2020高中数学 课时分层作业16 数学归纳法 新人教A版选修2-2
课时分层作业(十六) 数学归纳法
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
C [由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．]
2．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为( )
A．Sk＋ B．Sk＋＋
C．Sk＋－ D．Sk＋－
C [因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①
得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②
由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－
＝－.
故Sk＋1＝Sk＋－.]
3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了( )
【导学号：31062168】
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
D [当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．]
4．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
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(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即
2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
B [由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．]
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，
∴第一步的验证为n＝1的情形．
[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________.
【导学号：31062170】
[解析] 当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，
当n＝k＋1时，
左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，
由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．
[答案] 2k＋2
8．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．
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[解析] a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.
[答案] an＝
三、解答题
9．(1)用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．
(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[解] (1)①当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，
左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2
＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，
根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立．
(2)①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
10．已知{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x)).
(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；
(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想.
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【导学号：31062171】
[解] (1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f1[f2(x)]＝＝
猜想：fn(x)＝，(n∈N*)
(2)下面用数学归纳法证明 ，fn(x)＝(n∈N*)
①当n＝1时，f1(x)＝，显然成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即fk(x)＝，
则当n＝k＋1时，fk＋1＝f1[fk(x)]＝＝，
即对n＝k＋1时，猜想也成立；
结合①②可知，猜想fn(x)＝对一切n∈N*都成立．
[能力提升练]
1．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
C [不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．]
2．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得( )
【导学号：31062172】
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A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
C [若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．
它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．]
3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
[解析] 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，
故f(k＋1)＝f(k)＋π.
[答案] π
4．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
【导学号：31062173】
[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
[答案] 5
5．是否存在a，b，c使等式2＋2＋2＋…＋2＝对一切n∈N*都成立，若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
[解] 取n＝1,2,3可得，解得：a＝，b＝，c＝.
下面用数学归纳法证明2＋2＋2＋…＋2＝＝.
即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，
①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；
②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，
则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立；
由数学归纳法，综合①②当n∈N*等式成立，
故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立．
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