2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学(理)试题

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2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学(理)试题

南昌二中2019—2020学年度上学期期末考试 高二数学(理)试卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的虚部为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.用反证法证明命题:“,若可被整除,那么中至少有一个能被整除.”时,假设的内容应该是( )‎ A.都不能被5整除 B.都能被5整除 C.不都能被5整除 D.能被5整除 ‎3.函数的图象在点处的切线的倾斜角为( )‎ A.0 B. C.1 D.‎ ‎4.下列命题中错误的是( )‎ A.若命题为真命题,命题为假命题,则命题“”为真命题 B.命题“若,则或”为真命题 C.命题“若函数的导函数满足,则是函数的极值点”的逆否命题是真命题 D.命题p:,则p为 ‎ ‎5.直线的倾斜角的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若,则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.函数在区间上的最大值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.若,,,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.甲、乙、丙,丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有两位优秀,两位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( )‎ A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.丁可以知道四人的成绩 ‎10.下列命题为真命题的个数是( )‎ ‎① ② ③ ‎ A.0 B.‎1 ‎‎ ‎ C.2 D.3‎ ‎11.双曲线的左,右顶点分别是,是上任意一点,直线分别与直线交于,则的最小值是( )‎ A. B. C.2 D.3 ‎ ‎12.若函数与函数的图象存在公切线,则正实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知函数,则等于____________.‎ ‎14. __________. ‎ ‎15.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x+2)2+(y―4)2=1上任意一点,则|PQ|+x的最小值为_____.‎ ‎16.已知函数.下列说法正确的是___________.‎ ‎①有且仅有一个极值点;‎ ‎②有零点;‎ ‎③若极小值点为,则;‎ ‎④若极小值点为,则.‎ 三、解答题:本大题共6个题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 命题,命题方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎(1)若“或”为假命题,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若“非”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中,曲线为(为参数).在以为原点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,射线与除极点外的一个交点为,设直线经过点,且倾斜角为,直线与曲线的两个交点为.‎ ‎(1)求的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 数列的前项和为,且满足.‎ ‎(1)求,,,的值;‎ ‎(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数.‎ ‎(1)当时,恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)方程有唯一实数解,求正数的值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(,0),B(-,0),直线PA与PB的斜率之积为-.‎ ‎(1)求动点P的轨迹E的方程;‎ ‎(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合),求证:直线MQ过定点.‎ ‎ ‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当时,证明:.‎ 高二数学(理)期末考试参考答案 ‎1.复数的虚部为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎2.用反证法证明命题:“,若可被整除,那么中至少有一个能被整除.”时,假设的内容应该是( )‎ A.都不能被5整除 B.都能被5整除 C.不都能被5整除 D.能被5整除 ‎【答案】A ‎3.函数的图象在点处的切线的倾斜角为( )‎ A.0 B. C.1 D.‎ ‎【答案】B 试题分析:,令,则倾斜角为.‎ ‎4.下列命题中错误的是( )‎ A.若命题为真命题,命题为假命题,则命题“”为真命题 B.命题“若,则或”为真命题 C.命题“若函数的导函数满足,则是函数的极值点”的逆否命题是真命题 D.命题p:,则p为 ‎ ‎【答案】C ‎5.直线的倾斜角的取值范围是( D )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.若,则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎7.函数在区间上的最大值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ ‎8.若,,,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B 依题意,,故,所以选B.‎ ‎9.甲、乙、丙,丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有两位优秀,两位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( )‎ A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.丁可以知道四人的成绩 ‎【答案】A ‎10.下列命题为真命题的个数是( C )‎ ‎① ② ③ ‎ A.0 B.‎1 ‎ C.2 D.3‎ ‎11.双曲线的左,右顶点分别是,是上任意一点,直线 分别与直线交于,则的最小值是( B )‎ A. B. C.2 D.3 ‎ ‎12.若函数与函数的图象存在公切线,则正实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎13.已知函数,则等于____________.‎ 详解:函数 ‎,‎ 将代入,得 ‎14.__________. ‎ ‎15.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x+2)2+(y﹣4)2=1上任意一点,则|PQ|+x的最小值为_____.‎ ‎【答案】3‎ 画出图像,设焦点为,由抛物线的定义有,故.‎ 又当且仅当共线且为与圆的交点时取最小值为 .故的最小值为.‎ 又当为线段与抛物线的交点时取最小值,‎ 此时 ‎16.已知函数.下列说法正确的是___________.‎ ‎①有且仅有一个极值点;‎ ‎②有零点;‎ ‎③若极小值点为,则 ‎④若极小值点为,则 ‎①③‎ ‎17.命题,命题方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎(1)若“或”为假命题,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若“非”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.‎ 试题解析:(1)关于命题,‎ 时,显然不成立,时成立,恒成立 ‎ 时,只需即可,解得:,故为真时:; ‎ 关于命题,解得: , ‎ 命题“或”为假命题,即均为假命题,则;. ‎ ‎(2)非,所以 ‎ ‎18.在平面直角坐标系中,曲线为(为参数).在以为原点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,射线与除极点外的一个交点为,设直线经过点,且倾斜角为,直线与曲线 的两个交点为.‎ ‎(1)求普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎18.试题分析:(1)的普通方程是. ‎ 由得,所以的直角坐标方程是 ‎(2)联立与得或,不是极点,. ‎ 依题意,直线的参数方程可以表示为 (为参数),‎ 代入得,设点的参数是,则 ‎, ‎ ‎19.数列的前项和为,且满足.‎ ‎(1)求,,,的值;‎ ‎(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.‎ 解:(1)当时,∵,∴, ‎ 又,∴,‎ 同理,;‎ ‎(2)猜想 ‎ 下面用数学归纳法证明这个结论.‎ ‎①当时,结论成立.‎ ‎②假设时结论成立,即,‎ 当时,,‎ ‎∴,∴‎ 即当时结论成立.‎ 由①②知对任意的正整数n都成立.‎ ‎20.(本小题满分12分) 设函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,恒成立,求范围;‎ ‎(Ⅱ)方程有唯一实数解,求正数的值.‎ ‎20.【解析】(Ⅰ)当时, . ‎ 解得或(舍去).当时,,单调递增,当时,,单调递减 . 所以的最大值为.故. ‎ ‎(Ⅱ)方程即 解法1:设,解 得(<0舍去),‎ 在单调递减,在单调递增,最小值为 ‎ ‎ 因为有唯一实数解,有唯一零点,所以 ‎ 由得,因为单调递增,且,所以 . 从而 ‎ 解法2:分离变量 ‎ ‎21. 在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(,0),B(-,0),直线PA与PB 的斜率之积为-.‎ ‎(1)求动点P的轨迹E的方程;‎ ‎(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合),求证:直线MQ过定点.‎ 解:(1)由题知:·=-.‎ 化简得+y2=1(y≠0).(4分)‎ ‎(2)方法1:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:x=my+1,‎ 代入+y2=1(y≠0)整理得(m2+2)y2+2my-1=0.(7分)‎ y1+y2=,y1y2=,‎ MQ的方程为y-y1=(x-x1),(10分)‎ 令y=0,‎ 得x=x1+=my1+1+=+1=2,‎ ‎∴直线MQ过定点(2,0).(12分)‎ 方法2:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:y=k(x-1),‎ 代入+y2=1(y≠0)整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,(7分)‎ x1+x2=,x1x2=,‎ MQ的方程为y-y1=(x-x1),(10分)‎ 令y=0,‎ 得x=x1+=x1+==2.‎ ‎∴直线MQ过定点(2,0).(12分)‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当时,证明:.‎ 解:(1)由得.‎ 当即时,,所以在上单调递增.‎ 当即时,由得;由得,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎(2)要证成立,‎ 只需证成立,即证.‎ 现证:.‎ 设.则,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增.‎ 所以.‎ 因为,所以,则,‎ 即,当且仅当,时取等号.‎ 再证:.设,则.‎ 所以在上单调递增,则,即.‎ 因为,所以.当且仅当时取等号,‎ 又与两个不等式的等号不能同时取到,‎ 即,所以.‎
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