2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-5椭圆课件新人教B版

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第五节　椭　　圆 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 椭圆的定义 (1) 平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离 _____ 等于常数 ( 大于 |F 1 F 2 |) 的点的轨迹 叫做椭圆 . 这两个定点叫做椭圆的 _____ ，两焦点间的距离叫做椭圆的 _____. (2) 集合 P={M||MF 1 |+|MF 2 |=2a} ， |F 1 F 2 |=2c ，其中 a ， c 为常数且 a>0 ， c>0. ① 当 2a>|F 1 F 2 | 时， M 点的轨迹为 _____ ； ② 当 2a=|F 1 F 2 | 时， M 点的轨迹为 ________ ； ③ 当 2a<|F 1 F 2 | 时， M 点的轨迹 _______. 的和 焦点 焦距 椭圆 线段 F 1 F 2 不存在 2. 椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 _________(a>b>0) _________ (a>b>0) 性质 范围 ___≤x≤__ ， ___≤y≤__ ___≤x≤__ ， ___≤y≤__ 对称性 对称轴： _______ 　对称中心： _____ 顶点 A 1 ________ ， A 2 _______ B 1 ________ ， B 2 _______ A 1 ________ ， A 2 _______ B 1 ________ ， B 2 _______ 轴 长轴 A 1 A 2 的长为 ___ 　短轴 B 1 B 2 的长为 __b 焦距 |F 1 F 2 |=___ 离心率 e= ∈_______ -a a -b b -b b -a a 坐标轴 原点 (-a ， 0) (a ， 0) (0 ， -b) (0 ， b) (0 ， -a) (0 ， a) (-b ， 0) (b ， 0) 2a 2 2c (0 ， 1) 【常用结论】 1. 椭圆的标准方程有两种形式，若含 x 2 项的分母大于含 y 2 项的分母，则椭圆的 焦点在 x 轴上，反之焦点在 y 轴上 . 求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置， 直接设为 =1(a>b>0). 2. 点 P(x 0 ， y 0 ) 和椭圆的位置关系 (1) 点 P(x 0 ， y 0 ) 在椭圆内 ⇔ <1. (2) 点 P(x 0 ， y 0 ) 在椭圆上 ⇔ =1. (3) 点 P(x 0 ， y 0 ) 在椭圆外 ⇔ >1. 3. 椭圆的常用性质 (1) 设椭圆 =1(a>b>0) 上任意一点 P(x ， y) ，则当 x=0 时， |OP| 有最小值 b ， P 点在短轴端点处；当 x=±a 时， |OP| 有最大值 a ， P 点在长轴端点处 . (2) 椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 为斜边， a 2 =b 2 +c 2 . (3) 已知过焦点 F 1 的弦 AB ，则 △ABF 2 的周长为 4a. (4) 过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦的长为 (5) 椭圆离心率 e= 4. 直线与椭圆位置关系的判断 联立直线与椭圆方程构成方程组，消掉 y ，得到 Ax 2 +Bx+C=0 的形式 ( 这里的系数 A 不为 0) ，设其判别式为 Δ ： (1)Δ>0⇔ 直线与椭圆相交； (2)Δ=0⇔ 直线与椭圆相切； (3)Δ<0⇔ 直线与椭圆相离 . 5. 弦长公式 (1) 若直线与椭圆相交于两点 A(x 1 ， y 1 ) ， B(x 2 ， y 2 ) ， 则 |AB|= (2) 焦点弦 ( 过焦点的弦 ) ：焦点弦最短为 ，最长为 2a. 【知识点辨析】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 平面内与两个定点 F 1 ,F 2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 . ( 　　 ) (2) 椭圆的离心率 e 越大 , 椭圆就越圆 . ( 　　 ) (3) 椭圆上一点 P 与两焦点 F 1 ,F 2 构成 △PF 1 F 2 的周长为 2a+2c( 其中 a 为椭圆的长半轴 ,c 为椭圆的半焦距 ). ( 　　 ) (4) 方程 mx 2 +ny 2 =1(m>0,n>0,m≠n) 表示的曲线是椭圆 . ( 　　 ) (5) =1(a>b>0) 与 =1(a>b>0) 的焦距相同 . ( 　　 ) (6) =1(a≠b) 表示焦点在 y 轴上的椭圆 . ( 　　 ) 提示 : (1) × . 由椭圆的定义知 , 当该常数大于 |F 1 F 2 | 时 , 其轨迹才是椭圆 , 而该常数 等于 |F 1 F 2 | 时 , 其轨迹为线段 , 该常数小于 |F 1 F 2 | 时 , 不存在轨迹 . (2) × . 因为 e= = , 所以 e 越大 , 则 越小 , 椭圆就越扁 . (3)√.△PF 1 F 2 的周长为 |PF 1 |+|PF 2 |+|F 1 F 2 |=2a+2c. (4)√. 方程 mx 2 +ny 2 =1(m>0,n>0,m≠n) 可化为 =1, 表示的曲线是椭圆 . (5)√. =1(a>b>0) 与 =1(a>b>0) 的焦距都是 2 . (6) × . 条件没有点明 a 与 b 的大小关系 , 故不能判断 a 2 与 b 2 的大小 , 即不能判断焦 点所在坐标轴 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 不会判断周长最大的情况 , 认为 t=0 时最大 考点一、 T3 2 易漏解 考点二、变式 1 3 易漏掉直线与 x 轴重合的情况 考点三、角度 2 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-1P47 习题 2-2AT4 改编 ) 椭圆 =1 的焦距为 4, 则 m 等于 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 　 B.8 　 C.4 或 8 　 D.12 【解析】 选 C. 焦点在 x 轴上时 ,(10-m)-(m-2)=4, 解得 m=4; 焦点在 y 轴上时 , (m-2)-(10-m)=4, 解得 m=8. 综上可得 m 的取值为 4 或 8. 2.( 选修 2-1P46 练习 AT2(5) 改编 ) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0), 离心率为 , 则 C 的方程是 ( 　　 ) A. B. C. D. 【解析】 选 D. 右焦点为 F(1,0) 说明两层含义 : 椭圆的焦点在 x 轴上 ;c=1. 又离心率 为 , 故 a=2,b 2 =a 2 -c 2 =4-1=3, 故椭圆的方程为 . 3.( 选修 2-1P74 巩固与提高 T4 改编 ) 曲线 =1 与曲线 =1(k<36) 的 ( 　　 ) A. 长轴长相等　 B. 短轴长相等 C. 离心率相等　 D. 焦距相等 【解析】 选 D. 曲线 =1 中 c 2 =(100-k)-(36-k)=64, 所以 c=8, 所以两曲 线的焦距相等 . 4.( 选修 2-1P42 练习 AT3 改编 ) 如果椭圆 =1 上一点 P 到焦点 F 1 的距离等于 8, 那么点 P 到另一个焦点 F 2 的距离是 ________.  【解析】 根据定义 |PF 1 |+|PF 2 |=2a, 又 a 2 =36, 即 a=6, 所以 8+|PF 2 |=12, 即 |PF 2 |=4. 答案 : 4 5.( 选修 2-1P47 习题 2-2AT5 改编 ) 椭圆 C: =1 的左、右焦点分别为 F 1 ,F 2 , 过 F 2 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点 , 则 △F 1 AB 的周长为 ________.  【解析】 △F 1 AB 周长为 |F 1 A|+|F 1 B|+|AB|=|F 1 A|+|F 2 A|+|F 1 B|+|F 2 B|=2a+2a=4a. 在椭圆 =1 中 ,a 2 =25, 则 a=5, 所以 △F 1 AB 的周长为 4a=20. 答案 : 20