初中数学中考八大题型典中典专题复习八动态变化问题

初中数学中考八大题型典中典专题复习八动态变化问题

专题复习（八）——动态变化问题 题型概述 动态型问题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动和面动；其运动形式而言就是平移、旋转、翻折和滚动等。‎ 动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活，多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展同学们的空间想象能力。 ‎ 解答动态型试题的策略是：（1）动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；（2）动静互化，抓住静的瞬间。找到导致图形或者变化规律发生改变的特殊时刻，同时在运动变化的过程中寻找不变性及其变化规律。‎ 题型例析 类型1：动点问题 ‎（1）因动点产生的相似三角形问题：属于动态几何问题，因动点而产生的相似三角形，充分利用相似三角形的判定、性质及其多边形的知识点，结合分类讨论等多种数学思想，将“动”中某些特殊时刻看成“静”，并在其静态下把问题解决。‎ ‎【例题】（2015•酒泉第10题 3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）‎ A． B． C． ‎ D．‎ 考点：动点问题的函数图象．‎ 分析：证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．‎ 解答：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，‎ 又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，‎ ‎∴∠CPD+∠BPE=90°，‎ 又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，‎ ‎∴∠BEP=∠CPD，‎ 又∵∠B=∠C，‎ ‎∴△BPE∽△CDP，‎ ‎∴，即，则y=﹣x2+，y是x的二次函数，且开口向下．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键．‎ ‎【变式练习】‎ ‎（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第12题3分）如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（　　）‎ ‎　 A．﹣1 B． C． 1 D． ‎ 考点： 相似三角形的判定与性质；平移的性质．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： 利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了．‎ 解答： 解：设BC与A′C′交于点E，‎ 由平移的性质知，AC∥A′C′‎ ‎∴△BEA′∽△BCA ‎∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2‎ ‎∵AB=‎ ‎∴A′B=1‎ ‎∴AA′=AB﹣A′B=﹣1‎ 故选A．‎ 点评： 本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．‎ ‎（2）因动点产生的特殊三角形问题：这类问题主要产生等腰三角形和直角三角形，无论是哪种三角形，都需要进行分类讨论（要注意关注这方面的讨论），等腰三角形可按哪条是底边（或者哪个角是底角）等作为分类标准，直角三角形则按哪条边是斜边（或者哪个角是直角）作为分类标准。‎ ‎【例题】（2015•山东威海，第 11题3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）‎ A． B． C． ‎ D．‎ 考点：动点问题的函数图象．‎ 分析：根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求得∠F=30°，然后证得△EDC是等边三角形，从而求得ED=DC=2﹣x，再根据直角三角形的性质求得EF，最后根据三角形的面积公式求得y与x函数关系式，根据函数关系式即可判定．‎ 解答：：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠EDC=∠B=60°，‎ ‎∵EF⊥DE，‎ ‎∴∠DEF=90°，‎ ‎∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；‎ ‎∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，‎ ‎∴△EDC是等边三角形．‎ ‎∴ED=DC=2﹣x，‎ ‎∵∠DEF=90°，∠F=30°，‎ ‎∴EF=ED=（2﹣x）．‎ ‎∴y=ED•EF=（2﹣x）•（2﹣x），‎ 即y=（x﹣2）2，（x＜2），‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，特殊角的三角函数、三角形的面积等．‎ ‎【变式练习】‎ ‎（2015•山东威海，第25题12分）已知：抛物线l1：y=﹣x2‎ ‎+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．‎ ‎（1）求抛物线l2的函数表达式；‎ ‎（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；‎ ‎（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．‎ 考点：二次函数综合题．.‎ 分析：（1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式；‎ ‎（2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC2和PA2，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标；‎ ‎（3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值 解答：（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1，‎ ‎∴﹣=1，解得b=2，‎ ‎∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，‎ 令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，‎ ‎∴A点坐标为（﹣1，0），‎ ‎∵抛物线l2经过点A、E两点，‎ ‎∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），‎ 又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣），‎ ‎∴﹣=﹣‎5a，解得a=，‎ ‎∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，‎ ‎∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；‎ ‎（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），‎ ‎∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，‎ ‎∵PC=PA，‎ ‎∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，‎ ‎∴P点坐标为（1，1）；‎ ‎（3）由题意可设M（x，x2﹣2x﹣），‎ ‎∵MN∥y轴，‎ ‎∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣‎ 令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，‎ ‎①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，‎ 显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；‎ ‎②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）‎ ‎=x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣，‎ 显然当x＞时，MN随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；‎ 综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标分别表示出PA、PC是解题的关键，在（3）中用M、N的坐标分别表示出MN的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较为基础，难度适中．‎ ‎（3）因动点产生的特殊四边形问题：动点问题中，点的移动会引起图形的变化，出特殊的形状，于是我们在动点的运动过程中，寻找动点的特殊时刻，结合特殊四边形判定条件来解决问题。‎ ‎【例题】（2015湖北荆州第9题3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）‎ A． B． C．D．‎ 考点： 动点问题的函数图象．‎ 分析： 首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．‎ 解答： 解：由题意可得BQ=x．‎ ‎①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，‎ 则△BPQ的面积=BP•BQ，‎ 解y=•3x•x=x2；故A选项错误；‎ ‎②1＜x≤2时，P点在CD边上，‎ 则△BPQ的面积=BQ•BC，‎ 解y=•x•3=x；故B选项错误；‎ ‎③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，‎ 则△BPQ的面积=AP•BQ，‎ 解y=•（9﹣3x）•x=x﹣x2；故D选项错误．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．‎ ‎【变式练习】‎ ‎（2015•四川省内江市，第11题，3分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．‎ 考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．‎ 分析：由于点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．‎ 解答：由题意，可得BE与AC交于点P．‎ ‎∵点B与D关于AC对称，‎ ‎∴PD=PB，‎ ‎∴PD+PE=PB+PE=BE最小．‎ ‎∵正方形ABCD的面积为12，‎ ‎∴AB=2．‎ 又∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BE=AB=2．‎ 故所求最小值为2．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，等边三角形的性质，找到点P的位置是解决问题的关键．‎ ‎（4）因动点产生的相切问题：这类问题要紧扣切线的判定及其性质解答即可。‎ ‎【例题】（2015江苏连云港第24题10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－2与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1．‎ A P x y O B ‎·‎ ‎（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）当⊙P过点B时，求被y轴所截得的劣弧的长；‎ ‎（3）当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．‎ ‎【思路分析】（1）判断点与圆的位置关系，须明确点与圆的三种位置关系与数量关系的转换。须求出点O到直线AB的距离，先求出点A、B的坐标，然后可利用三角函数或相似形或 面积法求出AB边上的高即可。‎ ‎（2）求弧长，须明确弧长公式：l＝，根据公式须求出劣弧所对的圆心角的度数，代入公式即可求理。根据题意，存在两种位置关系，分别讨论，画出图形，由（1）容易求出圆心角的度数。‎ ‎（3）画出对应图形，讨论存在两种位置关系，分别在x轴的上方和下方。由PD＝1，∠DPA＝30°，易求出AD的长，根据OA＝2，求出OD的长。‎ ‎【答案】（1）由直线AB的函数关系式y＝x－2，得其与两坐标轴交点A（2，0），B（0，－2）．‎ 在直角△OAB中，tan∠OBA＝＝，∠OBA＝30°．‎ 如图1，过点O作OH⊥AB交AB于点H。‎ 在△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝． ‎ ‎∵＞1，∴原点O在⊙P外 ‎（2）如图2，当⊙P过点B，点P在y轴右侧时，⊙P被y轴所截得的劣弧所对圆心角为120°．‎ ‎∴弧长为＝．‎ 同理，当⊙P过点B，点P在y轴左侧时，弧长同样为．‎ 所以当⊙P过点B，⊙P被y轴所截得的劣弧长为 ‎（3）如图3，当⊙P与x轴相切，且位于x轴下方时，设切点为D．‎ 在直角△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1× tan30°＝．‎ 此时D点坐标为（2－，0）．‎ 当⊙P与x轴相切，且位于x轴上方时，根据对称性可以求出切点坐标（2＋，0）． ‎ A P x y O B ‎·‎ H A P x y O B A P x y O B D ‎【点评】本题考查了点和圆的位置关系，劣长公式和直线与圆相切，三角函数关系。‎ ‎【变式练习】‎ ‎（2015•山东德州,第23题10分）（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．‎ （2） 探究 如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．‎ ‎（3）应用 请利用（1）（2）获得的经验解决问题：‎ 如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．‎ 考点： 相似形综合题；切线的性质．.‎ 专题： 探究型．‎ 分析： （1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；‎ ‎（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；‎ ‎（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．‎ 解答： 解：（1）如图1，‎ ‎∵∠DPC=∠A=∠B=90°，‎ ‎∴∠ADP+∠APD=90°，‎ ‎∠BPC+∠APD=90°，‎ ‎∴∠ADP=∠BPC，‎ ‎∴△ADP∽△BPC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD•BC=AP•BP；‎ ‎（2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立．‎ 理由：如图2，‎ ‎∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，‎ ‎∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．‎ ‎∵∠DPC=∠A=∠B=θ，‎ ‎∴∠BPC=∠ADP，‎ ‎∴△ADP∽△BPC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD•BC=AP•BP；‎ ‎（3）如图3，‎ 过点D作DE⊥AB于点E．‎ ‎∵AD=BD=5，AB=6，‎ ‎∴AE=BE=3．‎ 由勾股定理可得DE=4．‎ ‎∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，‎ ‎∴DC=DE=4，‎ ‎∴BC=5﹣4=1．‎ 又∵AD=BD，‎ ‎∴∠A=∠B，‎ ‎∴∠DPC=∠A=∠B．‎ 由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP，‎ ‎∴5×1=t（6﹣t），‎ 解得：t1=1，t2=5，‎ ‎∴t的值为1秒或5秒．‎ 点评： 本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．‎ ‎（5）因动点产生的其他问题：由于动点运动的路线发生了改变，导致图形发生改变，从而两个变量之间的函数关系也发生改变，要根据具体的问题分析把握。‎ ‎【例题】（2015•甘肃武威,第10题3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）‎ ‎ A．B． C． D．‎ 考点：动点问题的函数图象．‎ 分析：证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断．‎ 解答：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，‎ 又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，‎ ‎∴∠CPD+∠BPE=90°，‎ 又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，‎ ‎∴∠BEP=∠CPD，‎ 又∵∠B=∠C，‎ ‎∴△BPE∽△CDP，‎ ‎∴，即，则y=﹣x2+，y是x的二次函数，且开口向下．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键．‎ ‎【变式练习】‎ ‎（2015•四川资阳,第8题3分）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是 考点：动点问题的函数图象．.‎ 分析：根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．‎ 解答：解：（1）当点P沿O→C运动时，‎ 当点P在点O的位置时，y=90°，‎ 当点P在点C的位置时，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴y=45°，‎ ‎∴y由90°逐渐减小到45°；‎ ‎（2）当点P沿C→D运动时，‎ 根据圆周角定理，可得 y≡90°÷2=45°；‎ ‎（3）当点P沿D→O运动时，‎ 当点P在点D的位置时，y=45°，‎ 当点P在点0的位置时，y=90°，‎ ‎∴y由45°逐渐增加到90°．‎ 故选：B．‎ 点评：（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图．‎ ‎（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．‎ 类型2：动线问题:‎ 解答此类问题先要画出各个关键时刻的图形，再由动变静，设法分别求出解。用分类思想画图的方法在解动态几何问题中非常有效，它可以帮助我们理清思路，突破难点。‎ ‎【例题】（2015湖南邵阳第9题3分）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 考点：动点问题的函数图象．‎ 专题：数形结合 分析：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，BD=CD=m，当点F从点B运动到D时，如图1，利用正切定义即可得到y=tanB•t（0≤t≤m）；当点F从点D运动到C时，如图2，利用正切定义可得y=tanC•CF=﹣tanB•t+2mtanB（m≤t≤2m），即y与t的函数关系为两个一次函数关系式，于是可对四个选项进行判断．‎ 解答：作AD⊥BC于D，如图，设点F运动的速度为1，BD=m，‎ ‎∵△ABC为等腰三角形，‎ ‎∴∠B=∠C，BD=CD，‎ 当点F从点B运动到D时，如图1，‎ 在Rt△BEF中，∵tanB=，‎ ‎∴y=tanB•t（0≤t≤m）；‎ 当点F从点D运动到C时，如图2，‎ 在Rt△CEF中，∵tanC=，‎ ‎∴y=tanC•CF ‎=tanC•（2m﹣t）‎ ‎=﹣tanB•t+2mtanB（m≤t≤2m）．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了动点问题的函数图象：利用三角函数关系得到两变量的函数关系，再利用函数关系式画出对应的函数图象．注意自变量的取值范围．‎ ‎【变式练习】‎ ‎（2015•山东德州,第12题3分）如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（　　）‎ ‎　 A． B． C． ‎ 考点： 动点问题的函数图象．‎ 分析： 根据题意得出临界点P点横坐标为1时，△APO的面积为0，进而结合底边长不变得出即可．‎ 解答： 解：∵点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，‎ ‎∴当m=1时，n=1，即P点在直线AO上，此时S=0，‎ 当0＜m≤1时，S△APO不断减小，当m＞1时，S△APO不断增大，且底边AO不变，故S与m是一次函数关系．‎ 故选：B．‎ 点评： 此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意得出临界点是解题关键．‎ 类型3：动形问题:‎ 这类问题应搞清楚图形的变化过程，探索图形运动的特点或规律，作出几种符合条件的草图，并抓住图形在变化过程中的不变量，然后根据重叠部分或者分开等等面积的不同形状状态，从而分析运动的列式解答。‎ ‎【例题】（2015•湘潭，第15题3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE=　 　．‎ 考点：旋转的性质．‎ 分析：根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=3即可．‎ 解答：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，‎ ‎∴∠BAE=60°，AB=AE，‎ ‎∴△BAE是等边三角形，‎ ‎∴BE=3．‎ 故答案为：3．‎ 点评：本题考查旋转的性质，关键是根据旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．‎ ‎【变式练习】‎ ‎（2015•永州，第16题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为　 　．‎ 考点：扇形面积的计算；坐标与图形性质；旋转的性质．‎ 分析：‎ 根据点A的坐标（﹣2，0），可得OA=2，再根据含30°的直角三角形的性质可得OB的长，再根据性质的性质和扇形的面积公式即可求解．‎ 解答：∵点A的坐标（﹣2，0），‎ ‎∴OA=2，‎ ‎∵△ABO是直角三角形，∠AOB=60°，‎ ‎∴∠OAB=30°，‎ ‎∴OB=OA=1，‎ ‎∴边OB扫过的面积为：=π．‎ 故答案为：π．‎ 点评：本题考查了扇形的面积公式：S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．‎ 跟踪检测：‎ ‎1. （2014•黑龙江龙东,第15题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（　　）‎ A． B． C.D.‎ ‎2. （2014•江苏徐州,第18题3分）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以‎1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以‎2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为　 　．‎ ‎3. （2015·湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第15 题3分）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为　 　．‎ ‎4. （2015•本溪，第10题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（　　）‎ ‎　 A B． C． D． ‎ ‎5. （2015•桂林）（第12题）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（　　）‎ A． 8 B． ‎10 ‎C． 3π D． 5π ‎6. （2014•湖南衡阳,第27题10分）如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y=x以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．‎ ‎（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；‎ ‎（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．‎ ‎7. （2015•宜昌，第21题8分）如图，已知点A（4，0），B（0，4），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解析式；‎ ‎（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．‎ ‎8. （2015•怀化，第22题8分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．‎ ‎（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；‎ ‎（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；‎ ‎（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）‎ ‎9. （2015•广东东莞25,9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm ‎（1）填空：AD=　2　（cm），DC=　2　（cm）‎ ‎（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）‎ ‎（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．‎ ‎（参考数据sin75°=，sin15°=）‎ 跟踪检测参考答案：‎ ‎1. （2014•黑龙江龙东,第15题3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（　　）‎ A． B． C.D.‎ 考点： 动点问题的函数图象．.‎ 分析： 将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．‎ 解答： 解：动点P运动过程中：‎ ‎①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变；‎ ‎②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；‎ ‎③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变；‎ ‎④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；‎ ‎⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y=2保持不变．‎ 结合函数图象，只有D选项符合要求．‎ 故选D．‎ 点评： 本题考查了动点运动过程中的函数图象．把运动过程分解，进行分类讨论是解题的关键．‎ ‎2. （2014•江苏徐州,第18题3分）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以‎1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以‎2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为　 　．‎ 考点： 动点问题的函数图象．‎ 分析： 根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式．‎ 解答： 解：∵点P沿边DA从点D开始向点A以‎1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以‎2cm/s的速度移动．‎ ‎∴当P点到AD的中点时，Q到B点，‎ 从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，‎ ‎∴9=×（AD）•AB，‎ ‎∵AD=AB，‎ ‎∴AD=6，即正方形的边长为6，‎ 当Q点在BC上时，AP=6﹣x，△APQ的高为AB，‎ ‎∴y=（6﹣x）×6，即y=﹣3x+18．‎ 故答案为：y=﹣3x+18．‎ 点评： 本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长．‎ ‎3. （2015·湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第15 题3分）‎ 菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为　 　．‎ 考点：菱形的性质；坐标与图形性质．.‎ 分析：根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．‎ 解答：∵A（1，0），B（0，），‎ ‎∴AB==2．‎ ‎∵点P的运动速度为‎0.5米/秒，‎ ‎∴从点A到点B所需时间==4秒，‎ ‎∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．‎ ‎∵=125…15，‎ ‎∴移动到第2015秒时，点P恰好运动到AD的中点，‎ ‎∴P（0.5，﹣）．‎ 故答案为：（0.5，﹣）．‎ 点评：本题考查的是菱形的性质，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的关键 ‎4. （2015•本溪，第10题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（　　）‎ ‎　 A B． C． D． ‎ 考点： 动点问题的函数图象．.‎ 分析： 首先连接CP，根据点P是斜边AB的中点，可得S△ACP=S△BCP=S△ABC；然后分别求出出发时；点N到达BC的中点、点M也到达AC的中点时；结束时，△PMN的面积S的大小，即可推得△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化，据此判断出△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是哪个即可．‎ 解答： 解：如图1，连接CP，‎ ‎，‎ ‎∵点P是斜边AB的中点，‎ ‎∴S△ACP=S△BCP=S△ABC，‎ 出发时，S△PMN=S△BCP=S△ABC；‎ ‎∵两点同时出发，同时到达终点，‎ ‎∴点N到达BC的中点时，点M也到达AC的中点，‎ ‎∴S△PMN=S△ABC；‎ 结束时，S△PMN=S△ACP=S△ABC，‎ ‎△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化，‎ ‎∴△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是：‎ ‎．‎ 故选：A．‎ 点评： 此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．‎ ‎5. （2015•桂林）（第12题）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（　　）‎ A． 8 B． ‎10 ‎C． 3π D． 5π 考点： 轨迹．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 连结DE，作FH⊥BC于H，如图，根据等边三角形的性质得∠B=60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′=BD=2，则点E′与点E重合，所以∠BDE=30°，DE=BE=2，接着证明△DPE≌△FDH得到FH=DE=2，于是可判断点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=8，所以F‎1F2=DQ=8，于是得到当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8‎ 解：连结DE，作FH⊥BC于H，如图，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠B=60°，‎ 过D点作DE′⊥AB，则BE′=BD=2，‎ ‎∴点E′与点E重合，‎ ‎∴∠BDE=30°，DE=BE=2，‎ ‎∵△DPF为等边三角形，‎ ‎∴∠PDF=60°，DP=DF，‎ ‎∴∠EDP+∠HDF=90°，‎ ‎∵∠HDF+∠DFH=90°，‎ ‎∴∠EDP=∠DFH，‎ 在△DPE和△FDH中，‎ ‎，‎ ‎∴△DPE≌△FDH，‎ ‎∴FH=DE=2，‎ ‎∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，‎ 当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，‎ 当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，‎ ‎∴F‎1F2=DQ=8，‎ ‎∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．‎ 点评： 本题考查了轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质．‎ ‎6. （2014•湖南衡阳,第27题10分）如图，已知直线AB分别交x轴、y轴于点A（﹣4，0）、B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y=x以每秒0.6个单位的速度向上平移，分别交AO、BO于点C、D，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．‎ ‎（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；‎ ‎（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？且指出此时以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．‎ 考点：一次函数综合题．‎ 分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由待定系数法就可以求出直线AB的解析式，再由点的坐标求出AO，BO的值，由勾股定理就可以得出AB的值，求出sin∠BAO的值，作PE⊥AO，表示出PE的值，得出PE=DO，就可以得出结论；‎ ‎（2）由三角函数值表示CO的值，由菱形的性质可以求出菱形的边长，作DF⊥AB于F由三角函数值就可以求出DO，DF的值，进而得出结论．‎ 解答： 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得 ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴y=x+3．‎ ‎∴直线AB∥直线y=x．‎ ‎∵A（﹣4，0）、B（0，3），‎ ‎∴OA=4，OB=3，‎ 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 AB=5．‎ ‎∴sin∠BAO=，tan∠DCO=．‎ 作PE⊥AO，‎ ‎∴∠PEA=∠PEO=90°‎ ‎∵AP=t，‎ ‎∴PE=0.6t．‎ ‎∵OD=0.6t，‎ ‎∴PE=OD．‎ ‎∵∠BOC=90°，‎ ‎∴∠PEA=∠BOC，‎ ‎∴PE∥DO．‎ ‎∴四边形PEOD是平行四边形，‎ ‎∴PD∥AO．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴四边形ACDP总是平行四边形；‎ ‎（2）∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAO=∠DCO，‎ ‎∴tan∠DCO=tan∠BAO=．‎ ‎∵DO=0.6t，‎ ‎∴CO=0.8t，‎ ‎∴AC=4﹣0.8t．‎ ‎∵四边形ACDP为菱形，‎ ‎∴AP=AC，‎ ‎∴t=4﹣0.8t，‎ ‎∴t=．‎ ‎∴DO=，AC=．‎ ‎∵PD∥AC，‎ ‎∴∠BPD=∠BAO，‎ ‎∴sin∠BPD=sin∠BAO=．‎ 作DF⊥AB于F．‎ ‎∴∠DFP=90°，‎ ‎∴DF=．‎ ‎∴DF=DO．‎ ‎∴以点D为圆心，以DO长为半径的圆与直线AB相切．‎ 点评： 本题考查了待定系数法求函数的将诶相似的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的性质的运用，解答时灵活运用平行四边形的性质是关键．‎ ‎7. （2015•宜昌，第21题8分）如图，已知点A（4，0），B（0，4），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．‎ ‎（1）求直线AB的解析式；‎ ‎（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解析式；‎ ‎（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．‎ 考点：反比例函数中的动态综合型问题．‎ 分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b的值即可；‎ ‎（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求出k即可；‎ ‎（3）设F（t，﹣t+4），得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式为y=，用待定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解析式．‎ 解答：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，‎ ‎∵A（4，0），B（0，4），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为：y=﹣x+4；‎ ‎（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，‎ ‎∴EF=2，DF=4，‎ ‎∵点D与点A重合，‎ ‎∴D（4，0），‎ ‎∴F（2，2），‎ ‎∴G（3，），‎ ‎∵反比例函数y=经过点G，‎ ‎∴k=3，‎ ‎∴反比例函数的解析式为：y=；‎ ‎（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：‎ ‎∵点F在直线AB上，‎ ‎∴设F（t，﹣t+4），‎ 又∵ED=2，‎ ‎∴D（t+2，﹣t+2），‎ ‎∵点G为边FD的中点．‎ ‎∴G（t+1，﹣t+3），‎ 若过点G的反比例函数的图象也经过点F，‎ 设解析式为y=，‎ 则，‎ 整理得：（﹣t+3）（t+1）=（﹣t+4）t，‎ 解得：t=，‎ ‎∴m=，‎ ‎∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=‎ 点评：本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键．‎ ‎8. （2015•怀化，第22题8分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．‎ ‎（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；‎ ‎（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；‎ ‎（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）‎ 考点： 相似形综合题．‎ 分析： （1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式，求得PE=，QE=，根据勾股定理得到PQ2=QE2+PE2，求出PQ=t，当Q与B重合时，PQ的值最大，于是得到当t=5时，PQ的最大值=3；‎ ‎（2）由三角形的面积公式即可求得；‎ ‎（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，分三种情况①当CQ=CP时，②当PQ=CQ时，③当PQ=PC时，列方程求解即可．‎ 解答： 解：（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ，‎ ‎∵∠C=90°，‎ ‎∴QE∥BC，‎ ‎∴△ABC∽△AQE，‎ ‎∴，‎ ‎∵AQ=2t，AP=t，‎ ‎∵∠C=90°，AC=8，BC=6，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∴，‎ ‎∴PE=，QE=，‎ ‎∴PQ2=QE2+PE2，‎ ‎∴PQ=t，‎ 当Q与B重合时，PQ的值最大，‎ ‎∴当t=5时，PQ的最大值=3；‎ ‎（2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积=S△AQP，‎ 当Q在AB边上时，S=AP•QE=t•=，（0＜t≤5）‎ 当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP，‎ ‎∴S四边形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）•（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；‎ ‎∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式：S=或S=﹣t2+16t﹣40．‎ ‎（3）存在，如图2，连接CQ，PQ，‎ 由（1）知QE=，CE=AC﹣AE=8﹣，PQ=t，‎ ‎∴CQ====2，‎ ‎①当CQ=CP时，‎ 即：2=8﹣t，‎ 解得；t=，‎ ‎②当PQ=CQ时，‎ 即；t=2，‎ 解得：t=，t=（不合题意舍去），‎ ‎③当PQ=PC时，‎ 即t=8﹣t，‎ 解得：t=3﹣5≈1.7；‎ 综上所述：当t=，t=，t=1.7时，△PQC为等腰三角形．‎ 点评： 本题考查了动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，特别是（3）要分类讨论，不要漏解． ‎ ‎9. （2015•广东东莞25,9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm ‎（1）填空：AD=　2　（cm），DC=　2　（cm）‎ ‎（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）‎ ‎（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．‎ ‎（参考数据sin75°=，sin15°=）‎ 考点： 相似形综合题．‎ 分析： （1）由勾股定理求出AC，由∠CAD=30°，得出DC=AC=2，由三角函数求出AD即可；‎ ‎（2）过N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，则NE=DF，求出∠NCF=75°，∠FNC=15°，由三角函数求出FC，得NE=DF=x+2，即可得出结果；‎ ‎（3）由三角函数求出FN，得出PF，△PMN的面积y=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNF的面积，得出y是x的二次函数，即可得出y的最大值．‎ 解答： 解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，‎ ‎∴AC===4，‎ ‎∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，‎ ‎∴DC=AC=2，‎ ‎∴AD=DC=2；‎ 故答案为：2，2；‎ ‎（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，如图所示：‎ 则NE=DF，‎ ‎∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，‎ ‎∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，‎ ‎∴∠NCF=180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC=15°，‎ ‎∵sin∠FNC=，NC=x，‎ ‎∴FC=x，‎ ‎∴NE=DF=x+2，‎ ‎∴点N到AD的距离为x+2；‎ ‎（3）∵sin∠NCF=，‎ ‎∴FN=x，‎ ‎∵P为DC的中点，‎ ‎∴PD=CP=，‎ ‎∴PF=x+，‎ ‎∴△PMN的面积y=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNF的面积 ‎=（x+2﹣x）（x+2）﹣（2﹣x）×﹣（x+）（x）‎ ‎=x2+x+2，‎ 即y是x的二次函数，‎ ‎∵＜0，‎ ‎∴y有最大值，‎ 当x=﹣=时，‎ y有最大值为=．‎ 点评： 本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能得出结果．‎