2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（文）试题（解析版）

2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（文）试题（解析版）

‎2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接通过解不等式求出.‎ ‎【详解】‎ 解：集合，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合补集的运算，是基础题.‎ ‎2．若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由纯虚数的定义可得m＝0，故，化简可得．‎ ‎【详解】‎ 复数z＝m（m+1）+（m+1）i是纯虚数，故m（m+1）＝0且（m+1）≠0，‎ 解得m＝0，故z＝i，故i．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．‎ ‎3．抛物线上一点到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据抛物线的方程和定义可得，由此解得和，从而可得.‎ ‎【详解】‎ 由可知，抛物线的准线方程为，则，解得，‎ 代入可得，，则点M到坐标原点的距离为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程和定义，要求学生熟练掌握抛物线的定义的运用，属基础题.‎ ‎4．设数列前n项和为，已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用得出，先求出，再利用递推式求出即可.‎ ‎【详解】‎ 解：当时，，‎ 整理得，‎ 又，得，‎ ‎，得，‎ ‎，得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列递推式的应用，是基础题.‎ ‎5．已知向量，若，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由向量平行的坐标运算得到参数值，再根据得到两个向量垂直.‎ ‎【详解】‎ ‎，因为，所以，解得，‎ 当时，，所以向量与向量的夹角为．‎ 故选D ‎【点睛】‎ 这个题目考查了向量平行的坐标运算以及向量点积的坐标运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎6．已知函数在区间的最小值是（ ）‎ A．-2 B．-4 C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简函数可得，结合定义域和二次函数的性质即可得到当时，函数有最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由知，，，‎ 则当时，函数有最小值.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式和配方法求二次函数的最值，注意仔细审题，认真计算，不要忽略定义域，属基础题.‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】该几何体是一个半圆柱和一个直三棱柱的组合体，根据三视图判断三棱柱的底面和高及半圆柱的底面半径，母线长的数据，把数据代入半圆柱与三棱柱的体积公式计算即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图知，该几何体是一个半圆柱和一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面是半径为3的半圆，母线长为6，直三棱柱的底面是直角边长度分别为3和6的直角三角形，高也为6，如图：‎ 则几何体的体积为：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键，属基础题.‎ ‎8．定义[x]表示不超过x的最大整数，，例如：.执行如图所示的程序框图若输入的，则输出结果为（ ）‎ A．-4.6 B．-2.8 C．-1.4 D．-2.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知的程序框图可以知道：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得x=6.8，y=6-1.6=4.4，x=6-1=5；满足条件x≥0，执行循环体，x=2.2，y=2-0.4=1.6，x=2-1=1；满足条件x≥0，执行循环体，x= 0.8，y=0-1.6=－1.6，x=0-1=-1；不满足条件x≥0，退出循环，z=-1+(-1.6)=-2.6，则输出z的值为-2.6.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查算法初步的程序框图问题，考查学生的运算求解能力，注意仔细检查，属基础题.‎ ‎9．已知分别是双曲线的左、右焦点，点P为渐近线上一点，O为坐标原点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出双曲线的图像，利用等边三角形的性质可知渐近线的斜率为，即，从而可求离心率.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的图像如下图，‎ 由为等边三角形可知，渐近线OP的倾斜角为，则渐近线的斜率为，‎ 即，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线求离心率的方法，注意充分利用几何性质可简化计算，属基础题.‎ ‎10．为得到的图象，可将图象上所有点（ ）‎ A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 ‎【答案】A ‎【解析】根据图象的变换规律进行判断即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意，，则将图像上所有点向右平移个单位长度可得，再将所得点的横坐标变为原来的，纵坐标不变可得，即A正确.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图象变换，要求熟练掌握图象的平移伸缩变换规律，属基础题.‎ ‎11．已知函数，则（ ）‎ A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称 C．在单调递减 D．在上不单调 ‎【答案】B ‎【解析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明.‎ ‎【详解】‎ 解：，得函数定义域为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，排除A；，排除C；‎ 在定义域内单调递增，在定义域内单调递减，‎ 故在定义域内单调递增，故排除D；‎ 现在证明B的正确性：‎ ‎，‎ 所以的图像关于点对称，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的基本性质，定义域、单调性、对称性，是中档题.‎ ‎12．数列满足，若，且数列前n项和为，则（ ）‎ A．54 B．80 C．90 D．174‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可得，即数列是等差数列，由此求出，则，分析可知，，从而可求.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 则数列是等差数列，公差与首项都为1，‎ ‎，则，‎ 又，‎ ‎，，‎ 同理可得，，‎ ‎，‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据递推关系求通项公式及求前n项和的方法，通过仔细审题和分析得出是解决本题的关键，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若x,y满足约束条件，则的最大值为___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】在平面直角坐标系内画出题中不等式组所表示的平面区域，作出直线l：-x+y=0，平移直线l，由图可得，当直线经过点C时，直线在y轴上的截距最大，由此求得结果.‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，‎ 作出直线l：-x+y=0，平移直线l，由图可得，当直线经过点C时，直线在y轴上的截距最大，此时z=-x+y取得最大值，由，解得，即，‎ 所以，的最大值为.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划，正确画出题中的不等式组表示的平面区城是解题的关键，属基础题.‎ ‎14．已知函数为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出时的函数的解析式，计算，的值，求出切线方程即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数是奇函数， ， 当时，， 不妨设，则， 故， 故时，， 故， 故，‎ ‎， 故切线方程是：， 整理得：， 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性问题，考查求函数的切线方程，是一道中档题．‎ ‎15．已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过对等式两边平方并构造齐次式可得，求解，再利用两角和的正切公式即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由可得，，‎ 即，‎ 变形得，‎ 则，整理得，解得，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式和齐次式的应用，注意仔细审题，认真计算，属中档题.‎ ‎16．在中，D是BC边上一点，，，且与面积之比为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意画出图形，结合图形求得的值，再利用余弦定理求得AC、AB的值，最后利用三角形的面积公式求得AD的值．‎ ‎【详解】‎ 解：中，∠BAD＝∠DAC＝60°，如图所示；‎ ‎ ； 由余弦定理得，， ， 解得AC＝6， ∴AB＝10；‎ ‎； ， 解得． 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．‎ 三、解答题 ‎17．随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西，而且两三天就会送到自己的家门口，某网店统计了2015年至2019年（2015年时t=1）在该网店的购买人数（单位：百人）的数据如下表：‎ 年份（t）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎41‎ ‎64‎ ‎79‎ ‎（1）依据表中给出的数据，求出y关于t的回归直线方程；‎ ‎（2）根据（1）中的回归直线方程，预测2020年在该网店购物的人数是否有可能破万？‎ 附：参考公式：回归方程中：，参考数据：.‎ ‎【答案】（1）；（2）2020年在该网点购物的人数不会破万 ‎【解析】（1）将表中数据代入公式即可求出y关于t的回归直线方程；‎ ‎（2）2020年时，将其代入回归直线方程即可得到预测结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表中数据可得，，，‎ 所以，，所以；‎ ‎（2）2020年时，此时，所以2020年在该网点购物的人数不会破万.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了回归分析的应用，其中利用公式正确求解回归直线方程是解题的关键，属基础题.‎ ‎18．设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q，已知.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题中条件建立关于a1和d的方程组，解出a1和d，从而可得到b1与q，由等差数列与等比数列的通项公式可得到数列和的通项公式；‎ ‎（2）结合（1）中结论得到的表达式，列出，由可得到 ‎，从而解得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，则（舍）或.‎ 所以，；‎ ‎（2）由（1）可得，，，则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，体现了高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向，属中档题.‎ ‎19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，且，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）取CD的中点M，连接AM，由条件知四边形BCMA为正方形，可得，再由平面平面ABCD，平面ABCD，平面平面，即可证得平面PAD，从而证得；‎ ‎（2）过点P作交AD的延长线于点E，可证PE为四棱锥的高，再根据几何关系计算相关棱长，并利用面积公式和，即可求得，进而求得四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：如图，在直角梯形ABCD中，取CD的中点M，连接AM，‎ 由条件知四边形BCMA为正方形，‎ ‎，，‎ ‎∵平面平面ABCD，平面ABCD，‎ 平面平面，平面PAD，‎ 平面PAD，；‎ ‎（2）过点P作交AD的延长线于点E，如图，‎ ‎∵平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，‎ ‎∴平面ABCD.‎ 设，则，，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ 为等腰三角形，易得边上的高为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线线垂直的证明和四棱锥的体积计算，考查考生的空间想象能力及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算，属中档题.‎ ‎20．已知圆，是圆M内一定点，动点P为圆M上任意一点，线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点C.‎ ‎（1）求点C的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线与C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，当的面积S取最大值时，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据几何关系可知，即点C的轨迹是一个以M，N为焦点的椭圆，由此可得椭圆方程；‎ ‎（2）联立直线方程和椭圆方程可得，利用韦达定理和弦长公式可得，又点O到直线l的距离，由此可得面积，再利用基本不等式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图，由几何关系可得，，‎ 即，所以点C的轨迹是一个以M，N为焦点的椭圆，‎ 由题意知，，则，，，‎ 故椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）设，由得，‎ 由韦达定理可得，，‎ 点O到直线l的距离，‎ 则 ‎，‎ 当且仅当，即时，S取得最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查与圆相关的轨迹方程和直线与椭圆的位置关系，要求学生在解决轨迹方程问题时要充分利用几何性质，减少运算难度，属难题.‎ ‎21．已知函数，且.‎ ‎（1）求a；‎ ‎（2）设函数的导函数为，在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为k，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】（1）先求导数，分析当时与题设矛盾；当时，研究其单调性并求出最小值，由题可知，，构造函数，求导求单调性可得最大值，由此得到；‎ ‎（2）由（1）知时，，令，则，变形为，即，又，，，从而得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 当时，，则单调递增，又，则对一切，这与题设矛盾；‎ 当时，令得.‎ 当时，单调递减，当时，，单调递增，‎ 故当时，取最小值.‎ 于是对一切恒成立，当且仅当.①‎ 令，则.‎ 当时，，单调递增，当时，，单调递减，‎ 故当时，取最大值，因此，当且仅当时，①式成立.‎ 综上所述，；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 当单调递增，‎ 当单调递减，‎ 又由于，所以时，，‎ 令，则，变形为，‎ 所以，‎ 又，‎ 则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的性质和证明不等式，着重考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属难题.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数，‎ ‎），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.点.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和参数方程；‎ ‎（2）曲线交曲线于A，B两点，若，求曲线的普通方程.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为：，参数方程为：（为参数）；（2）曲线的普通方程为：或 ‎【解析】（1）利用，将极坐标方程化为普通方程，进而可化为参数方程；‎ ‎（2）曲线的参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数的关系列方程求出的值，进而可得曲线的普通方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 所以，曲线的普通方程为：‎ 曲线的参数方程为：（为参数）‎ ‎（2）将曲线的参数方程为代入曲线的普通方程为：‎ 得：‎ 或 所以曲线的普通方程为：或 ‎【点睛】‎ 本题考察极坐标方程和普通方程的互化，普通方程和参数方程的互化，考查了直线参数方程的应用，是基础题．‎ ‎23．已知.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）的最小值为M，，，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】（1）将，求出的范围，进而可得的范围；‎ ‎（2）首先求出的最小值，即可得的值，利用柯西不等式和基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎，‎ 不等式的解集为：；‎ ‎（2），‎ 所以，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解绝对值不等式以及柯西不等式和基本不等式的应用，是中档题.‎