上海市进才中学2020届高三上学期期中考试数学试题
进才中学高三期中数学卷
一. 填空题
1.方程的解是
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，结合指数方程和一元二次方程之间的关系进行求解即可．
【详解】由得，设t＝2x，则t＞0，
则方程等价为t2+t-2＝0，即（t+2）（t﹣1）＝0，解得t＝1，或t＝-2（舍）
由2x＝1得x＝0，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查指数的方程的求解，利用换元法将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键，属于基础题．
2.若集合，，则________
【答案】
【解析】
【分析】
求出集合M、N中x的取值，根据交集定义求解即可．
【详解】∵，
，
∴M∩N＝{﹣}．
故答案为：{﹣}
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3.函数的最小正周期是______．
【答案】p
【解析】
，周期.
4.设函数的反函数为，则________
【答案】
【解析】
【分析】
互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称，若f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上．
【详解】令a
则，
即，
∴a＝，
故答案为：
【点睛】本题考查了互为反函数的两个函数图象的性质的应用，考查了指对互化的运算，属于基础题．
5.函数f（x）=x+|x﹣2|的值域是 ．
【答案】[2，+∞）
【解析】
试题分析：根据函数的解析式，去绝对值符号，根据函数的单调性求得函数的值域．
解：因为当x∈（﹣∞，2]时，f（x）=2；
当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x﹣2＞2，
故f（x）的值域是[2，+∞）．
故答案：[2，+∞）．
考点：函数的值域．
6.若，则的最小值是 .
【答案】5
【解析】
试题分析：，，当且仅当
，即时取等号，的最小值是5，
考点：基本不等式
7.设函数是上的奇函数，函数是上的偶函数，且对任意的，都有，于是________
【答案】1
【解析】
【分析】
利用奇偶性列出关于的方程组，再利用平方差公式直接得解.
【详解】∵函数是上的奇函数，函数是上的偶函数，且对任意的，都有①，∴将x换为-x代入可得，即，
与①相乘可得=1，
故答案为：1
【点睛】本题考查了奇偶性的应用，属于基础题.
8.设正数，满足恒成立，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
将原问题转化为求解的最大值的问题，然后利用均值不等式求得其最值即可确定实数a的最小值.
【详解】由已知，
，当且仅当时等号成立，
，.
，.
【点睛】本题主要考查恒成立问题的处理方法，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9.若函数的定义域为，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
由题意得在上恒成立．
①当时，则恒成立，
∴符合题意；
②当时，
则，解得．
综上可得，
∴实数的取值范围为．
答案：
点睛：
不等式解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．
10.如图，由曲线（其中，常数）、轴、轴及直线所围成图形（阴影部分）的面积等于________
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦函数的对称性及周期性，直接计算即可．
【详解】由可知曲线关于（1）对称，且周期为，故阴影部分的底面边长为，且图中M与N的面积相等，利用割补法将M补到N中，则阴影部分的面积为，
故答案为：
【点睛】本题考查了割补法求面积，关键是利用正弦函数的对称性得到M与N的面积相等．
11.若“”是“”的必要非充分条件，则、满足的条件为________
【答案】答案不唯一：
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【详解】由题意可得，
若成立，则b﹣a与ab异号，即b
0，或b>a且ab<0，
若“”是“”的必要非充分条件，则由，但由，
∴、满足的条件可以为（也可以写），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，要求熟练掌握不等式的性质，比较基础．
12.设函数满足对任意，都有成立，，，则________
【答案】
【解析】
【分析】
根据周期函数的定义推导f（x+T）＝f（x）即可．
【详解】∵函数满足，
∴，两式相加得到，
即，①
∴f（x+3）+f（x+6）＝0，②
由①②可得f（x）＝f（x+6）
∴函数f（x）的一个周期T＝6，
∴f（2019）＝f（6×336+3）＝f（3）＝f（0），f（2020）＝f（6×336+4）＝f（4）＝f（1）,
又，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数周期的求解，根据条件推导f（x+T）＝f（x）的形式是解决本题的关键．
二. 选择题
13.设，，则集合中的所有元素之和为（ ）
A. 15 B. 14 C. 27 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由C＝{x|x＝m﹣n，m∈A，n∈B}，A＝{4，5，6}，B＝{1，2，3}，先求出C，然后再求集合C中的所有元素之和．
【详解】∵C＝{x|x＝m﹣n，m∈A，n∈B}，
A＝{4，5，6}，B＝{1，2，3}，
∴C＝{1，2，3，4，5}，
∴集合 C中所有元素之和＝1+2+3+4+5＝15．
故选：A．
【点睛】本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．
14.设不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系,求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】一元二次不等式ax2+bx+c＞0解集为（2，3），
∴a＜0，且2，3是方程ax2+bx+c＝0两个实数根，
∴，
解得b＝﹣5a，c＝6a，其中a＜0；
∴不等式cx2+bx+a>0化为6ax2﹣5ax+a>0，
即6x2﹣5x+1＜0，
解得，
因此所求不等式的解集为（，）．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程的根与系数的关系，是基础题．
15.将函数
的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得图像经过怎样的变换才能得到的图像（ ）
A. 向左平移4个单位 B. 向右平移4个单位
C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的图象的变化规律：先把函数变为，再根据平移规律得出结论．
【详解】由于函数y＝f（2x+4）的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到，故只需把函数的图象向右平移个单位可得到函数y＝f（x）的图象，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的图象的变化规律，熟练掌握伸缩变换及平移变换是关键，属于基础题．
16.函数是区间上是增函数，且函数在区间上又是减函数，那么区间可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，求f（x）的增区间，再求yx﹣1的减函数，从而求得结果．
【详解】f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
yx﹣1，
y′，解得[，0）(0，]；
故yx﹣1在[，0）及(0，]上是减函数，
故区间I为[1，]；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的性质应用，属于基础题．
三. 解答题
17.记函数定义域为，定义域为.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据使函数解析式有意义的原则，构造关于x的不等式，解不等式可以求出x的取值范围，即集合A；
（2）根据对数函数真数大于0的原则，我们可以求出集合B，进而根据A⊆B，构造关于m的不等式，解不等式即可求出实数m的取值范围．
【详解】（1）2≥0，得0，﹣1＜x≤2，即A＝（﹣1，2].
（2）由（x﹣m﹣2）（x﹣m）＞0，得B＝（﹣∞，m）∪（m+2，+∞），
∵A⊆B∴m＞2或m+2≤﹣1，即m＞2或m≤﹣3
故当B⊆A时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）．
【点睛】本题考查的知识点是函数定义域及其求法，集合关系中的参数取值问题，其中根据使函数解析式有意义的原则，构造不等式求出函数的定义域是解答本题的关键．
18.举行动物运动会其中有小兔大兔接力赛跑一项，跑道从起点经过点再到终点，其中米，米，规定小兔跑第一棒从到，大兔在处接力完成跑第二棒从到，假定接力赛跑时小兔大兔的各自速度都是均匀的，且它们的速度之和为定值10米/秒，试问小兔和大兔应以怎样的速度接力赛跑，才能使接力赛成绩最好（所需时间最短），并求其最短时间.
【答案】小兔和大兔应分别以米/秒、米/秒的速度接力赛跑，到达终点最快时间为9秒.
【解析】
【分析】
设出小兔大兔的速度，构造基本不等式求解即可.
【详解】设小兔和大兔应分别以x米/秒、y米/秒的速度接力赛跑，则由题意知x+y=10，
问题相当于求解的最小值，
=（x+y）=，当且仅当，即y=2x=时等号成立，
所以小兔和大兔应分别以米/秒、米/秒的速度接力赛跑，到达终点最快时间为9秒.
【点睛】本题考查了基本不等式的实际应用，找准模型是解题的关键，属于中档题.
19.已知函数，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的值域以及函数的单调区间.
【答案】（1）；（2）值域为，递增区间为，递减区间为.
【解析】
【分析】
（1）利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期的公式进行求解；
（2）利用（1）得出的正弦函数，根据正弦函数单调区间及性质，可得出增减区间及值域；
【详解】f（x）＝sin2x
＝sin2x+cos2x
（1）；
（2）∵x∈[]
∴
根据正弦函数的增减区间可知：
当2x时，f（x）min＝﹣1；
当2x时f（x）max；
∴f（x）
又函数f（x）的增区间为2x∈[]，减区间为2x∈[]，即函数f（x）的增区间为：[]k∈Z，减区间为[]k∈Z，
又∵x∈[]
∴递增区间为，递减区间为.
【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的周期、定义域和值域，熟练掌握公式是解本题的关键．
20.设函数、满足关系，其中是常数.
（1）设，，求的解析式；
（2）是否存在函数及常数（）使得恒成立？若存在，请你设计出函数及常数；不存在，请说明理由；
（3）已知时，总有成立，设函数（）且，对任意，试比较与的大小.
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由f（x）的解析式求出f（x+α）的解析式，相乘后得到函数g（x）的解析式；
（2）由逆向思维可知f（x）•f（x+α）＝sinxcosx，由此可得函数f（x）及一个α；
（3）由给出的f（x）求出g（x），从而求出sin[g（x）]与g（sinx），借助于可得答案．
【详解】（1）∵f（x）＝cosx+sinx，
∴f（x+α）＝cosx﹣sinx；
∴g（x）＝f（x）•f（x+α）＝（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）
＝cos2x﹣sin2x＝cos2x；
（2）∵g（x）sin2x＝2sinxcosx，
若f（x）＝sinx，则f（x+α）＝sin（x+α）＝cosx
∴f（x）＝sinx，常数；
也可以设f（x）＝cosx，则f（x+α）＝cos（x+α）＝sinx
∴f（x）＝cosx，常数；
∴当时，；当时，；
（3）由题意g（x）＝kx，sin[g（x）]＝sinkx，g（sinx）＝ksinx
又0＜k＜1，所以，
则，所以sinkx＞ksinx，
即sin[g（x）]＞g（sinx）．
【点睛】本题考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，考查了倍角公式，训练了三角函数的诱导公式，是中档题．
21.定义：若函数对任意的，都有成立，则称为上的“淡泊”函数.
（1）判断是否为上的“淡泊”函数，说明理由；
（2）是否存在实数，使为上的“淡泊”函数，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由；
（3）设是上的“淡泊”函数（其中不是常值函数），且，若对任意的，都有成立，求的最小值.
【答案】（1）是,理由详见解析；（2）存在，；（3）最小值为.
【解析】
【分析】
（1）任取x1，x2∈[﹣1，1]，可得|f（x1）﹣f（x2）|的不等式，结合题意可判函数为“淡泊”函数；
（2）假设存在k∈R，使得在[﹣1，+∞）上为“淡泊”函数，则满足对任意x1，x2∈[﹣1，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，代入已知可得k的不等式，解不等式可得；
（3）不妨令0＜x1≤x2＜1，运用绝对值不等式的性质以及新定义，即可得到结论．
【详解】（1）任取x1，x2∈[﹣1，1]，可得|f（x1）﹣f（x2）|
＝|（）﹣（）|
＝|（x1+x2）（x1﹣x2）（x1﹣x2）|
＝|x1﹣x2||（x1+x2）|
∵x1，x2∈[﹣1，1]，∴（x1+x2）∈[，]，
∴（x1+x2）|∈[0，1]，即|（x1+x2）|≤1，
∴|x1﹣x2||（x1+x2）|≤|x1﹣x2|
∴|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|
∴函数在[﹣1，1]上是“淡泊”函数；
（2）假设存在k∈R，使得在[﹣1，+∞）上为“淡泊”函数，
则满足对任意x1，x2∈[﹣1，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，
故||＝|k|||≤|x1﹣x2|，
∴|k|≤|（x1+2）（x2+2）|，
∵x1，x2∈[﹣1，+∞），∴（x1+2）（x2+2）＞1，
∴|k|≤1，解得﹣1≤k≤1；
（3）不妨令0＜x1≤x2＜1，由“淡泊”函数性质，有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，
若x2﹣x1，则|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|；
若x2﹣x1，|f（x1）﹣f（x2）|＝|f（x1）﹣f（0）+f（1）﹣f（x2）|
≤|f（x1）﹣f（0）|+|f（1）﹣f（x2）|≤|x1﹣0|+|1﹣x2|＝1﹣x2+x1＝1﹣（x2﹣x1），
综上，对任意0＜x1≤x2＜1，|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，
而对任意的，都成立，则
∴,即的最小值为．
【点睛】本题考查新定义，涉及函数的单调性和不等式的性质，属中档题．
