2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-4直线与圆圆与圆的位置关系练习苏教版
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9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系
1.已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
2.若直线 x+my=2+m 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相交,则实数 m 的取值范围为( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
3.圆 x2+y2-2x+4y=0 与直线 2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
4.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】1.选 B.因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,所以 a2+b2>1,而圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离
d= = <1,故直线与圆 O 相交.
2.选 D.圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
圆心 C(1,1),半径 r=1.因为直线与圆相交,所以 d=
0 或
m<0.
3.选 C.直线 2tx-y-2-2t=0 恒过点(1,-2),因为 12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,所以点(1,-2)在
圆 x2+y2-2x+4y=0 内,直线 2tx-y-2-2t=0 与圆 x2+y2-2x+4y=0 相交.
4.选 C.如图所示,因为圆心到直线的距离为 =2,又因为圆的半径为 3,所
以直线与圆相交,故圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用 d 与 r 的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
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(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【秒杀绝招】 第 3 题中,直线 2tx-y-2-2t=0 恒过点(1,-2),且该点在圆内,所以直线与圆相
交.
考点二 圆与圆的位置关系
【典例】1.(2020·郑州模拟)已知圆 C1:(x+2a)2+y2=4 和圆 C2:x2+(y-b)2=1 只有一条公切线,若
a,b∈R 且 ab≠0,则 + 的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.9
2.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 与圆 M 关于 x 轴对称,Q 为圆 M 上的动点,当 Q 到直线 y=x+2 的距
离最小时,Q 的横坐标为 ( )
A.2- B.2± C.3- D.3±
3.已知☉O:x2+y2=5 与☉O1:(x-a)2+y2=r2(a>0)相交于 A、B 两点,若两圆在 A 点处的切线互相垂
直,且|AB|=4,则☉O1 的方程为 ( )
A.(x-4)2+y2=20 B.(x-4)2+y2=50
C.(x-5)2+y2=20 D.(x-5)2+y2=50
【解题导思】
序号 联想解题
1 由两圆只有一条公切线联想到两圆相内切
2 由两圆关于 x 轴对称联想到圆心关于 x 轴对称
3 由两圆相交于 A、B,且|AB|=4 联想到相交弦的直线方程
【解析】1.选 D.由题意可知,圆 C1 的圆心为(-2a,0),半径为 2,圆 C2 的圆心为(0,b),半径为 1,
因为两圆只有一条公切线,所以两圆内切,所以 =2-1,即
4a2+b2=1.所以 + = ·(4a2+b2)=
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5+ + ≥5+2 =9,当且仅当 = ,且 4a2+b2=1,即 a2= ,b2= 时等号成立,
所以 + 的最小值为 9.
2.选 C.圆 M 的方程为:(x-3)2+(y+4)2=1,过 M(3,-4)且与直线 y=x+2 垂直的直线方程为 y=-x-1,
代入(x-3)2+(y+4)2=1,得 x=3± ,故当 Q 到直线 y=x+2 的距离最小时,Q 的横坐标为
x=3- .
3.选 C.依题意,得 O(0,0),R= ,O1(a,0),半径为 r,两圆在 A 点处的切线互相垂直,则由切线
的性质定理知:两切线必过两圆的圆心,如图,
|OC|= =1,OA⊥O1A,OO1⊥AB,
所以由直角三角形射影定理得:
|OA|2=|OC|×|OO1|,
即 5=1×|OO1|,所以|OO1|=5,
r=|AO1|= =2 ,
由 =5,
得 a=5,所以,圆 O1 的方程为:(x-5)2+y2=20.
1.判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一
般不采用代数法.
2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2,y2 项得到.
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3.两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距 d,半弦长 ,半径 r 所在线段构成直角三角形,利用
勾股定理求解.
4.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.
已知两圆 C1:x2+y2-2x-6y-1=0 和 C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆 C1 和圆 C2 相交.
(2)求圆 C1 和圆 C2 的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
【解析】(1)圆 C1 的圆心为 C1(1,3),半径 r1= ,圆 C2 的圆心为 C2(5,6),半径 r2=4,
两圆圆心距 d=|C1C2|=5,r1+r2= +4,|r1-r2|=4- ,
所以|r1-r2|
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