2015高考数学（文）（中档题目强化练参数方程）一轮专题练习题

2015高考数学（文）（中档题目强化练参数方程）一轮专题练习题

参数方程 ‎1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__________的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在____________，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称______．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________．‎ ‎2．几种常见曲线的参数方程 ‎(1)直线：经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t为参数)．‎ ‎(2)圆：以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是____________，其中α是参数．‎ 当圆心在(0,0)时，方程 ‎(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是____________，其中φ是参数．‎ 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是____________，其中φ是参数．‎ ‎(4)抛物线：抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程是(t为参数)．‎ ‎1．(课本习题改编)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．‎ ‎2．椭圆(θ为参数)的离心率为________．‎ ‎3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|＝________.‎ ‎4．(课本习题改编)直线(t为参数)的倾斜角为________．‎ ‎5．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．则点M1(0,1)，M2(5,4)在曲线C上的是________.‎ 题型一　参数方程与普通方程的互化 例1　已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．‎ 思维升华　(1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin2θ＋cos2θ＝1,1＋tan2θ＝等．‎ ‎(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．‎ ‎　(2013·广东)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．‎ 题型二　参数方程的应用 例2　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(2,2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ ‎　‎ 思维升华　根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ ‎(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎(2)定点M0是弦M‎1M2‎的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎(3)设弦M‎1M2‎中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求|M‎2M|及中点坐标)．‎ ‎　已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．‎ ‎　‎ 题型三　极坐标、参数方程的综合应用 例3　在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，直线l的参数方程是(t为参数)，M，N分别为曲线C、直线l上的动点，则|MN|的最小值为________．‎ 思维升华　涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．‎ ‎　(2013·湖北)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b ‎>0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．‎ 参数的几何意义不明致误 典例：(10分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－)．‎ ‎(1)求直线l的倾斜角；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.‎ 易错分析　不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误．‎ 规范解答 解　(1)直线的参数方程可以化为[2分]‎ 根据直线参数方程的意义，直线l经过点(0，)，‎ 倾斜角为60°.[4分]‎ ‎(2)直线l的直角坐标方程为y＝x＋，[6分]‎ ρ＝2cos(θ－)的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝1，[8分]‎ 所以圆心(，)到直线l的距离d＝.‎ 所以|AB|＝.[10分]‎ 温馨提醒　对于直线的参数方程(t为参数)来说，要注意t是参数，而α则是直线的倾斜角．‎ 与此类似，椭圆参数方程的参数φ有特别的几何意义，它表示离心角．‎ 方法与技巧 ‎1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝.‎ ‎2．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．‎ ‎3．经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝；②|PM|＝|t0|＝；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.‎ 失误与防范 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅要把其中的参数消去，还要注意其中的x，y的取值范围．也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．‎ A组　专项基础训练 ‎1．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为________．‎ ‎2．将参数方程(0≤t≤5)化为普通方程为________________．‎ ‎3．(2013·湖南)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．‎ ‎4．(2013·陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为______________．‎ ‎5．已知曲线C：(参数θ∈R)经过点(m，)，则m＝________.‎ ‎6．(2013·重庆)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.‎ ‎7．(2012·天津)已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.‎ ‎8．已知曲线C：(θ为参数)和直线l：(t为参数，b为实数)，若曲线C上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b＝________.‎ ‎9．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.‎ ‎10．若直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝3，圆C：(θ为参数)上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．‎ B组　专项能力提升 ‎1．已知抛物线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝________.‎ ‎2．直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线 (t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．‎ ‎5．已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为________．‎ ‎6．已知圆C的参数方程为 (α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________．‎ ‎7．(2013·辽宁改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.‎ ‎(1)C1与C2交点的极坐标为________；‎ ‎(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，则a，b的值分别为________．‎ 答案 基础知识自主学习 要点梳理 ‎1．任意一点　这条曲线上　参数　普通方程 ‎2．(1)　(2) ‎(3)　 夯基释疑 ‎1．－　2.　3.4　4.50°　5.M1‎ 题型分类深度剖析 例1　 解析　将两曲线的参数方程化为普通方程分别为＋y2＝1 (0≤y≤1，－0，∴a＝.‎ ‎10．3＋1‎ 解析　ρcos(θ－)＝3，∴ρcos θ＋ρsin θ＝6，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝6.‎ 由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0)，半径r＝1.‎ 圆心C(0,0)到直线l的距离为＝3.∴dmin＝3＋1.‎ B组 ‎1. 解析　抛物线C1的普通方程为y2＝8x，其焦点坐标是(2,0)，过该点且斜率为1的直线方程是y＝x－2，即x－y－2＝0.圆ρ＝r的圆心是极点、半径为r，直线x－y－2＝0与该圆相切，则r＝＝.‎ ‎2．2‎ 解析　将参数方程化为普通方程求解．‎ 将消去参数t得直线x＋y－1＝0；‎ 将消去参数α得圆x2＋y2＝9.‎ 又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.‎ 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．‎ ‎3．(1,1)‎ 解析　化参数方程为普通方程然后解方程组求解．‎ C1的普通方程为y2＝x(x≥0，y≥0)，‎ C2的普通方程为x2＋y2＝2.‎ 由得 ‎∴C1与C2的交点坐标为(1,1)．‎ ‎4. 解析　化射线的极坐标方程为普通方程，代入曲线方程求t值．射线θ＝的普通方程为y＝x(x≥0)，代入得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3.‎ 当t＝0时，x＝1，y＝1，即A(1,1)；‎ 当t＝3时，x＝4，y＝4，即B(4,4)．‎ 所以AB的中点坐标为.‎ ‎5. 解析　由于直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 故直线l的普通方程为x＋2y＝0.‎ 因为P为椭圆＋y2＝1上的任意一点，‎ 故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R.‎ 因此点P到直线l的距离是d＝ ‎＝.‎ 所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.‎ ‎6．(－1,1)和(1,1)‎ 解析　∵y＝ρsin θ，∴直线l的直角坐标方程为y＝1.‎ 由得x2＋(y－1)2＝1.‎ 由得或 ‎∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．‎ ‎7．(1)，　(2)－1,2‎ 解析　(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ 直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ 解得 所以C1与C2交点的极坐标为，，‎ 注：极坐标系下点的表示不唯一．‎ ‎(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．‎ 故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，‎ 由参数方程可得y＝x－＋1，所以 解得a＝－1，b＝2.‎