2020版高中数学 第一章 导数及其应用滚动训练一 新人教A版选修2-2

2020版高中数学 第一章 导数及其应用滚动训练一 新人教A版选修2-2

第一章 导数及其应用 滚动训练一(§1.1～§1.2)‎ 一、选择题 ‎1．自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)‎ A．从x0到x1的平均变化率 B．在x＝x1处的变化率 C．在x＝x1处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数 考点　平均变化率 题点　函数的平均变化率 答案　A 解析　＝表示函数从x0到x1的平均变化率．‎ ‎2．下列求导结果正确的是(　　)‎ A．(a－x2)′＝1－2x B．(2)′＝3 C．(cos 60°)′＝－sin 60° D．[ln(2x)]′＝ 考点　导数公式的应用 题点　导数公式的应用 答案　B 解析　根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，(a－x2)′＝a′－(x2)′＝－2x，故A错误；‎ 7‎ 对于B，(2)′＝()′＝2××＝3，故B正确；‎ 对于C，(cos 60°)′＝0，故C错误；‎ 对于D，[ln(2x)]′＝(2x)′＝，故D错误．故选B.‎ ‎3．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为(　　)‎ A. B．0‎ C．1 D．2‎ 考点　导数乘除法则及运算 题点　导数乘除法则及运算 答案　C 解析　y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′‎ ‎＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]‎ ‎＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，‎ 由y′|x＝2＝(1－‎2a)2－‎4a(1－‎2a)‎ ‎＝‎12a2－‎8a＋1＝5(a>0)，‎ 解得a＝1.‎ ‎4．曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为(　　)‎ A．1 B．e C．－ D. 考点　导数公式的应用 题点　导数公式的应用 答案　D 解析　设M(x0，ln x0)，‎ 由y＝ln x得y′＝，‎ 所以切线斜率k＝＝，‎ 所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．‎ 由题意得0－ln x0＝(0－x0)＝－1，‎ 即ln x0＝1，所以x0＝e.‎ 所以k＝＝，故选D.‎ 7‎ ‎5．已知函数f(x)＝asin x＋bx3＋1(a，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)等于(　　)‎ A．2 017 B．2 016‎ C．2 D．0‎ 考点　导数的加减法则及运算 题点　导数的加减法则及运算 答案　C 解析　函数的导数f′(x)＝acos x＋3bx2，‎ 则f′(x)为偶函数，则f′(2 017)－f′(－2 017)‎ ‎＝f′(2 017)－f′(2 017)＝0，‎ 由f(x)＝asin x＋bx3＋1，‎ 得f(2 016)＝asin 2 016＋b·2 0163＋1，‎ f(－2 016)＝－asin 2 016－b·2 0163＋1，‎ 则f(2 016)＋f(－2 016)＝2，‎ 则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)＝2＋0＝2，故选C.‎ ‎6．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R且为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切，则a＋b的值为(　　)‎ A．－1 B．‎1 C．0 D．2‎ 答案　A 解析　由y＝f(x)过点(0,0)得b＝－1，‎ ‎∴f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax－1，‎ ‎∴f′(x)＝＋＋a，‎ 又∵曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切，即曲线y＝f(x)在点(0,0)处切线的斜率为，‎ ‎∴f′(0)＝，即1＋＋a＝，‎ ‎∴a＝0，故a＋b＝－1，选A.‎ ‎7．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出四个函数：①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝ln x，④f(x)＝tan x，其中有“巧值点”的函数的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 考点　导数公式的应用 题点　导数公式的应用 7‎ 答案　B 解析　根据题意，依次分析所给的函数：‎ ‎①若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，①符合要求；‎ ‎②若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；‎ ‎③f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；‎ ‎④f(x)＝tan x，则f′(x)＝，即sin xcos x＝1，变形得sin 2x＝2，无解，④不符合要求，故选B.‎ ‎8．若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图象在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值为(　　)‎ A．4 B．2 C．2 D. 考点　简单复合函数的导数 题点　简单复合函数的导数的综合应用 答案　D 解析　函数的导数为f′(x)＝－eax·a，‎ 所以f′(0)＝－e0·a＝－，‎ 即在x＝0处的切线斜率k＝－，‎ 又f(0)＝－e0＝－，‎ 所以切点坐标为，‎ 所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.‎ 圆心到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝1，‎ 即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即00，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，求切线l的方程．‎ 考点　求函数在某点处的切线方程 题点　求函数在某点处的切线方程 解　∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1，‎ ‎∴f′(x)＝2ax－2＋，∴f′(0)＝－1，‎ ‎∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，‎ ‎∴切线l的方程为x＋y－1＝0.‎ 四、探究与拓展 ‎14．已知函数f(x)＝cos x＋e－x＋x2 016，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2 017(x)等于(　　)‎ A．－sin x＋e－x B．cos x－e－x C．－sin x－e－x D．－cos x＋e－x 考点　导数公式的应用 题点　导数公式的应用 答案　C 解析　f1(x)＝f′(x)＝－sin x－e－x＋2 016x2 015，‎ f2(x)＝f1′(x)＝－cos x＋e－x＋2 016×2 015×x2 014，‎ f3(x)＝f2′(x)＝sin x－e－x＋2 016×2 015×2 014x2 013，‎ f4(x)＝f3′(x)＝cos x＋e－x＋2 016×2 015×2 014×2 013x2 012，‎ ‎…，‎ ‎∴f2 016(x)＝f′2 015(x)＝cos x＋e－x＋2 016×2 015×2 014×2 013×…×1，‎ ‎∴f2 017(x)＝－sin x－e－x，故选C.‎ ‎15．已知函数f(x)＝x3－3x及曲线y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.‎ ‎(1)若直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，求直线l的方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线y＝f(x)相切，且切点异于点P，求直线l的方程．‎ 考点　求函数过某点的切线方程 7‎ 题点　求函数过某点的切线方程 解　(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3.‎ 过点P且以P(1，－2)为切点的直线l的斜率为f′(1)＝0，‎ 故所求直线l的方程为y＝－2.‎ ‎(2)设过点P(1，－2)的直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，x－3x0)．‎ 由f′(x0)＝3x－3，‎ 得直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．‎ 又直线l过点P(1，－2)，‎ 所以－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，‎ 即(x0－1)2(x0＋2)＝3(x－1)(x0－1)，‎ 解得x0＝1(舍去)或x0＝－，‎ 故直线l的斜率k＝－，‎ 故直线l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，‎ 即9x＋4y－1＝0.‎ 7‎