2018-2019学年湖南省益阳市第六中学高二下学期期中考试数学（文）试题

2018-2019学年湖南省益阳市第六中学高二下学期期中考试数学（文）试题

湖南省益阳市第六中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（文）‎ 时量：120分钟 总分：150分 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设全集，集合，，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ ）‎ A．1 B．i C．－1 D．－i ‎3. 下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.若向量的夹角为，且，则向量（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知，且，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）‎ A．9 B．‎12 C．18 D．24 ‎ ‎6.已知，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设点是椭圆上异于长轴端点上的任意一点，分别是其左右焦点，为中心，，则此椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 输出 开始 否 结束 是 ‎9. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.的内角的对边分别为，若，，则（ ）‎ A．12 B．‎42 ‎C．21 D．63‎ ‎11.已知是定义域为的奇函数，满足 若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设双曲线的左、右焦点分别为、。若点在双曲线右支上，且为锐角三角形，则的取值范围（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若实数满足则的最大值是 ．‎ ‎14.口袋内装有一些除颜色不同之外其它均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，若红球有个，则黑球有___ ．‎ ‎15.在平面直角坐标系中，，求过点与圆C：相切的直线方程 ．‎ ‎16.已知函数，的四个根为，，，，且，则 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.若数列的前项和为，且 ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎18.如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，‎ AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若PB=2，求三棱锥的体积．‎ ‎19. 某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A，B两项指标数据进行收集和分析、得到的数据如下表：‎ 指标 ‎1号小白鼠 ‎2号小白鼠 ‎3号小白鼠 ‎4号小白鼠 ‎5号小白鼠 A ‎5‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎8‎ B ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎（1）若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求B项指标数据关于A项指标数据的线性回归方程；‎ ‎（2）现要从这5只小白鼠中随机抽取3只,求其中至少有一只的B项指标数据高于3的概率 参考公式： ‎ ‎20. 已知为坐标原点，点在抛物线上（在第一象限），且到轴的距离是到抛物线焦点距离的。‎ ‎（1）求点到轴的距离；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于点，直线交轴于点，且。求证：为定值。‎ ‎21. 设函数.‎ ‎（1）求的单调区间;‎ ‎（2）若，为整数，且当时，，求的最大值.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，且M点的坐标为(3,4)，求的值．‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在实数满足，求实数a的最大值.‎ ‎2019年益阳市六中高二期中考试试题参考答案 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设全集，集合，，则集合（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ A ）‎ A．1 B．i C．－1 D．－i ‎3. 下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 若向量的夹角为，且，则向量（ D ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 已知，且，若不等式恒成立，则m的最大值为（ B ）‎ A．9 B．‎12 C．18 D．24‎ ‎6.已知，且，则等于（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设点是椭圆上异于长轴端点上的任意一点，‎ 分别是其左右焦点，为中心，，则此椭圆的离心率为（ C ）‎ A． B． C. D．‎ 输出 开始 否 结束 是 ‎9. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ D ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.的内角的对边分别为，若，，则（ C ）‎ A．12 B．‎42 ‎C．21 D．63‎ ‎11.已知是定义域为的奇函数，满足 若，则（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设双曲线的左、右焦点分别为、。若点在双曲线右支上，且为锐角三角形，则的取值范围（ D ） ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若实数满足则的最大值是 2 ．‎ ‎14.口袋内装有一些除颜色不同之外其它均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，若红球有个，则黑球有___15 ．‎ ‎15.在平面直角坐标系中，，求过点与圆C：相切的直线方程 ．‎ ‎16.已知函数，的四个根为，，，，且 ‎，则 2 ．‎ 三、解答题（本题共7道题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分）‎ ‎17.若数列的前项和为，首项且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，令，求数列的前项和．‎ 解：（1）或；（2）．‎ 解析：（1）当时，，则 ‎ ‎ 当时，，‎ 即或 由 ‎ ‎（2），，‎ ‎ ‎ ‎18.如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD， AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若PB=2，求三棱锥的体积．‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎19. 某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A，B两项指标数据进行收集和分析、得到的数据如下表：‎ 指标 ‎1号小白鼠 ‎2号小白鼠 ‎3号小白鼠 ‎4号小白鼠 ‎5号小白鼠 A ‎5‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎8‎ B ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎（1）若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求B项指标数据y关于A项指标数据x的线性回归方程；‎ ‎（2）现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只的B项指标数据高于3的概率 参考公式： ‎ 解：（1）根据题意，计算 ‎，‎ ‎=‎ ‎，所以线性回归方程为。‎ ‎（2）从这5只小白鼠中随机抽取三只，基本事件数为223,224,225,234,235,245，……，345‎ 共10种不同的取法，其中至少有一只B项指标数据高于3的基本事件共9种取法，‎ 所以所求概率为 ‎20. 已知为坐标原点，点在抛物线上（在第一象限），且到轴的距离是到抛物线焦点距离的。‎ ‎（1）求点到轴的距离；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于点，直线交轴于点，且。求证：为定值。‎ 解：（Ⅰ）由已知条件，又 ‎，即点 到x轴的距离为2.‎ ‎（Ⅱ）抛物线的方程为y2=4x．设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，‎ 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．‎ 由得．‎ ‎，．‎ 直线PA的方程为．‎ 令x=0，得点M的纵坐标为．‎ 同理得点N的纵坐标为．‎ 由，得，．‎ ‎．所以为定值．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（1）求的单调区间;‎ ‎（2）若，为整数，且当时，，求的最大值.‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为，。若，则，所以在内单调递增；若，则当时，，当时，，所以，在内单调递减，在内单调递增。......5分 ‎（Ⅱ）由，有，当时，(x－k) f´(x)+x+1>0等价于，（）......7分 令，则。由（Ⅰ）知，在内单调递增，而，，所以在内存在唯一的零点，故在内存在唯一的零点，设此零点为，则。.....10分 当时，；当时，，所以在内的最小值为，又有，可得，所以。‎ 所以。整数的最大取值为2。......12分 ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，且M点的坐标为(3,4)，求的值．‎ ‎（1）解：：，C：，即 ‎ 所以C 的普通方程是 ‎（2）解：将直线方程化为参数方程：‎ 带入C的普通方程得：，设A，B对应的参数分别是，，则，所以 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在实数满足，求实数a的最大值.‎ 解：（1） ‎ 当时，由，得 当时，由，得 当时，由，得 所以不等式的解集为 ‎ ‎（2） X.K]‎ 依题意有，即 ‎ 解得 故的最大值为3‎