高考—圆锥曲线知识点总结

高考—圆锥曲线知识点总结

‎2019年高考专题-圆锥曲线的方程与性质 ‎1．椭圆 ‎（1）椭圆概念 平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。‎ 椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。‎ 注：①以上方程中的大小，其中；‎ ‎②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。‎ ‎（2）椭圆的性质 ‎①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；‎ ‎②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。‎ 所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；‎ ‎③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。‎ 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。‎ 同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。‎ 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；‎ ‎④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。‎ ‎2．双曲线 ‎（1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。‎ 注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。‎ 椭圆和双曲线比较：‎ 椭 圆 双 曲 线 定义 方程 焦点 注意：如何用方程确定焦点的位置！‎ ‎（2）双曲线的性质 ‎①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。‎ ‎②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。‎ ‎③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。‎ 令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。‎ ‎1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。‎ ‎2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。‎ ‎④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。‎ ‎⑤等轴双曲线：‎ ‎1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；‎ ‎2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。‎ 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。‎ ‎3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上。‎ ‎⑥注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。‎ ‎3．抛物线 ‎（1）抛物线的概念 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。‎ 方程叫做抛物线的标准方程。‎ 注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 ；‎ ‎（2）抛物线的性质 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：‎ 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 轴 轴 轴 轴 顶点 离心率 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。‎ ‎（一）椭圆的定义：‎ ‎1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。‎ 对椭圆定义的几点说明：‎ ‎（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；‎ ‎（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；‎ ‎（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F1F2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F1F2|时，我们得到的是线段F1F2；当这个“常数”小于| F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。‎ ‎（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1， A2， B1， B2，于是我们易得| A1A2|的值就是那个“常数”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。‎ ‎（5）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：‎ 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，。‎ 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c，0）和（c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c）和（0，c）。椭圆的焦点在 x 轴上标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y2项的分母较大。‎ ‎（二）椭圆的几何性质：‎ 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。总结如下：‎ 几点说明：‎ ‎（1）长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。‎ ‎（2）对于离心率e，因为a>c>0，所以02，解之得00，n>0，m≠n），把P（，－4），Q（－，3）代入得 解得m＝1，n＝，故椭圆方程为x2＋＝1。‎ ‎10. 解析：设弦的两端点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有＝1，＝1‎ 两式相减得 ‎∴‎ 即弦所在直线的斜率为－，又弦过（2，1）点，故弦所在直线的方程是x＋2y－4＝0 ‎ ‎11. 解：设顶点A的坐标为（x，y），由题意得： ‎ ‎∴顶点A的轨迹方程为：＝1（y≠±6） ‎ ‎12. 解：以直线MN为x轴，以线段MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示。‎ 设所求椭圆方程为＝1（a>b>0），分别记M、N、P点的坐标为（－c，0）、（c，0）和（x0，y0） ‎ ‎∵tanα＝tan（π－∠N）＝2‎ ‎∴由题设知 解得即 P 在△MNP中，|MN|＝2c，MN上的高为，‎ ‎∴S△MNP＝＝1，解得c＝‎ 即P（），由此得|PM|＝，|PN|＝‎ ‎∴a＝（|PM|＋|PN|）＝，从而b2＝a2－c2＝3‎ 故所求的椭圆方程为＝1‎