中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义07 不等式（组）（学生版）
专题 07 不等式（组）
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用符号“ ”或“ ”表示大小关系的式子，叫作不等式.像 a 3 这样用符号“ ”表示
不等关系的式子也是不等式。
【注意】
1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。
2.常用的不等号有“ , , , , ”五种.“ ”“ ”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边
的大小；“ ”“ ”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等
于）；“ ”表示左右两边不相等。
3.在不等式 a>b 或 a
b，则 a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质 2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于 0 的整式，不等号方向不变，即
若 a>b,c>0，则 ac>bc（或
）
基本性质 3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的整式，不等号方向改变，即
若 a>b,c<0，则 acb，则 bb>c，则 a>c。
基本性质 6：如果 a b ，c d ，那么 a c b d .
【注意】
1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质 2 和性质 3 的区别，当不等式两边乘（或
除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。
2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子
不同点：
1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立
2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向
发生改变；
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
【典型例题】
1．（2019·阜宁县容山中学初一期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x y B． 2 2 0a b C． 1 1x
D． 3
4 x 4 03
2．（2019·重庆市南坪中学校初二期中）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）
① 5x ，② ( 5) 5x x ，③ 1 5x
，④ 2 5x y y ，⑤ 2 5a ，⑥
3
yx
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【考查题型】
考查题型一 不等式性质的应用
1．（2019·四川中考真题）若 m n＞ ，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． 3 3m n ＞ B． 3 3m n﹣ ＜﹣ C．
3 3
m n D． 2 2m n＞
2.（2019·浙江中考真题）已知四个实数 a，b，c，d，若 a>b，c>d，则（ ）
A．a+c>b+d B．a-c>b-d C．ac>bd D． a b
c d
3．（2019·上海中考真题）如果 m﹥n，那么下列结论错误的是（ ）
A．m＋2﹥n＋2 B．m－2﹥n－2 C．2m﹥2n D．－2m﹥－2n
4．（2019·江苏中考真题）实数 a、b、c 满足 a＞b 且 ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A． B．
C． D．
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 1，像这
样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为： 0ax b 或 0 0ax b a 。
例如， 1 3x ， 4 02
y 是一元一次不等式，而 0x y ， 2 5 3xx
不是一元一次不等式。
一元一次不等式的解集的表示方法：
表示的两种形式：①用不等式表示；②用数轴表示。
下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况：
【注意】
1、 用数轴表示不等式解集时要“两定”：定边界点，定方向。
2、 若符号为“>或<”时，边界点为空心，若符号为“≥或≤”，边界点为实心。
3、 定方向时要注意“小于向左，大于向右”。
解一元一次不等式的一般步骤：
1 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为 1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
一元一次方程 一元一次不等式
解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数
（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个
不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式
子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变
解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；
④合并同类项；⑤未知数的系数
化为 1
①去分母；②去括号；③移项；④合并
同类项；⑤未知数的系数化为 1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除
以）是负数，不等号要改变方向
解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解
【典型例题】
1．（2018·广东中考模拟）不等式 2x－5≥－1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2019·太原市第五十三中学初二期中）用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ）
A．x≥-2 B．x≤-2 C．x＜-2 D．x＞-2
3．（2019·河北初一期末）已知
͵
，要使
是负数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
㐲
D．
㐲 【考查题型汇总】
考查题型二 求一元一次不等式的特解的方法
1．（2019·江苏中考真题）不等式 1 2x 的非负整数解有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．（2019·内蒙古中考模拟）不等式 3（x﹣1）≤5﹣x 的非负整数解有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．（2017·广东中考模拟）如图，直线 y x m 与 4 0y nx n n 的交点的横坐标为 2 ，则关于 x 的
不等式 4 0x m nx n 的整数解为（ ）.
A． 1 B． 5
C． 4 D． 3
4．（2019·内蒙古中考模拟）不等式 3 1 22
x 的最小整数解是______．
考查题型三 确定不等式中字母的取值范围的方法
1．（2019·黑龙江中考真题）已知 x=4 是不等式 ax-3a-1＜0 的解，x=2 不是不等式 ax-3a-1＜0 的解，则实数
a 的取值范围是____．
2．（2019·四川中考真题）关于 x 的不等式 2 1x a 只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为（ ）
A． 5 3a B． 5 3a C． 5 3a D． 5 3a
3．（2012·江苏中考模拟）已知关于 x 的不等式 x≥a-1 的解集如图所示,则 a 的值为__.
考查题型四 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法
1．（2019·河南中考模拟）若不等式组 1
3 0
x a
bx
的解集是﹣1＜x≤1，则 a＝_____，b＝_____．
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的
解集。
不等式组解集的确定方法：
【注意】
1、 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。
2、 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
1. 求出不等式组中各不等式的解集
2. 将各不等式的解决在数轴上表示出来。
3. 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
【考查题型汇总】
考查题型五 一元一次不等式组的解集的确定方法
1．（2018·湖南中考真题）不等式组 2 0
2 4 0
x
x
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019·山东中考模拟）一元一次不等式组
2 0
11 03
x
x
的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·江苏中考模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A． 2
3
x
x
B． 2
3
x
x
C． 2
3
x
x
D． 2
3
x
x
4．（2019·广东中考模拟）不等式组 2 1 3
3 1 2
x
x
＜
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．
D．
考查题型六 求一元一次不等式组的整数解的方法
1．（2019·台湾中考真题）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋
糕，花费的金额不超过 2500 元．若他将蛋糕分给 75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元
购买蛋糕？（ ）
A． 2150 B． 2250 C． 2300 D． 2450
2．（2019·四川中考真题）红星商店计划用不超过 4200 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100
元的商品共 50 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元，两种商品均售完．若所
获利润大于 750 元，则该店进货方案有( )
A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种
3．（2019·浙江中考模拟）如图，等腰三角形 ABC 的周长为 20cm，底边 BC 长为 y（cm），腰 AB 长为 x
（cm）.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）求 x 的取值范围；
（3）腰长 AB=3 时，底边的长．
考查题型七 求一元一次方程组中的待定字母的值
1．（2017·内蒙古中考模拟）若不等式组
㐲
㐲
的解集为﹣1＜x＜1，那么(a+1)(b﹣1)的值等于_____．
2．（2012·四川中考真题）如果关于 x 的不等式组：
x-a
≥
x-b
≤
，的整数解仅有 1，2，那么适合这个不等式组
的整数 a，b 组成的有序数对（a，b）共有___________个．
3．（2018·四川中考真题）若不等式组
㐲
㐲
的解集为 1 1x ，则
͵
________.
考查题型八 求一元一次方程组中的待定字母的取值范围
1．（2018·山东省寿光世纪学校中考模拟）若不等式组 8 4 1x x
x m
的解集是 x＞3，则 m 的取值范围是
（ ）.
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
2．（2019·四川中考真题）若关于 x 的代等式组
1 02 3
3 5 4 4( 1) 3
x x
x a x a
恰有三个整数解，则 a 的取值范
围是（ ）
A． 31 2a B． 31 2a C． 31
2
a D． 1a 或 3
2a
3.若关于 x 的一元一次不等式组 x 2m<0
x m>2
有解，则 m 的取值范围为( )
A． 2m> 3
B． 2m 3
C． 2m> 3 D． 2m 3
知识点四 列一元一次不等式（组）解应用题
列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”，
如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.
（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.
（4）解：解出所列不等式的解集.
（5）验：检验答案是否符合题意.
（6）答：写出答案.
在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难
点.以上过程可简单表述为: 分析 求解
抽象 检验问题 不等式 解答 .
【考查题型汇总】
考查题型九 利用一元一次不等式（组）解决实际问题的方法
1．（2019·湖北中考真题）某县有 A、B 两个大型蔬菜基地，共有蔬菜 700 吨.若将 A 基地的蔬菜全部运往甲
市所需费用与 B 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从 A、B 两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表:
（1）求 A、B 两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？
（2）现甲市需要蔬菜 260 吨，乙市需要蔬菜 440 吨.设从 A 基地运送 m 吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使
总运费最少？
2．（2019·辽宁中考模拟）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的 2.5
倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且用于购买甲、乙两种图书的
总经费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
考查题型十 方程组与不等式组相结合解决实际问题
1．（2018·山东中考模拟）今年 3 月 12 日植树节期间，学校预购进 A，B 两种树苗．若购进 A 种树苗 3 棵，
B 种树苗 5 棵，需 2100 元；若购进 A 种树苗 4 棵，B 种树苗 10 棵，需 3800 元．
(1)求购进 A，B 两种树苗的单价；
(2)若该学校准备用不多于 8000 元的钱购进这两种树苗共 30 棵，求 A 种树苗至少需购进多少棵．
2．（2019·湖南中考模拟）东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，
接着又用 900 元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的 1.5 倍，但每套进价多了 5 元．
（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；
（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套悠悠球的售价至少是多
少元？
考查题型十一 利用不等式计算获利问题
1．（2014·四川中考真题）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价 y1（元/台）
与采购数量 x1（台）满足 y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1 为整数）；冰箱的采购单价 y2（元/台）与采购数量
x2（台）满足 y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2 为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于 1200 元，问该商
家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，
问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
2．（2018·四川中考模拟）宜兴某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200
元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 400 元/台时，可售出 200 台，且售价每降低 10 元，
就可多售出 50 台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于
450 台的销售任务．
（1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围；
（2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？最大利润
是多少？
3．（2018·山东中考模拟）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分
类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且垃圾箱的单价是温馨提示
牌单价的 3 倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放 48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，且费用不超过 10000 元，
请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
考查题型十二 运用一元一次不等式组进行方案设计
1．（2018·河南中考模拟）某校计划购买篮球、排球共 20 个．购买 2 个篮球，3 个排球，共需花费 190 元；
购买 3 个篮球的费用与购买 5 个排球的费用相同．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）若购买篮球不少于 8 个，所需费用总额不超过 800 元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写
出其中最省钱的购买方案．
2．（2019·广西中考模拟）某文化商店计划同时购进 A、B 两种仪器，若购进 A 种仪器 2 台和 B 种仪器 3 台，
共需要资金 1700 元；若购进 A 种仪器 3 台，B 种仪器 1 台，共需要资金 1500 元．
（1）求 A、B 两种型号的仪器每台进价各是多少元？
（2）已知 A 种仪器的售价为 760 元/台，B 种仪器的售价为 540 元/台．该经销商决定在成本不超过 30000
元的前提下购进 A、B 两种仪器，若 B 种仪器是 A 种仪器的 3 倍还多 10 台，那么要使总利润不少于 21600
元，该经销商有哪几种进货方案？
3．（2019·贵州中考真题）某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有 A，
B 两种客车可供租用，A 型客车每辆载客量 45 人，B 型客车每辆载客量 30 人．若租用 4 辆 A 型客车和 3 辆
B 型客车共需费用 10700 元；若租用 3 辆 A 型客车和 4 辆 B 型客车共需费用 10300 元．
（1）求租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是多少元；
（2）为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？
