2015高考数学(文)(中档题目强化练参数方程)一轮专题练习题

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文档介绍

2015高考数学(文)(中档题目强化练参数方程)一轮专题练习题

参数方程 ‎1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上__________的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在____________,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称______.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做__________.‎ ‎2.几种常见曲线的参数方程 ‎(1)直线:经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是____________(t为参数).‎ ‎(2)圆:以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是____________,其中α是参数.‎ 当圆心在(0,0)时,方程 ‎(3)椭圆:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况:‎ 椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是____________,其中φ是参数.‎ 椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是____________,其中φ是参数.‎ ‎(4)抛物线:抛物线y2=2px(p>0)的参数方程是(t为参数).‎ ‎1.(课本习题改编)若直线的参数方程为(t为参数),则直线的斜率为________.‎ ‎2.椭圆(θ为参数)的离心率为________.‎ ‎3.已知点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上,则|PF|=________.‎ ‎4.(课本习题改编)直线(t为参数)的倾斜角为________.‎ ‎5.已知曲线C的参数方程是(t为参数).则点M1(0,1),M2(5,4)在曲线C上的是________.‎ 题型一 参数方程与普通方程的互化 例1 已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),它们的交点坐标为________.‎ 思维升华 (1)参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角θ有关的参数方程,经常用到的公式有sin2θ+cos2θ=1,1+tan2θ=等.‎ ‎(2)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.‎ ‎ (2013·广东)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为________.‎ 题型二 参数方程的应用 例2 在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),直线l经过点P(2,2),倾斜角α=.‎ ‎(1)写出圆的标准方程和直线l的参数方程;‎ ‎(2)设l与圆C相交于A、B两点,求|PA|·|PB|的值.‎ ‎ ‎ 思维升华 根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论:‎ ‎(1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|;‎ ‎(2)定点M0是弦M‎1M2‎的中点⇒t1+t2=0;‎ ‎(3)设弦M‎1M2‎中点为M,则点M对应的参数值tM=(由此可求|M‎2M|及中点坐标).‎ ‎ 已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)将曲线C的参数方程化为普通方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求线段AB的长.‎ ‎ ‎ 题型三 极坐标、参数方程的综合应用 例3 在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ,直线l的参数方程是(t为参数),M,N分别为曲线C、直线l上的动点,则|MN|的最小值为________.‎ 思维升华 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.‎ ‎ (2013·湖北)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(φ为参数,a>b ‎>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ+)=m(m为非零常数)与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为________.‎ 参数的几何意义不明致误 典例:(10分)已知直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-).‎ ‎(1)求直线l的倾斜角;‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.‎ 易错分析 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误.‎ 规范解答 解 (1)直线的参数方程可以化为[2分]‎ 根据直线参数方程的意义,直线l经过点(0,),‎ 倾斜角为60°.[4分]‎ ‎(2)直线l的直角坐标方程为y=x+,[6分]‎ ρ=2cos(θ-)的直角坐标方程为(x-)2+(y-)2=1,[8分]‎ 所以圆心(,)到直线l的距离d=.‎ 所以|AB|=.[10分]‎ 温馨提醒 对于直线的参数方程(t为参数)来说,要注意t是参数,而α则是直线的倾斜角.‎ 与此类似,椭圆参数方程的参数φ有特别的几何意义,它表示离心角.‎ 方法与技巧 ‎1.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等,经常用到公式:cos2θ+sin2θ=1,1+tan2θ=.‎ ‎2.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便,是我们解决这类问题的好方法.‎ ‎3.经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:①t0=;②|PM|=|t0|=;③|AB|=|t2-t1|;④|PA|·|PB|=|t1·t2|.‎ 失误与防范 在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅仅要把其中的参数消去,还要注意其中的x,y的取值范围.也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.‎ A组 专项基础训练 ‎1.若直线的参数方程为(t为参数),则直线的倾斜角为________.‎ ‎2.将参数方程(0≤t≤5)化为普通方程为________________.‎ ‎3.(2013·湖南)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为________.‎ ‎4.(2013·陕西)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为______________.‎ ‎5.已知曲线C:(参数θ∈R)经过点(m,),则m=________.‎ ‎6.(2013·重庆)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=________.‎ ‎7.(2012·天津)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p=________.‎ ‎8.已知曲线C:(θ为参数)和直线l:(t为参数,b为实数),若曲线C上恰有3个点到直线l 的距离等于1,则b=________.‎ ‎9.在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a=________.‎ ‎10.若直线l的极坐标方程为ρcos(θ-)=3,圆C:(θ为参数)上的点到直线l的距离为d,则d的最大值为________.‎ B组 专项能力提升 ‎1.已知抛物线C1的参数方程为(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r=________.‎ ‎2.直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数),则曲线C1与C2的交点坐标为________.‎ ‎4.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线θ=与曲线 (t为参数)相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为________.‎ ‎5.已知直线l的参数方程为(t为参数),P是椭圆+y2=1上的任意一点,则点P到直线l的距离的最大值为________.‎ ‎6.已知圆C的参数方程为 (α为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin θ=1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________.‎ ‎7.(2013·辽宁改编)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcos=2.‎ ‎(1)C1与C2交点的极坐标为________;‎ ‎(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),则a,b的值分别为________.‎ 答案 基础知识自主学习 要点梳理 ‎1.任意一点 这条曲线上 参数 普通方程 ‎2.(1) (2) ‎(3)  夯基释疑 ‎1.- 2. 3.4 4.50° 5.M1‎ 题型分类深度剖析 例1  解析 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为+y2=1 (0≤y≤1,-0,∴a=.‎ ‎10.3+1‎ 解析 ρcos(θ-)=3,∴ρcos θ+ρsin θ=6,‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x+y=6.‎ 由圆C的参数方程知圆C的圆心为C(0,0),半径r=1.‎ 圆心C(0,0)到直线l的距离为=3.∴dmin=3+1.‎ B组 ‎1. 解析 抛物线C1的普通方程为y2=8x,其焦点坐标是(2,0),过该点且斜率为1的直线方程是y=x-2,即x-y-2=0.圆ρ=r的圆心是极点、半径为r,直线x-y-2=0与该圆相切,则r==.‎ ‎2.2‎ 解析 将参数方程化为普通方程求解.‎ 将消去参数t得直线x+y-1=0;‎ 将消去参数α得圆x2+y2=9.‎ 又圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d=<3.‎ 因此直线与圆相交,故直线与曲线有2个交点.‎ ‎3.(1,1)‎ 解析 化参数方程为普通方程然后解方程组求解.‎ C1的普通方程为y2=x(x≥0,y≥0),‎ C2的普通方程为x2+y2=2.‎ 由得 ‎∴C1与C2的交点坐标为(1,1).‎ ‎4. 解析 化射线的极坐标方程为普通方程,代入曲线方程求t值.射线θ=的普通方程为y=x(x≥0),代入得t2-3t=0,解得t=0或t=3.‎ 当t=0时,x=1,y=1,即A(1,1);‎ 当t=3时,x=4,y=4,即B(4,4).‎ 所以AB的中点坐标为.‎ ‎5. 解析 由于直线l的参数方程为(t为参数),‎ 故直线l的普通方程为x+2y=0.‎ 因为P为椭圆+y2=1上的任意一点,‎ 故可设P(2cos θ,sin θ),其中θ∈R.‎ 因此点P到直线l的距离是d= ‎=.‎ 所以当θ=kπ+,k∈Z时,d取得最大值.‎ ‎6.(-1,1)和(1,1)‎ 解析 ∵y=ρsin θ,∴直线l的直角坐标方程为y=1.‎ 由得x2+(y-1)2=1.‎ 由得或 ‎∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(-1,1)和(1,1).‎ ‎7.(1), (2)-1,2‎ 解析 (1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,‎ 直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ 解得 所以C1与C2交点的极坐标为,,‎ 注:极坐标系下点的表示不唯一.‎ ‎(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).‎ 故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0,‎ 由参数方程可得y=x-+1,所以 解得a=-1,b=2.‎
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