北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题

北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题

东城区普通高中示范校高三综合练习(二)‎ 高三数学（理）2013.3‎ 一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎2．已知复数(),则“”是“为纯虚数”的（ ）‎ A．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎3．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程（　　　）‎ ‎　　A．　 B. 　 C. 　 D.‎ ‎4．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）‎ A.96 B. ‎120 ‎C.144 D. 300‎ ‎5．已知满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）‎ 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 ‎[ ‎ A． B. C. D.‎ ‎7．已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．已知函数则下列结论正确的是（ ）‎ A．在上恰有一个零点　　 　　B. 在上恰有两个零点 C. 在上恰有一个零点　 　 D. 在上恰有两个零点 二.填空题（每题5分,共6小题）‎ ‎9．已知随机变量的分布列如下，则的值等于　　　　‎ ‎10．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 .‎ ‎11.如图，是圆的切线，切点为，点在圆内，与圆相交于，若，，，则圆的半径为 .‎ ‎12．在中，为中点，若，，则的最小值是 .‎ ‎13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）‎ ‎14．已知直线，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①；②；③．其中直线的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15.(本小题满分13分) 已知函数 其中 ,.‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.‎ ‎16．(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．‎ ‎(1) 试估计这40名学生成绩的众数；‎ ‎(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；‎ ‎(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率．‎ ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎0.040‎ ‎0.045‎ ‎0.050‎ ‎0‎ ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ 分数 ‎17. (本小题满分13分) 在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎18. (本小题满分13分) 设 ‎（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，在上的最小值为，求在该区 ‎ 间上的最大值.‎ ‎19．(本小题满分14分) 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．‎ ‎20．(本小题满分14分) 已知数集具有性质：对，与两数中至少有一个属于．‎ ‎(1) 分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；‎ ‎(2) 求证：；‎ ‎(3) 已知数集具有性质．证明：数列是等差数列．‎ 东城区普通高中示范校高三综合练习(二)‎ 高三数学（理）参考答案2013.3‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B A D B A C D C 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎②③‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15.已知函数其中 ,.‎ ‎（1）求函数的值域；‎ ‎（2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间.‎ 解：（1） = …………………………………5分 ‎ 所以函数的值域为 …………………………………………………7分 ‎（2）由 得 …………………………………………………9分 ‎ 所以 由 ………………………………………11分 得 ‎ 所以函数的单调增区间为. ………13分 ‎16．某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）．‎ ‎(1) 试估计这40名学生成绩的众数；‎ ‎(2) 试估计这40名学生的成绩在之间的人数；‎ ‎(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在 之间的概率．‎ ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎0.040‎ ‎0.045‎ ‎0.050‎ ‎0‎ ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ ‎95‎ ‎100‎ 分数 解：(1) 77.5； ………………………………………3分 ‎ (2) 所求为：直线与直线之间的直方图的面积，‎ ‎ 因此， ………………………7分 ‎ 答：这40名学生的成绩在之间的有20人．（答19人也算对） ……………8分 ‎(3) 设这5人中恰有2人的成绩在之间为事件，‎ ‎ 因为 ……………………………………10分 ‎ 所以 ……………………………………12分 ‎ 答：这5人中恰有2人的成绩在之间的概率为0．3087． ………13分 ‎17. 在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，‎ ‎ 若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎（1）证明：底面为矩形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………4分 ‎（2）证明：取，连接 ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ 是平行四边形，‎ ‎ //，，‎ ‎// ……………………………………8分 ‎(3) ，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 假设在线段上存在一点，使得平面平面，‎ 设，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设平面的法向量为 ‎ ， ， ‎ 令 ‎ 设平面的法向量为 ‎ 令 ‎ ‎ ，解得 ‎ 线段上存在点，且当时，使得平面平面. ……………13分 ‎18.设 ‎（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.‎ 解答 （1） ……………………………2分 在上存在单调递增区间 存在的子区间，使得时 在上单调递减 ‎，即 解得 当时，在上存在单调递增区间 ………………………………6分 ‎（2）令 ‎ ‎；‎ 在上单调递减，在上单调递增 ‎ ‎ 在上单调递增，在上单调递减 …………………………………8分 所以的最大值为 ‎， ………………………10分 解得 ……………………13分 ‎19．已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．‎ 解析：（1）设动点的坐标为，由题意得 ……………2分 化简得 ‎ 当时；当时 所以动点的轨迹的方程为和（） ………………………5分 ‎ ‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为 ．‎ 由 ‎ 设则 ‎ ‎， …………………………7分 因为，所以的斜率为．设，则同理可得 ， …………………………8分 ‎ …………………………………11分 ‎ ……………………………13分 当且仅当即时，取最小值16． …………………………14分 ‎20．已知数集具有性质：对，与两数中至少有一个属于．‎ ‎(1) 分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；‎ ‎(2) 求证：；‎ ‎(3) 已知数集具有性质．证明：数列是等差数列．‎ 解：‎ (1) 由于和都不属于集合，所以该集合不具有性质；由于、、、、、、、、、都属于集合，所以该数集具有性质． …………………………………………4分 (2) 具有性质，所以与中至少有一个属于 由，有，故 ‎，故 ‎，故 由具有性质知，‎ 又，‎ ‎，，…，，‎ 从而 故 ……………………8分 (3) 由(2)可知，‎ ‎ …………………………①‎ ‎ 由知，，，…，，均不属于 ‎ 由具有性质，，，…，，均属于 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，，，…，‎ ‎ 即…………………………②‎ ‎ 由①②可知 ‎ ‎ ‎ 故构成等差数列． …………………………………13分