线 y= 均相切 中考数学专题复习——阅读理解题 班级______________ 姓名_____________________ 座号___________ 阅读理解题的篇幅一般都较长，试题结构大致分两部分：一部分是阅读材 料，别一部分是根据阅读材料需解决的有关问题．阅读材料既有选用与教材知 识相关的内容的，也有广泛选用课外知识的．考查目标除了初中数学和基础知 识外，更注重考查阅读理解、分析转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质 和能力． 一、 选择题 1. 形如 d c b a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 d c b a ＝ad －bc，依此法则计算 4 1 3 2 的结果为（ ） A．11 B．－11 C．5 D．－2 2.为了求 200832 22221 的值，可令 S＝ 200832 22221 ，则 2S＝ 2009432 22222 ，因此 2S-S＝ 122009 ，所以 200832 22221 ＝ 122009 仿照以上推理计算出 200932 55551 的值是（ ） A. 152009 B. 152010 C. 4 152009 1 2 312 1 2 3 1 2 3 4 x y D. 4 152010 3. 有一个运算程序，可以使：a⊕b = n ( n为常数)时，得 （ a +1） ⊕b = n +1， a⊕（b +1）= n -2，现在已知1⊕1 = 2，那么2008⊕2008 = ． 4. 如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成，图 中，第 1个黑色 L形由 3个正方形组成，第 2个黑色 L形由 7个正方 形组成，……那么第 6个黑色 L形的正方形个数是（ ） A.22 B.23 C.24 D.25 二、填空题 5. 定义新运算“”，规则： ( ) ( ) a a b a b b a b ，如1 2 2 ， 5 2 2 。若 2 1 0x x 的两根为 1 2,x x ，则 1 2x x ＝ ． 6. 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码 0和 1 的 二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数 1011 换算成十进制数应为： 3 2 1 01 2 0 2 1 2 1 2 11 ．按此方式，则将十进制数 6 换算成二进制数应 为 ． 7. 小明用下面的方法求出方程 2 3 0x 的解，请你仿照他的方法求出下面另 外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中． 方程 换元法得新 方程 解新方程 检验 求原方程的 解 2 3 0x 令 x t ， 则 2 3 0t 3 2 t 3 0 2 t 3 2 x ， 所以 9 4 x 2 3 0x x 2 4 0x x 8. 阅读材料，解答问题． 例 用图象法解一元二次不等式： 2 2 3 0x x ． 解：设 2 2 3y x x ，则 y 是 x 的二次函数． 1 0a ， 抛物线开口向上． 又当 0y 时， 2 2 3 0x x ，解得 1 21 3x x ， ． 由此得抛物线 2 2 3y x x 的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当 1x 或 3x 时， 0y ． 2 2 3 0x x 的解集是： 1x 或 3x ． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式： 2 2 3 0x x 的解集是____________； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式： 2 1 0x ．（大致图象画在答题卡．．． 上） 三、解答题 9. 阅读下面材料，再回答问题： 一般地，如果函数 y＝f（x）对于自变量取值范围内的任意 x，都有 f（－x）＝ －f（x），那么 y＝f（x）就叫做奇函数；如果函数 y＝f（x）对于自变量取值范 围内的任意 x，都有 f（－x）＝f（x），那么 y＝f（x）就叫做偶函数． 例如： xxxf 3)( 当 x取任意实数时， )()()()( 333 xxxxxxxf 即 f（－x）＝－f（x） 所以 )()( xfxf 为奇函数 又如 f（x）＝ x 当 x取任意实数时， )()( xfxxxf 即 f（－x）＝f（x） 所以 f（x）＝ x 是偶函数 问题（1）：下列函数中 ① 4xy ② 12 xy ③ 3 1 x y ④ 1 xy ⑤ x xy 1 所有奇函数是 ，所有偶函数是 （只填序 号）． 问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数． 10．阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过 A、 C两点画直线 AC 把平行四边形 ABCD 分割成两个部分（ a），小刚过 AB、AC 的 1 2 4 3 F E DD D CCC BBB AAA 中点画直线 EF，把平行四边形 ABCD 也分割成两个部分（b ）； （ a ） （b ） （ c ） （1）这两种分割方法中面积之间的关系为： 21 ____ SS ， 43 ____ SS ； （2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面 积关系的直线有 条，请在图（ c）的平行四边形中画出一种； （3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？ 11.阅读理解：对于任意正实数 a、b，∵ 2( )a b ≥0， ∴ 2a ab b ≥0， ∴ a b ≥ 2 ab ，只有当 a＝b时，等号成立． 结论：在 a b ≥ 2 ab （a、b 均为正实数）中，若 ab 为定值 p，则 a+b ≥ 2 p ，只有当 a＝b时，a+b 有最小值 2 p ． 根据上述内容，回答下列问题： 若m＞0，只有当 m＝ ▲ 时， 1m m 有最小值 ▲ ． 思考验证：如图 1，AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆上任意一 点（与点 A、B 不重合），过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，AD＝a， DB＝b．试根据图形验证 a b ≥ 2 ab ，并指出等号成立时的条件． 探索应用：如图 2，已知 A(－3，0)，B(0，－4)，P 为双曲线 D C BA O 第 11 题图 1 第 11 题图 2 x y 12 （x＞0）上的任意一点，过点 P 作 PC⊥x轴于点 C，PD⊥y 轴于点 D．求 四边形 ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形 ABCD 的形状． 中考数学专题讲座：新概念型问题 一、中考专题诠释 所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运 算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推 理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视 学生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲 “新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 三、中考典例剖析 考点一：规律题型中的新概念 例 1 （2012•永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如 1，3，9，19，33，… 就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如 2，4，6，8，10 就 是一个等差数列，它的公差为 2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是 等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列 1，3，9，19，33，…，它的后一个数 与前一个数的差组成的新数列是 2，6，10，14，…，这是一个公差为 4 的等差数列，所以， 数列 1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列 1，3，7，13，… 的第五个数应是 ． 思路分析：由于 3－1=2，7－3=4，13－7=6，…，由此得出相邻两数之差依次大 2，故 13 的 后一个数比 13 大 8． 解答：解：由数字规律可知，第四个数 13，设第五个数为 x， 则 x－13=8，解得 x=21，即第五个数为 21， 故答案为：21． 点评：本题考查了数字变化规律类问题．关键是确定二阶等差数列的公差为 2． 对应训练 1．（2012•自贡）若 x是不等于 1的实数，我们把 1 1 x 称为 x的差倒数，如 2的差倒数是 1 1 2 1 ，－1 的差倒数为 1 1 ( 1) 1 2 ，现已知 x 1 1 3 ，x2是 x1的差倒数，x3是 x2的差倒数， x4是 x3的差倒数，…，依次类推，则 x2012= ． 考点二：运算题型中的新概念 例 2 （2012•菏泽）将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 a b c d ， 概念 a b c d =ad－bc，上述记号就叫做 2 阶行列式．若 1 1 1 1 x x x x 8 ，则 x= ． 思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为 x 的值． 解：根据题意化简 1 1 1 1 x x x x =8，得：（x+1）2－（1－x）2=8， 整理得：x2+2x+1－（1－2x+x2）－8=0，即 4x=8， 解得：x=2． 故答案为：2 点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去 括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 对应训练 2．（2012•株洲）若（x1，y1）•（x2，y2） x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8） ． 考点三：探索题型中的新概念 例 3 （2012•南京）如图，A、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与 A、B 重合）、我们称∠APB 是⊙O 上关于点 A、B 的滑动角． （1）已知∠APB 是⊙O 上关于点 A、B 的滑动角， ①若 AB 是⊙O 的直径，则∠APB °； ②若⊙O 的半径是 1，AB ，求∠APB 的度数； （2）已知 O2是⊙O1 外一点，以 O2 为圆心作一个圆与⊙O1 相交于 A、B 两点，∠APB 是 ⊙O1上关于点 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交⊙O2于 M、N（点 M 与点 A、点 N 与 点 B 均不重合），连接 AN，试探索∠APB 与∠MAN、∠ANB 之间的数量关系． 思路分析： （1）①根据直径所对的圆周角等于 90°即可求解； ②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB 90°，再分点 P 在优弧 上；点 P 在劣弧 上两种情 况讨论求解； （2）根据点 P 在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB 与∠MAN、∠ANB 之间的数量关 系． 解：（1）①若 AB 是⊙O 的直径，则∠APB 90． ②如图，连接 AB、OA、OB． 在△AOB 中， ∵OA OB 1．AB ， ∴OA2+OB2 AB2． ∴∠AOB 90°． 当点 P 在优弧 上时，∠AP1B ∠AOB 45°； 当点 P 在劣弧 上时，∠AP2B （360°﹣∠AOB） 135°…6 分 （2）根据点 P 在⊙O1 上的位置分为以下四种情况． 第一种情况：点 P 在⊙O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图 ① ∵∠MAN ∠APB+∠ANB， ∴∠APB ∠MAN﹣∠ANB； 第二种情况：点 P 在⊙O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 N 在点 P 与点 B 之间，如图 ②． ∵∠MAN ∠APB+∠ANP ∠APB+（180°﹣∠ANB）， ∴∠APB ∠MAN+∠ANB﹣180°； 第三种情况：点 P 在⊙O2 外，且点 M 在点 P 与点 A 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图 ③． ∵∠APB+∠ANB+∠MAN 180°， ∴∠APB 180°﹣∠MAN﹣∠ANB， 第四种情况：点 P 在⊙O2 内，如图④， ∠APB ∠MAN+∠ANB． 点评： 综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大， 注意分类思想的运用． 对应训练 3．（2012•陕西）如果一条抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的 顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线 y=－x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值； （3）如图，△OAB 是抛物线 y=－x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点 O 为 对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明 理由． 考点四：开放题型中的新概念 例 4 （2012•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2） 的“非常距离”，给出如下概念： 若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|x1－x2|； 若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|y1－y2|． 例如：点 P1（1，2），点 P2（3，5），因为|1－3|＜|2－5|，所以点 P1与点 P2的“非常距离” 为|2－5|=3，也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 交点）． （1）已知点 A（－ 1 2 ，0），B 为 y 轴上的一个动点， ①若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标； ②直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值； （2）已知 C 是直线 y= 3 4 x+3 上的一个动点， ①如图 2，点 D 的坐标是（0，1），求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的坐 标； ②如图 3，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“非常距离” 的最小值及相应的点 E 与点 C 的坐标． 思路分析：（1）①根据点 B 位于 y 轴上，可以设点 B 的坐标为（0，y）．由“非常距离”的概 念可以确定|0－y|=2，据此可以求得 y 的值； ②设点 B 的坐标为（0，y）．因为|－ 1 2 －0|≥|0－y|，所以点 A 与点 B 的“非常距离”最小值 为|－ 1 2 －0|= 1 2 ； （2）①设点 C 的坐标为（x0， 3 4 x0+3）．根据材料“若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点 P1与点 P2的“非 常距离”为|x1－x2|”知，C、D 两点的“非常距离”的最小值为－x0= 3 4 x0+2，据此可以求得点 C 的坐标； ②当点 E在过原点且与直线 y= 3 4 x+3 垂直的直线上时，点 C 与点 E 的“非常距离”最小，即 E （－ 3 5 ， 4 5 ）．解答思路同上． 解：（1）①∵B 为 y 轴上的一个动点， ∴设点 B 的坐标为（0，y）． ∵|－ 1 2 －0|= 1 2 ≠2， ∴|0－y|=2， 解得，y=2 或 y=－2； ∴点 B 的坐标是（0，2）或（0，－2）； ②点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 1 2 ； （2）①∵C 是直线 y= 3 4 x+3 上的一个动点， ∴设点 C 的坐标为（x0， 3 4 x0+3）， ∴－x0= 3 4 x0+2， 此时，x0=－ 8 7 ， ∴点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为： 8 7 ， 此时 C（－ 8 7 ， 15 7 ）； ②E（－ 3 5 ， 4 5 ）． － 3 5 －x0= 3 4 x0+3－ 4 5 ， 解得，x0=－ 8 5 ， 则点 C 的坐标为（－ 8 5 ， 9 5 ）， 最小值为 1． 点评：本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本 题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键． 对应训练 4．（2012•台州）请你规定一种适合任意非零实数 a，b 的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立： 1⊕2=2⊕1=3，（－3）⊕（－4）=（－4）⊕（－3）=－ 7 6 ，（－3）⊕5=5⊕（－3）=－ 4 15 ，… 你规定的新运算 a⊕b= （用 a，b 的一个代数式表示）． 考点五：阅读材料题型中的新概念 例 5 （2012•常州）平面上有两条直线 AB、CD 相交于点 O，且∠BOD=150°（如图），现按 如下要求规定此平面上点的“距离坐标”： （1）点 O 的“距离坐标”为（0，0）； （2）在直线 CD 上，且到直线 AB 的距离为 p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线 AB 上，且到直线 CD 的距离为 q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）； （3）到直线 AB、CD 的距离分别为 p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）． 设 M 为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决 下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹）： ①满足 m=1，且 n=0 的点 M 的集合； ②满足 m=n 的点 M 的集合； （2）若点 M 在过点 O 且与直线 CD 垂直的直线 l 上，求 m 与 n 所满足的关系式．（说明： 图中 OI 长为一个单位长） 思路分析：（1）①以 O 为圆心，以 2 为半径作圆，交 CD 于两点，则此两点为所求；②分别 作∠BOC 和∠BOD 的角平分线并且反向延长，即可求出答案； （2）过 M 作 MN⊥AB 于 N，根据已知得出 OM=n，MN=m，求出∠NOM=60°，根据锐角三 角函数得出 sin60°= MN OM m n ，求出即可． 解：（1）①如图所示： 点 M1和 M2为所求； ②如图所示： 直线 MN 和直线 EF（O 除外）为所求； （2）如图： 过 M 作 MN⊥AB 于 N， ∵M 的“距离坐标”为（m，n）， ∴OM=n，MN=m， ∵∠BOD=150°，直线 l⊥CD， ∴∠MON=150°－90°=60°， 在 Rt△MON 中，sin60°= MN OM m n ， 即 m 与 n 所满足的关系式是：m= 3 2 n． 点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含 30 度角的直角三角形的应用，主要 考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 对应训练 5．（2012•钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换： ①f（x，y）=（y，x）．如 f（2，3）=（3，2）； ②g（x，y）=（－x，－y），如 g（2，3）=（－2，－3）． 按照以上变换有：f（g（2，3））=f（－2，－3）=（－3，－2），那么 g（f（－6，7））等于 （ ） A．（7，6） B．（7，－6） C．（－7，6） D．（－7，－6） 四、中考真题演练 一、选择题 1．（2012•六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（－m，－n）．例如 f（2，3） =（3，2），g（－1，－4）=（1，4）．则 g[f（－5，6）]等于（ ） A．（－6，5） B．（－5，－6） C．（6，－5） D．（－5，6） 2． （2012•湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出 的数比输入的数的平方小 1，若输入 7 ，则输出的结果为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键． 3． （2012•丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图 1 中棋子围城三角形，其棵数 3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图 2 中的 4，8，12，16，…称为正方形数．下列 数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A．2010 B．2012 C．2014 D．2016 二、填空题 4．（2012•常德）规定用符号[m]表示一个实数 m 的整数部分，例如：[ ] 0，[3.14] 3．按此 规定[ ]的值为 ． 5．（2012•随州）概念：平面内的直线 1l 与 2l 相交于点 O，对于该平面内任意一点 M，点 M 到直线 1l 、 2l 的距离分别为 a、b，则称有序非实数对（a，b）是点 M 的“距离坐标”，根据 上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（ ） A．2 B．1 C．4 D．3 6．（2012•荆门）新概念：[a，b]为一次函数 y=ax+b（a≠0，a，b 为实数）的“关联数”．若“关 联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 1 1x + 1 m 1 的解为 ． 7．（2012•自贡）如图，△ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、 弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A、B、C，如果 AB=1，那么曲线 CDEF 的长是 ． 8． （2012•泉州）在△ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A、B），过点 P 的直线截△ABC， 使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的△ABC 的相似线，简记为 P （lx）（x 为自然数）． （1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当 BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点 P 的△ABC 的相 似线（其中 l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 条； （2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当 BP BA = 时，P（lx）截得的三角形面积为 △ABC 面积的 1 4 ． 三、解答题 9．（2012•铜仁地区）如图，概念：在直角三角形 ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α 的余切，记作 ctanα，即 ctanα= 角 的邻边 角 的对边 = AC BC ，根据上述角的余切概念，解下列问题： （1）ctan30°= ； （2）如图，已知 tanA= 3 4 ，其中∠A 为锐角，试求 ctanA 的值． 10．（2012•无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1 －x2|+|y1－y2|叫做 P1、P2两点间的直角距离，记作 d（P1，P2）． （1）已知 O 为坐标原点，动点 P（x，y）满足 d（O，P）=1，请写出 x 与 y 之间满足的关 系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点 P 所组成的图形； （2）设 P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线 y=ax+b 上的动点，我们把 d（P0，Q）的 最小值叫做 P0到直线 y=ax+b的直角距离．试求点 M（2，1）到直线 y=x+2 的直角距离． 11．（2012•厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3）、B（6，3），连接 AB．如 果点 P在直线 y=x－1上，且点 P到直线 AB的距离小于 1，那么称点 P是线段 AB的“临近点”． （1）判断点 C（ 7 5, 2 2 ）是否是线段 AB 的“临近点”，并说明理由； （2）若点 Q（m，n）是线段 AB 的“临近点”，求 m 的取值范围． 12．（2012•兰州）如图，概念：若双曲线 y= k x （k＞0）与它的其中一条对称轴 y=x 相交于 A、 B 两点，则线段 AB 的长度为双曲线 y= k x （k＞0）的对径． （1）求双曲线 y= 1 x 的对径． （2）若双曲线 y= k x （k＞0）的对径是 10 2 ，求 k 的值． （3）仿照上述概念，概念双曲线 y= k x （k＜0）的对径． 13．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为△ABC 的准外心． 应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD= 1 2 AB，求∠APB 的度数． 探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA的长． 14．（2012•嘉兴）将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的 n 倍，得 △AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]． （1）如图①，对△ABC 作变换[60°， 3 ]得△AB′C′，则 S△AB′C′：S△ABC= ；直线 BC 与 直线 B′C′所夹的锐角为 度； （2）如图②，△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点 B、C、C′在同一直线上，且四边形 ABB'C'为矩形，求θ和 n 的值； （3）如图③，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使 点 B、C、B′在同一直线上，且四边形 ABB'C'为平行四边形，求θ和 n 的值． 15．（2012•台州）概念：P、Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 长度的最小值 叫做线段 a与线段 b 的距离． 已知 O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述概念，当 m=2，n=2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是 ；当 m=5，n=2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离（即线段 AB 长）为 ； （2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC 与线段 OA 的距离记为 d， 求 d 关于 m 的函数解析式． （3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2，线段 BC 的中点为 M， ①求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长； ②点 D 的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作 MN⊥x 轴，垂足为 H，是否存在 m 的值使以 A、 M、H 为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由． 专题讲座二：新概念型问题参考答案 三、中考典例剖析 对应训练 1． 3 4 解：∵x1=－ 1 3 ， ∴x2= 1 11 ( ) 3 = 3 4 ，x3= 1 31 ( ) 4 =4，x4= 1 1 1 4 3 ， ∴差倒数为 3 个循环的数， ∵2012=670×3+2， ∴x2012=x2= 3 4 ， 故答案为： 3 4 ． 2．64 解：∵（x1，y1）•（x2，y2） x1x2+y1y2， ∴（4，5）•（6，8） 4×6+5×8 64， 故答案为 64． 3．解：（1）如图； 根据抛物线的对称性，抛物线的顶点 A 必在 O、B 的垂直平分线上，所以 OA=AB，即：“抛 物线三角形”必为等腰三角形． 故填：等腰． （2）∵抛物线 y=－x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴该抛物线的顶点（ 2 , 2 4 b b ）满足 2 2 4 b b （b＞0）． ∴b=2． （3）存在． 如图，作△OCD 与△OAB 关于原点 O 中心对称，则四边形 ABCD 为平行四边形． 当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 是矩形， 又∵AO=AB， ∴△OAB 为等边三角形． 作 AE⊥OB，垂足为 E， ∴AE= 3 OE． ∴ 2 4 b = 3 • 2 b （b′＞0）． ∴b′=2 3 ． ∴A（ 3 ，3），B（2 3 ，0）． ∴C（－ 3 3 ），D（－2 3 ，0）． 设过点 O、C、D 的抛物线为 y=mx2+nx，则 12 2 3 0 3 3 3 m n m n ， 解得 1 2 3 m n ． 故所求抛物线的表达式为 y=x2+2 3 x． 4．解：根据题意可得： 1⊕2=2⊕1=3= 2 2 1 2 ， （－3）⊕（－4）=（－4）⊕（－3）=－ 7 6 = 2 2 3 4 ， （－3）⊕5=5⊕（－3）=－ 4 15 = 2 2 3 5 ， 则 a⊕b= 2 2 a b = 2 2a b ab ． 故答案为： 2 2a b ab ． 5．C 解：∵f（－6，7）=（7，－6）， ∴g（f（－6，7））=g（7，－6）=（－7，6）． 故选 C． 四、中考真题演练 一、选择题 1．A 2．B． 3．D 解：∵3，6，9，12，…称为三角形数， ∴三角数都是 3 的倍数， ∵4，8，12，16，…称为正方形数， ∴正方形数都是 4 的倍数， ∴既是三角形数又是正方形数的是 12 的倍数， ∵2010÷12=167…6， 2012÷12=167…8， 2014÷12=167…10， 2016÷12=168， ∴2016 既是三角形数又是正方形数． 故选 D． 二、填空题 4．4 解：∵3＜ ＜4， ∴3+1＜ +1＜4+1， ∴4＜ +1＜5， ∴[ +1] 4， 故答案为：4． 5．C 解：如图所示，所求的点有 4 个， 故选 C． 6．x=3 解：根据题意可得：y=x+m－2， ∵“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数， ∴m－2=0， 解得：m=2， 则关于 x 的方程 1 1x + 1 m 1 变为 1 1x + 1 2 1 ， 解得：x=3， 检验：把 x=3 代入最简公分母 2（x－1）=4≠0， 故 x=3 是原分式方程的解， 故答案为：x=3． 7．4π 解：弧 CD 的长是 120 1 180 = 2 3 ， 弧 DE的长是： 120 2 180 = 4 3 ， 弧 EF 的长是： 120 3 180 =2π， 则曲线 CDEF 的长是： 2 3 + 4 3 +2π=4π． 故答案是：4π． 8．（1）1；（2） 1 2 或 3 4 或 3 4 解：（1）存在另外 1 条相似线． 如图 1 所示，过点 P 作 l3∥BC 交 AC 于 Q，则△APQ∽△ABC； 故答案为：1； （2）设 P（lx）截得的三角形面积为 S，S= 1 4 S△ABC，则相似比为 1：2． 如图 2 所示，共有 4 条相似线： ①第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点，l1∥AC，∴ BP BA = 1 2 ； ②第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点，l2∥AC，∴ BP BA = 1 2 ； ③第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且 BP BC = 1 2 ，∴ BP BA = cos30BP BC = 3 4 ； ④第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且 AP AC = 1 2 ，∴ 1sin 30 4 AP AP AB AC ， ∴ BP BA = 3 4 ． 故答案为： 1 2 或 3 4 或 3 4 ． 三、解答题 9．解：（1）∵Rt△ABC 中，α=30°， ∴BC= 1 2 AB， ∴AC= 2 2AB BC = 2 21 4 AB AB = 3 2 AB， ∴ctan30°= AC BC = 3 ． 故答案为： 3 ； （2）∵tanA= 3 4 ， ∴设 BC=3，AC=4，则 AB=5， ∴ctanA= AC BC = 4 3 ． 10．解：（1）由题意，得|x|+|y|=1， 所有符合条件的点 P 组成的图形如图所示。 （2）∵d（M，Q）=|x－2|+|y－1|=|x－2|+|x+2－1|=|x－2|+|x+1|， 又∵x 可取一切实数，|x－2|+|x+1|表示数轴上实数 x 所对应的点到数 2 和－1 所对应的点 的距离之和，其最小值为 3． ∴点 M（2，1）到直线 y=x+2 的直角距离为 3。 11．解：（1）点 C（ 7 5, 2 2 ）是线段 AB 的“临近点”．理由是： ∵点 P 到直线 AB 的距离小于 1，A、B 的纵坐标都是 3， ∴AB∥x 轴，3－1=2，3+1=4， ∴当纵坐标 y 在 2＜y＜4 范围内时，点是线段 AB 的“临近点”，点 C 的坐标是（ 7 5, 2 2 ）， ∴y= 5 2 ＞2，且小于 4， ∵C（ 7 5, 2 2 ）在直线 y=x－1 上， ∴点 C（ 7 5, 2 2 ）是线段 AB 的“临近点”． （2）由（1）知：线段 AB 的“临近点”的纵坐标的范围是 2＜y＜4， 把 y=2 代入 y=x－1 得：x=3， 把 y=4 代入 y=x－1 得：x=5， ∴3＜x＜5， ∵点 Q（m，n）是线段 AB 的“临近点”， ∴m 的取值范围是 3＜m＜5． 12．解：过 A 点作 AC⊥x轴于 C，如图， （1）解方程组 1y x y x ，得 1 1 1 1 x y ， 2 2 1 1 x y ， ∴A 点坐标为（1，1），B 点坐标为（－1，－1）， ∴OC=AC=1， ∴OA= 2 OC= 2 ， ∴AB=2OA=2 2 ， ∴双曲线 y= 1 x 的对径是 2 2 ； （2）∵双曲线的对径为 10 2 ，即 AB=10 2 ，OA=5 2 ， ∴OA= 2 OC= 2 AC， ∴OC=AC=5， ∴点 A 坐标为（5，5）， 把 A（5，5）代入双曲线 y= k x （k＞0）得 k=5×5=25， 即 k 的值为 25； （3）若双曲线 y= k x （k＜0）与它的其中一条对称轴 y=－x 相交于 A、B 两点， 则线段 AB 的长称为双曲线 y= k x （k＜0）的对径． 13．解：①若 PB=PC，连接 PB，则∠PCB=∠PBC， ∵CD 为等边三角形的高， ∴AD=BD，∠PCB=30°， ∴∠PBD=∠PBC=30°， ∴PD= 3 3 DB= 3 6 AB， 与已知 PD= 1 2 AB 矛盾，∴PB≠PC， ②若 PA=PC，连接 PA，同理可得 PA≠PC， ③若 PA=PB，由 PD= 1 2 AB，得 PD=BD， ∴∠APD=45°， 故∠APB=90°； 探究：解：∵BC=5，AB=3， ∴AC= 2 2BC AB = 2 25 3 =4， ①若 PB=PC，设 PA=x，则 x2+32=（4－x）2， ∴x= 7 8 ，即 PA= 7 8 ， ②若 PA=PC，则 PA=2， ③若 PA=PB，由图知，在 Rt△PAB 中，不可能． 故 PA=2 或 7 8 ． 14．解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′， ∴S△AB′C′：S△ABC=（ A B AB ）2=（ 3 ）2=3，∠B=∠B′， ∵∠ANB=∠B′NM， ∴∠BMB′=∠BAB′=60°； 故答案为：3，60； （2）∵四边形 ABB′C′是矩形， ∴∠BAC′=90°． ∴θ=∠CAC′=∠BAC′－∠BAC=90°－30°=60°． 在 Rt△ABC 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°， ∴∠AB′B=30°， ∴n= AB AB =2； （3）∵四边形 ABB′C′是平行四边形， ∴AC′∥BB′， 又∵∠BAC=36°， ∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°． ∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B， ∴△ABC∽△B′BA， ∴AB：BB′=CB：AB， ∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′）， 而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1， ∴AB2=1（1+AB）， ∴AB= 51 2 ， ∵AB＞0， ∴n= B C BC = 51 2 ． 15．解：（1）当 m=2，n=2 时， 如题图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离等于平行线之间的距离，即为 2； 当 m=5，n=2 时， B 点坐标为（5，2），线段 BC 与线段 OA 的距离，即为线段 AB 的长， 如答图 1，过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N，则 AN=1，BN=2， 在 Rt△ABN 中，由勾股定理得：AB= 2 2 2 21 2AN BN = 5 ． （2）如答图 2 所示，当点 B 落在⊙A 上时，m 的取值范围为 2≤m≤6： 当 4≤m≤6，显然线段 BC 与线段 OA 的距离等于⊙A 半径，即 d=2； 当 2≤m＜4 时，作 BN⊥x 轴于点 N，线段 BC 与线段 OA 的距离等于 BN 长， ON=m，AN=OA－ON=4－m，在 Rt△ABN 中，由勾股定理得： ∴d= 2 22 (4 )m = 4 16 8m m = 2 8 12m m ． （3）①依题意画出图形，点 M 的运动轨迹如答图 3 中粗体实线所示： 由图可见，封闭图形由上下两段长度为 8 的线段，以及左右两侧半径为 2 的半圆所组成， 其周长为：2×8+2×π×2=16+4π， ∴点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π． ②结论：存在． ∵m≥0，n≥0，∴点 M 位于第一象限． ∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD． 如图 4 所示，相似三角形有三种情形： （I）△AM1H1，此时点 M 纵坐标为 2，点 H 在 A 点左侧． 如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA－OH1=2－m， 由相似关系可知，M1H1=2AH1，即 2=2（2－m）， ∴m=1； （II）△AM2H2，此时点 M 纵坐标为 2，点 H 在 A 点右侧． 如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2－OA=m－2， 由相似关系可知，M2H2=2AH2，即 2=2（m－2）， ∴m=3； （III）△AM3H3，此时点 B 落在⊙A 上． 如图，OH3=m+2，AH3=OH3－OA=m－2， 过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N，则 BN=M3H3=n，AN=m－4， 由相似关系可知，AH3=2M3H3，即 m－2=2n （1） 在 Rt△ABN 中，由勾股定理得：22=（m－4）2+n2 （2） 由（1）、（2）式解得：m1= 26 5 ，m2=2， 当 m=2 时，点 M 与点 A 横坐标相同，点 H 与点 A 重合，故舍去， ∴m= 26 5 ． 综上所述，存在 m 的值使以 A、M、H 为顶点的三角形与△AOD 相似，m 的取值为：1、3 或 26 5 ． 中考数学专题讲座 代数、三角、几何综合问题 概述： 代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几 何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合 思想、转化与化归思想进行综合来解题． 典型例题精析 例 1．有一根直尺的短边长 2cm，长边长 10cm，还有一块锐角为 45°的直角三角形纸板， 它的斜边长 12cm，如图 1，将直尺的矩边 DE 放置与直角三角形纸板的斜边 AB 重合，且点 D 与点 A 重合，将直尺沿 AB 方向平移如图 2，设平移的长度为 xcm（ 0≤x≤10），直尺和三 角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为 Scm2． （1）当 x=0 时（如图），S=________；当 x=10 时，S=___________； （2）当 0查看更多