中考数学试题分类汇编:菱形

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中考数学试题分类汇编:菱形

中考数学试题分类汇编:考点 26 菱形 一.选择题(共 4 小题) 1.(2018•十堰)菱形不具备的性质是( ) A.四条边都相等 B.对角线一定相等 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形 【分析】根据菱形的性质即可判断; 【解答】解:菱形的四条边相等,是轴对称图形,也是中心对称图形,对角线垂 直不一定相等, 故选:B. 2.(2018•哈尔滨)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,BD=8, tan∠ABD= ,则线段 AB 的长为( ) A. B.2 C.5 D.10 【分析】根据菱形的性质得出 AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,求出 OB,解直角三角 形求出 AO,根据勾股定理求出 AB 即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,AO=CO,OB=OD, ∴∠AOB=90°, ∵BD=8, ∴OB=4, ∵tan∠ABD= = , ∴AO=3, 在 Rt△AOB 中,由勾股定理得:AB= = =5, 故选:C. 3.(2018•淮安)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长分别为 6 和 8,则这 个菱形的周长是( ) A.20 B.24 C.40 D.48 【分析】由菱形对角线的性质,相互垂直平分即可得出菱形的边长,菱形四边相 等即可得出周长. 【解答】解:由菱形对角线性质知,AO= AC=3,BO= BD=4,且 AO⊥BO, 则 AB= =5, 故这个菱形的周长 L=4AB=20. 故选:A. 4.(2018•贵阳)如图,在菱形 ABCD 中,E 是 AC 的中点,EF∥CB,交 AB 于点 F,如果 EF=3,那么菱形 ABCD 的周长为( ) A.24 B.18 C.12 D.9 【分析】易得 BC 长为 EF 长的 2 倍,那么菱形 ABCD 的周长=4BC 问题得解. 【解答】解:∵E 是 AC 中点, ∵EF∥BC,交 AB 于点 F, ∴EF 是△ABC 的中位线, ∴EF= BC, ∴BC=6, ∴菱形 ABCD 的周长是 4×6=24. 故选:A. 二.填空题(共 6 小题) 5.(2018•香坊区)已知边长为 5 的菱形 ABCD 中,对角线 AC 长为 6,点 E 在 对角线 BD 上且 tan∠EAC= ,则 BE 的长为 3 或 5 . 【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可. 【解答】解:当点 E 在对角线交点左侧时,如图 1 所示: ∵菱形 ABCD 中,边长为 5,对角线 AC 长为 6, ∴AC⊥BD,BO= , ∵tan∠EAC= = , 解得:OE=1, ∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3, 当点 E 在对角线交点左侧时,如图 2 所示: ∵菱形 ABCD 中,边长为 5,对角线 AC 长为 6, ∴AC⊥BD,BO= , ∵tan∠EAC= = , 解得:OE=1, ∴BE=BO﹣OE=4+1=5, 故答案为:3 或 5; 6.(2018•湖州)如图,已知菱形 ABCD,对角线 AC,BD 相交于点 O.若 tan∠ BAC= ,AC=6,则 BD 的长是 2 . 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得 AC⊥BD,OA= AC=3,BD=2OB.再 解 Rt△OAB,根据 tan∠BAC= = ,求出 OB=1,那么 BD=2. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形,AC=6, ∴AC⊥BD,OA= AC=3,BD=2OB. 在 Rt△OAB 中,∵∠AOD=90°, ∴tan∠BAC= = , ∴OB=1, ∴BD=2. 故答案为 2. 7.(2018•宁波)如图,在菱形 ABCD 中,AB=2,∠B 是锐角,AE⊥BC 于点 E, M 是 AB 的中点,连结 MD,ME.若∠EMD=90°,则 cosB 的值为 . 【分析】延长 DM 交 CB 的延长线于点 H.首先证明 DE=EH,设 BE=x,利用勾股 定理构建方程求出 x 即可解决问题. 【解答】解:延长 DM 交 CB 的延长线于点 H. ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC=AD=2,AD∥CH, ∴∠ADM=∠H, ∵AM=BM,∠AMD=∠HMB, ∴△ADM≌△BHM, ∴AD=HB=2, ∵EM⊥DH, ∴EH=ED,设 BE=x, ∵AE⊥BC, ∴AE⊥AD, ∴∠AEB=∠EAD=90° ∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2, ∴22﹣x2=(2+x)2﹣22, ∴x= ﹣1 或﹣ ﹣1(舍弃), ∴cosB= = , 故答案为 . 8.(2018•广州)如图,若菱形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为(3,0),(﹣ 2,0),点 D 在 y 轴上,则点 C 的坐标是 (﹣5,4) . 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出 DO 的长,进而求出 C 点坐标. 【解答】解:∵菱形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为(3,0),(﹣2,0), 点 D 在 y 轴上, ∴AB=5, ∴AD=5, ∴由勾股定理知:OD= = =4, ∴点 C 的坐标是:(﹣5,4). 故答案为:(﹣5,4). 9.(2018•随州)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,菱形 OABC 的边长为 2,点 A 在第一象限,点 C 在 x 轴正半轴上,∠AOC=60°,若将菱形 OABC 绕点 O 顺时 针旋转 75°,得到四边形 OA′B′C′,则点 B 的对应点 B′的坐标为 ( ,﹣ ) . 【分析】作 B′H⊥x 轴于 H 点,连结 OB,OB′,根据菱形的性质得到∠AOB=30°, 再根据旋转的性质得∠BOB′=75°,OB′=OB=2 ,则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°, 所以△OBH 为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形性质可计算得 OH=B′H= , 然后根据第四象限内点的坐标特征写出 B′点的坐标. 【解答】解:作 B′H⊥x 轴于 H 点,连结 OB,OB′,如图, ∵四边形 OABC 为菱形, ∴∠AOC=180°﹣∠C=60°,OB 平分∠AOC, ∴∠AOB=30°, ∵菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75°至第四象限 OA′B′C′的位置, ∴∠BOB′=75°,OB′=OB=2 , ∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°, ∴△OBH 为等腰直角三角形, ∴OH=B′H= OB′= , ∴点 B′的坐标为( ,﹣ ). 故答案为:( ,﹣ ). 10.(2018•黑龙江)如图,在平行四边形 ABCD 中,添加一个条件 AB=BC 或 AC⊥BD 使平行四边形 ABCD 是菱形. 【分析】根据菱形的判定方法即可判断. 【解答】解:当 AB=BC 或 AC⊥BD 时,四边形 ABCD 是菱形. 故答案为 AB=BC 或 AC⊥BD. 三.解答题(共 10 小题) 11.(2018•柳州)如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC,BD 相交于点 O,且 AB=2. (1)求菱形 ABCD 的周长; (2)若 AC=2,求 BD 的长. 【分析】(1)由菱形的四边相等即可求出其周长; (2)利用勾股定理可求出 BO 的长,进而解答即可. 【解答】解:(1)∵四边形 ABCD 是菱形,AB=2, ∴菱形 ABCD 的周长=2×4=8; (2)∵四边形 ABCD 是菱形,AC=2,AB=2 ∴AC⊥BD,AO=1, ∴BO= , ∴BD=2 12.(2018•遂宁)如图,在▱ ABCD 中,E,F 分别是 AD,BC 上的点,且 DE=BF, AC⊥EF.求证:四边形 AECF 是菱形. 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明; 【解答】证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∵DE=BF, ∴AE=CF,∵AE∥CF, ∴四边形 AECF 是平行四边形, ∵AC⊥EF, ∴四边形 AECF 是菱形. 13.(2018•郴州)如图,在▱ ABCD 中,作对角线 BD 的垂直平分线 EF,垂足为 O,分别交 AD,BC 于 E,F,连接 BE,DF.求证:四边形 BFDE 是菱形. 【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△ BOF,得到 OE=OF,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形 EBFD 是平行四边形,进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形 BFDE 为菱形. 【解答】证明:∵在▱ ABCD 中,O 为对角线 BD 的中点, ∴BO=DO,∠EDB=∠FBO, 在△EOD 和△FOB 中, , ∴△DOE≌△BOF(ASA); ∴OE=OF, 又∵OB=OD, ∴四边形 EBFD 是平行四边形, ∵EF⊥BD, ∴四边形 BFDE 为菱形. 14.(2018•南京)如图,在四边形 ABCD 中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O 是四边 形 ABCD 内一点,且 OA=OB=OD.求证: (1)∠BOD=∠C; (2)四边形 OBCD 是菱形. 【分析】(1)延长 AO 到 E,利用等边对等角和角之间关系解答即可; (2)连接 OC,根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可. 【解答】证明:(1) 延长 OA 到 E, ∵OA=OB, ∴∠ABO=∠BAO, 又∠BOE=∠ABO+∠BAO, ∴∠BOE=2∠BAO, 同理∠DOE=2∠DAO, ∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2(∠BAO+∠DAO) 即∠BOD=2∠BAD, 又∠C=2∠BAD, ∴∠BOD=∠C; (2)连接 OC, ∵OB=OD,CB=CD,OC=OC, ∴△OBC≌△ODC, ∴∠BOC=∠DOC,∠BCO=∠DCO, ∵∠BOD=∠BOC+∠DOC,∠BCD=∠BCO+∠DCO, ∴∠BOC= ∠BOD,∠BCO= ∠BCD, 又∠BOD=∠BCD, ∴∠BOC=∠BCO, ∴BO=BC, 又 OB=OD,BC=CD, ∴OB=BC=CD=DO, ∴四边形 OBCD 是菱形. 15.(2018•呼和浩特)如图,已知 A、F、C、D 四点在同一条直线上,AF=CD, AB∥DE,且 AB=DE. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)若 EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形 EFBC 为菱形时 AF 的长 度. 【分析】(1)根据 SAS 即可证明. (2)解直角三角形求出 DF、OE、OF 即可解决问题; 【解答】(1)证明:∵AB∥DE, ∴∠A=∠D, ∵AF=CD, ∴AF+FC=CD+FC, 即 AC=DF, ∵AB=DE, ∴△ABC≌△DEF. (2)如图,连接 AB 交 AD 于 O. 在 Rt△EFD 中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4, ∴DF= =5, ∵四边形 EFBC 是菱形, ∴BE⊥CF,'∴EO= = , ∴OF=OC= = , ∴CF= , ∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣ = . 16.(2018•内江)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 E,F 分别是 AB, BC 上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD. 求证:(1)△AED≌△CFD; (2)四边形 ABCD 是菱形. 【分析】(1)由全等三角形的判定定理 ASA 证得结论; (2)由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论. 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C. 在△AED 与△CFD 中, ∴△AED≌△CFD(ASA); (2)由(1)知,△AED≌△CFD,则 AD=CD. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴四边形 ABCD 是菱形. 17.(2018•泰安)如图,△ABC 中,D 是 AB 上一点,DE⊥AC 于点 E,F 是 AD 的中点,FG⊥BC 于点 G,与 DE 交于点 H,若 FG=AF,AG 平分∠CAB,连接 GE, CD. (1)求证:△ECG≌△GHD; (2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论. (3)若∠B=30°,判定四边形 AEGF 是否为菱形,并说明理由. 【分析】(1)依据条件得出∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,依据 F 是 AD 的中 点,FG∥AE,即可得到 FG 是线段 ED 的垂直平分线,进而得到 GE=GD,∠CGE= ∠GDE,利用 AAS 即可判定△ECG≌△GHD; (2)过点 G 作 GP⊥AB 于 P,判定△CAG≌△PAG,可得 AC=AP,由(1)可得 EG=DG,即可得到 Rt△ECG≌Rt△GPD,依据 EC=PD,即可得出 AD=AP+PD=AC+EC; (3)依据∠B=30°,可得∠ADE=30°,进而得到 AE= AD,故 AE=AF=FG,再根据 四边形 AECF 是平行四边形,即可得到四边形 AEGF 是菱形. 【解答】解:(1)∵AF=FG, ∴∠FAG=∠FGA, ∵AG 平分∠CAB, ∴∠CAG=∠FGA, ∴∠CAG=∠FGA, ∴AC∥FG, ∵DE⊥AC, ∴FG⊥DE, ∵FG⊥BC, ∴DE∥BC, ∴AC⊥BC, ∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED, ∵F 是 AD 的中点,FG∥AE, ∴H 是 ED 的中点, ∴FG 是线段 ED 的垂直平分线, ∴GE=GD,∠GDE=∠GED, ∴∠CGE=∠GDE, ∴△ECG≌△GHD; (2)证明:过点 G 作 GP⊥AB 于 P, ∴GC=GP,而 AG=AG, ∴△CAG≌△PAG, ∴AC=AP, 由(1)可得 EG=DG, ∴Rt△ECG≌Rt△GPD, ∴EC=PD, ∴AD=AP+PD=AC+EC; (3)四边形 AEGF 是菱形, 证明:∵∠B=30°, ∴∠ADE=30°, ∴AE= AD, ∴AE=AF=FG, 由(1)得 AE∥FG, ∴四边形 AECF 是平行四边形, ∴四边形 AEGF 是菱形. 18.(2018•广西)如图,在▱ ABCD 中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为 E,F, 且 BE=DF. (1)求证:▱ ABCD 是菱形; (2)若 AB=5,AC=6,求▱ ABCD 的面积. 【分析】(1)利用全等三角形的性质证明 AB=AD 即可解决问题; (2)连接 BD 交 AC 于 O,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题; 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠B=∠D, ∵AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90°, ∵BE=DF, ∴△AEB≌△AFD ∴AB=AD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. (2)连接 BD 交 AC 于 O. ∵四边形 ABCD 是菱形,AC=6, ∴AC⊥BD, AO=OC= AC= ×6=3, ∵AB=5,AO=3, ∴BO= = =4, ∴BD=2BO=8, ∴S 平行四边形 ABCD= ×AC×BD=24. 19.(2018•扬州)如图,在平行四边形 ABCD 中,DB=DA,点 F 是 AB 的中点, 连接 DF 并延长,交 CB 的延长线于点 E,连接 AE. (1)求证:四边形 AEBD 是菱形; (2)若 DC= ,tan∠DCB=3,求菱形 AEBD 的面积. 【分析】(1)由△AFD≌△BFE,推出 AD=BE,可知四边形 AEBD 是平行四边形, 再根据 BD=AD 可得结论; (2)解直角三角形求出 EF 的长即可解决问题; 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥CE, ∴∠DAF=∠EBF, ∵∠AFD=∠EFB,AF=FB, ∴△AFD≌△BFE, ∴AD=EB,∵AD∥EB, ∴四边形 AEBD 是平行四边形, ∵BD=AD, ∴四边形 AEBD 是菱形. (2)解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴CD=AB= ,AB∥CD, ∴∠ABE=∠DCB, ∴tan∠ABE=tan∠DCB=3, ∵四边形 AEBD 是菱形, ∴AB⊥DE,AF=FB,EF=DF, ∴tan∠ABE= =3, ∵BF= , ∴EF= , ∴DE=3 , ∴S 菱形 AEBD= •AB•DE= •3 =15. 20.(2018•乌鲁木齐)如图,在四边形 ABCD 中,∠BAC=90°,E 是 BC 的中点, AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD 于点 F. (1)求证:四边形 AECD 是菱形; (2)若 AB=6,BC=10,求 EF 的长. 【分析】(1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可; (2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可. 【解答】证明:(1)∵AD∥BC,AE∥DC, ∴四边形 AECD 是平行四边形, ∵∠BAC=90°,E 是 BC 的中点, ∴AE=CE= BC, ∴四边形 AECD 是菱形; (2)过 A 作 AH⊥BC 于点 H, ∵∠BAC=90°,AB=6,BC=10, ∴AC= , ∵ , ∴AH= , ∵点 E 是 BC 的中点,BC=10,四边形 AECD 是菱形, ∴CD=CE=5, ∵S▱ AECD=CE•AH=CD•EF, ∴EF=AH= .
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