2012年高考真题汇编-理科数学（解析版）3：导数
2012 高考真题分类汇编：导数
一、选择题
1. 【 2012 高 考 真 题 重 庆 理 8 】 设 函 数 在 R 上 可 导 ， 其 导 函 数 为 ， 且 函 数
的 图 像 如 题 （ 8 ） 图 所 示 ， 则 下 列 结 论 中 一 定 成 立 的 是
（A）函数 有极大值 和极小值
（B）函数 有极大值 和极小值
（C）函数 有极大值 和极小值
（D）函数 有极大值 和极小值
【答案】D
【解析】由图象可知当 时， ，所以此时 ，函数递增.当
时， ，所以此时 ，函数递减.当 时，
，所以此时 ，函数递减.当 时， ，
所以此时 ，函数递增.所以函数 有极大值 ，极小值 ,选 D.
2.【2012 高考真题新课标理 12】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则
最小值为（ ）
【答案】B
( )f x , ( )f x
)(')1( xfxy −=
( )f x (2)f (1)f
( )f x ( 2)f − (1)f
( )f x (2)f ( 2)f −
( )f x ( 2)f − (2)f
2−
−= xfxy 0)(' >xf
12 <<− x 0)(')1( <−= xfxy 0)(' −= xfxy 0)(' x 0)(')1( <−= xfxy
0)(' >xf )(xf )2(−f )2(f
P 1
2
xy e= Q ln(2 )y x= PQ
( )A 1 ln 2− ( )B 2(1 ln 2)− ( )C 1 ln 2+ ( )D 2(1 ln 2)+
【解析】函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称
函数 上的点 到直线 的距离为
设函数
由图象关于 对称得： 最小值为 ,
3.【2012 高考真题陕西理 7】设函数 ，则（ ）
A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点
C. 为 的极大值点 D. 为 的极小值点[学
【答案】D.
【 解 析 】 ， 令 ， 则 ， 当 时
，当 时 ，所以 为 极小值点，故选 D.
4.【2012 高考真题辽宁理 12】若 ，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】设 ，则
所 以 所 以 当 时 ，
同理 即 ，故选 C
【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，
考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。
5.【2012 高考真题湖北理 3】已知二次函数 的图象如图所示，则它与 轴所围图形的( )y f x= x
1
2
xy e= ln(2 )y x= y x=
1
2
xy e= 1( , )2
xP x e y x=
1
2
2
xe x
d
−
=
min min
1 1 1 ln 2( ) ( ) 1 ( ) 1 ln 22 2 2
x xg x e x g x e g x d
−′= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =
y x= PQ min2 2(1 ln 2)d = −
( ) xf x xe=
1x = ( )f x 1x = ( )f x
1x = − ( )f x 1x = − ( )f x
xxx xeexfxexf +=∴= )(',)( 0)(' =xf 1−=x 1−x 0)(' >xf 1−=x )(xf
[0, )x∈ +∞
21xe x x+ +
21 1 11 2 41
x x
x
< − +
+
21cos 1 2x x−
21ln(1 ) 8x x x+ −
2 21 1( ) cos (1 ) cos 12 2f x x x x x= − − = − + ( ) ( ) sin ,g x f x x x′= = − +
( ) cos 1 0g x x′ = − + ≥ ， [0, )x∈ +∞
( ) ( ) ( ) (0) 0,g x g x f x g′= =为增函数，所以 ≥
21( ) (0) 0 cos (1 ) 02f x f x x= ∴ − −≥ ， ≥ ， 21cos 1 2x x−
面积为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为
.
6.【2012 高考真题全国卷理 10】已知函数 y＝x²-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c＝
（A）-2 或 2 （B）-9 或 3 （C）-1 或 1 （D）-3 或 1
【答案】A
【解析】若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有
一个为 0，函数的导数为 ，令 ，解得 ，可知当极大值为
， 极 小 值 为 . 由 ， 解 得 ， 由
，解得 ，所以 或 ，选 A.
二、填空题
7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的
距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，
则实数a=_______。
【答案】
【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为 ，
曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为 ，令 得 ，所以C1：y=x2+a上的点为
，点 到到直线l:y=x的距离应为 ，所以 ，解得
2π
5
4
3
3
2
π
2
2( ) 1y f x x= = − +
1 2 3 1
11
1 4( 1) ( )3 3S x dx x x −−
= − + = − + =∫
cxxy +−= 33 x
33' 2 −= xy 033' 2 =−= xy 1±=x
cf +=− 2)1( 2)1( −= cf 02)1( =+=− cf 2−=c
02)1( =−= cf 2=c 2−=c 2=c
4
9
22222
11
|40|
22
=−=−
+
−=d
xy 2= 12 =x 2
1=x
)4
1,2
1( a+ )4
1,2
1( a+ 2 2
11
|4
1
2
1|
22
=
+
−− a
或 （舍去）。
8.【2012 高考真题江西理 11】计算定积分 ___________。
【答案】
【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。
【解析】 。
9.【2012 高考真题山东理 15】设 .若曲线 与直线 所围成封闭图形的
面积为 ，则 ______.
【答案】
【解析】由已知得 ，所以 ，所以 。
10.【2012 高考真题广东理 12】曲线 y=x3-x+3 在点（1，3）处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】 ，当 时， ，此时 ，故切线方程为 ，即
。
11.【2012 高考真题上海理 13】已知函数 的图象是折线段 ，其中 、
、 ，函数 （ ）的图象与 轴围成的图形的面积为 。
【答案】
【 解 析 】 当 ， 线 段 的 方 程 为 ， 当 时 。 线 段 方 程 为
，整理得 ，即函数 ，所以
， 函 数 与 轴 围 成 的 图 形 面 积 为
4
9=a 4
7−=a
=+∫− dxxx1
1
2 )sin(
3
2
3
2)cos3
1()sin( 1
1
31
1
2 =−=+ −−∫ xxdxxx
0a > y x= , 0x a y= =
2a a =
9
4=a
22
3
0
2
3
0 3
2|3
2 aaxxS aa ==== ∫ 3
22
1
=a 9
4=a
012 =+− yx
13 2 −=′ xy 1=x 2=′y 2=k )1(23 −=− xy
012 =+− yx
)(xfy = ABC )0,0(A
)5,2
1(B )0,1(C )(xxfy = 10 ≤≤ x x
4
5
2
10 ≤≤ x AB xy 10= 12
1 ≤< x BC
12
1
1
05
0
−
−=−
− xy 1010 +−= xy
≤<+−
≤≤
==
12
1,1010
2
10,10
)(
xx
xx
xfy
≤<+−
≤≤
==
12
1,1010
2
10,10
)(
2
2
xxx
xx
xxfy x
。
12. 【 2012 高 考 真 题 陕 西 理 14 】 设 函 数 ， 是 由 轴 和 曲 线
及该曲线在点 处的切线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值
为 .
【答案】2．
【解析】函数 在点 处的切线为 ，即 .所以 D 表示的
平面区域如图当目标函数直线经过点 M 时 有最大值，最大值为 .
三、解答题
13.【2012 高考真题广东理 21】（本小题满分 14 分）
设 a＜1，集合 ， ， 。
（1）求集合 D（用区间表示）；
（2）求函数 在 D 内的极值点．
【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的
能力，难度较大.
dxxxdxx )1010(10 21
2
12
1
0
2 +−=+ ∫∫ 1
2
1
232
1
0
3 )53
10(3
10 xxx +−+=
4
5=
ln , 0( ) 2 1, 0
x xf x x x
>= − − ≤ D x
( )y f x= (1,0) 2z x y= − D
)(xfy = )0,1( )1)(1('0 −=− xfy 1−= xy
z 2)1(20 =−×−=z
}0|{ >∈= xRxA }6)1(32|{ 2 axaxRxB ++−∈= BAD =
axxaxxf 6)1(32)( 23 ++−=
14.【2012 高考真题安徽理 19】（本小题满分 13 分）
设 。
（I）求 在 上的最小值；
（II）设曲线 在点 的切线方程为 ；求 的值。
【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分
类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。
【解析】（I）设 ；则 ，
①当 时， 在 上是增函数，
得：当 时， 的最小值为 。
1( ) ( 0)x
xf x ae b aae
= + + >
( )f x [0, )+∞
( )y f x= (2, (2))f 3
2y x= ,a b
( 1)xt e t= ≥
2 2
2 2
1 1 1a ty at b y aat at at
−′= + + ⇒ = − =
1a ≥ 0y′ > ⇒ 1y at bat
= + + 1t ≥
1( 0)t x= = ( )f x 1a ba
+ +
②当 时， ，
当且仅当 时， 的最小值为 。
（II） ，
由题意得： 。
15.【2012 高考真题福建理 20】（本小题满分 14 分）已知函数 f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R.
（Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于 x 轴，求函数 f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定 a 的取值范围，使得曲线 y=f（x）上存在唯一的点 P，曲线在该点处的切线与
曲线只有一个公共点 P.
【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知
识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思
想、化归与转化思想.
16.【2012 高考真题全国卷理 20】（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）
设函数 f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].
（Ⅰ）讨论 f（x）的单调性；
（Ⅱ）设 f（x）≤1+sinx，求 a 的取值范围.
【答案】
0 1a< < 1 2y at b bat
= + + ≥ +
11( , ln )xat t e x aa
= = = = − ( )f x 2b +
1 1( ) ( )x x
x xf x ae b f x aeae ae
′= + + ⇒ = −
2
2 2
2
2
1 2(2) 3 3
3 1 3 1(2) 2 2 2
f ae b aae e
f ae bae
= + + = = ⇔ ⇔ ′ = − = =
17.【2012 高考真题北京理 18】（本小题共 13 分）
【答案】解：（1）由 为公共切点可得：
，则 ， ，
，则 ， ，
①
又 ， ，
，即 ，代入①式可得： ．
（2） ， 设
则 ，令 ，解得： ， ；
， ，
原函数在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增
①若 ，即 时，最大值为 ；
( )1 c，
2( ) 1( 0)f x ax a= + > ( ) 2f x ax′ = 1 2k a=
3( )g x x bx= + 2( )=3f x x b′ + 2 3k b= +
∴ 2 3a b= +
(1) 1f a= + (1) 1g b= +
∴ 1 1a b+ = + a b= 3
3
a
b
=
=
2 4a b= ∴ 3 2 21( ) ( ) ( ) 14h x f x g x x ax a x= + = + + +
2 21( ) 3 2 4h x x ax a′ = + + ( ) 0h x′ = 1 2
ax = − 2 6
ax = −
0a > ∴
2 6
a a− < −
∴
2
a −∞ − ，
2 6
a a − − ，
6
a − + ∞ ，
1 2
a− −≤ 2a≤
2
(1) 4
ah a= −
②若 ，即 时，最大值为
③若 时，即 时，最大值为 ．
综上所述：
当 时，最大值为 ；当 时，最大值为 ．
18.【2012 高考真题新课标理 21】（本小题满分 12 分）
已知函数 满足满足 ；
（1）求 的解析式及单调区间；
（2）若 ，求 的最大值.
【答案】（1）
令 得：
得：
在 上单调递增
得： 的解析式为
且单调递增区间为 ，单调递减区间为
（2） 得
①当 时， 在 上单调递增
时， 与 矛盾
②当 时，
得：当 时，
12 6
a a− < − < − 2 6a< < 12
ah − =
1 6
a− −≥ 6a≥ 12
ah − =
( ]0 2a∈ ，
2
(1) 4
ah a= − ( )2 ,a∈ + ∞ 12
ah − =
( )f x 1 21( ) (1) (0) 2
xf x f e f x x−′= − +
( )f x
21( ) 2f x x ax b≥ + + ( 1)a b+
1 2 11( ) (1) (0) ( ) (1) (0)2
x xf x f e f x x f x f e f x− −′ ′ ′= − + ⇒ = − +
1x = (0) 1f =
1 2 11( ) (1) (0) (1) 1 (1)2
xf x f e x x f f e f e− −′ ′ ′= − + ⇒ = = ⇔ =
21( ) ( ) ( ) 12
x xf x e x x g x f x e x′= − + ⇒ = = − +
( ) 1 0 ( )xg x e y g x′ = + > ⇒ = x R∈
( ) 0 (0) 0, ( ) 0 (0) 0f x f x f x f x′ ′ ′ ′> = ⇔ > < = ⇔ <
( )f x 21( ) 2
xf x e x x= − +
(0, )+∞ ( ,0)−∞
21( ) ( ) ( 1) 02
xf x x ax b h x e a x b≥ + + ⇔ = − + − ≥ ( ) ( 1)xh x e a′ = − +
1 0a + ≤ ( ) 0 ( )h x y h x′ > ⇒ = x R∈
x → −∞ ( )h x → −∞ ( ) 0h x ≥
1 0a + > ( ) 0 ln( 1), ( ) 0 ln( 1)h x x a h x x a′ ′> ⇔ > + < ⇔ < +
ln( 1)x a= + min( ) ( 1) ( 1)ln( 1) 0h x a a a b= + − + + − ≥
2 2( 1) ( 1) ( 1) ln( 1)( 1 0)a b a a a a+ ≤ + − + + + >
令 ；则
当 时，
当 时， 的最大值为
19.【2012 高考真题天津理 20】本小题满分 14 分）
已知函数 的最小值为 0，其中
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若对任意的 有 ≤ 成立，求实数 的最小值；
（Ⅲ）证明 （ ）.
【答案】
)ln()( axxxf +−= .0>a
a
),,0[ +∞∈x )(xf 2kx k
∑
=
<+−−
n
i
ni1
2)12ln(12
2 *Nn ∈
2 2( ) ln ( 0)F x x x x x= − > ( ) (1 2ln )F x x x′ = −
( ) 0 0 , ( ) 0F x x e F x x e′ ′> ⇔ < < < ⇔ >
x e= max( ) 2
eF x =
1,a e b e= − = ( 1)a b+
2
e
20.【2012 高考江苏 18】（16 分）若函数 在 处取得极大值或极小值，则称
为函数 的极值点。
已知 是实数，1 和 是函数 的两个极值点．
（1）求 和 的值；
（2）设函数 的导函数 ，求 的极值点；
（3）设 ，其中 ，求函数 的零点个数．
【答案】解：（1）由 ，得 。
∵1 和 是函数 的两个极值点，
∴ ， ，解得 。
)(xfy = 0xx = 0x
)(xfy =
a b， 1− 3 2( )f x x ax bx= + +
a b
( )g x ( ) ( ) 2g x f x′ = + ( )g x
( ) ( ( ))h x f f x c= − [ 2 2]c∈ − ， ( )y h x=
3 2( )f x x ax bx= + + 2( ) 3 2f' x x ax b= + +
1− 3 2( )f x x ax bx= + +
(1) 3 2 =0f' a b= + + ( 1) 3 2 =0f' a b− = − + = = 3a b −0，
（2）∵ 由（1）得， ，
∴ ，解得 。
∵当 时， ；当 时， ，
∴ 是 的极值点。
∵当 或 时， ，∴ 不是 的极值点。
∴ 的极值点是－2。
（3）令 ，则 。
先讨论关于 的方程 根的情况：
当 时，由（2）可知， 的两个不同的根为 I和一 2，注意到
是奇函数，∴ 的两个不同的根为一和 2。
当 时 ， ∵ ，
，
∴一 2 , －1，1 ，2 都不是 的根。
由（1）知 。
① 当 时 ， ， 于 是 是 单 调 增 函 数 ， 从 而
。
此时 在 无实根。
② 当 时． ，于是 是单调增函数。
又∵ ， ， 的图象不间断，
∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理， 在（一 2 ，一 I ）内有唯一实根。
③ 当 时， ，于是 是单调减两数。
3( ) 3f x x x= −
( ) ( )23( ) ( ) 2= 3 2= 1 2g x f x x x x x′ = + − + − + 1 2 3= =1 = 2x x x −，
2x < − ( ) 0g x <′ 2 1< x <− ( ) 0g x >′
= 2x − ( )g x
2 1< x <− 1x > ( ) 0g x >′ =1x ( )g x
( )g x
( )=f x t ( ) ( )h x f t c= −
x ( )=f x d [ ]2, 2d ∈ −
=2d ( )= 2f x − ( )f x
( )=2f x
2d < ( 1) = (2) =2 0f d f d d >− − − −
(1) = ( 2) = 2 0f d f d d <− − − − −
( )=f x d
( )( )( )=3 1 1f' x x x+ −
( )2x∈ + ∞， ( ) 0f' x > ( )f x
( ) (2)=2f x > f
( )=f x d ( )2 + ∞，
( )1 2x∈ ， ( ) 0f' x > ( )f x
(1) 0f d <− (2) 0f d >− = ( )y f x d−
( )=f x d
( )=f x d
( )1 1x∈ − ， ( ) 0f' x < ( )f x
又∵ ， ， 的图象不间断，
∴ 在（一 1，1 ）内有唯一实根。
因此，当 时， 有两个不同的根 满足 ；当
时
有三个不同的根 ，满足 。
现考虑函数 的零点：
( i ）当 时， 有两个根 ，满足 。
而 有三个不同的根， 有两个不同的根，故 有 5 个零
点。
( 11 ） 当 时 ， 有 三 个 不 同 的 根 ， 满 足
。
而 有三个不同的根，故 有 9 个零点。
综上所述，当 时，函数 有 5 个零点；当 时，函数
有 9 个零点。
【考点】函数的概念和性质，导数的应用。
【解析】（1）求出 的导数，根据 1 和 是函数 的两个极值点代入列方程
组求解即可。
（2）由（1）得， ，求出 ，令 ，求解讨论即可。
（3）比较复杂，先分 和 讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函
数 的零点。
21.【2012 高考真题辽宁理 21】本小题满分 12 分)
设 ，曲线 与
直线 在(0，0)点相切。
( 1) 0f d >− − (1) 0f d <− = ( )y f x d−
( )=f x d
=2d ( )=f x d 1 2x x， 1 2=1 =2x x，
2d <
( )=f x d 3 1 5x x x， ， 2 =3, 4, 5ix < i，
( )y h x=
=2c ( )=f t c 1 2t t， 1 2= =2t t1，
1( )=f x t 2( )=f x t ( )y h x=
2c < ( )=f t c 3 4 5t t t， ，
2 =3, 4, 5it < i，
( ) =3,( ) 4, = 5if x t i ( )y h x=
=2c ( )y h x= 2c < ( )y h x=
)(xfy = 1− )(xfy =
3( ) 3f x x x= − ( )g x′ ( )=0g x′
=2d 2d < x ( )=f x d
( )y h x=
( ) ln( 1) 1 ( , , , )f x x x ax b a b R a b= + + + + + ∈ 为常数 ( )y f x=
3
2y x=
(Ⅰ)求 的值。
(Ⅱ)证明：当 时， 。
【答案】
,a b
0 2x< < 9( ) 6
xf x x
< +
【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本
题容易忽略函数 的定义域，根据条件曲线 与直线 在(0，0)点相切，求
出 的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明 即可。从近几年的高
考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。本题属于中档题。
22.【2012 高考真题重庆理 16】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分.）
)(xf ( )y f x= 3
2y x=
,a b 9( ) 6
xf x x
< +
设 其中 ，曲线 在点 处的切线垂直
于 轴.
（Ⅰ） 求 的值；
（Ⅱ）求函数 的极值.
【答案】
23. 【 2012 高 考 真 题 浙 江 理 22 】 ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 a ＞ 0 ， b R ， 函 数
．
(Ⅰ)证明：当 0≤x≤1 时，
(ⅰ)函数 的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤ ≤1 对 x [0，1]恒成立，求 a＋b 的取值范围．
【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知
识点综合运用能力，同时考查抽象概括、推理论证能力。
【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性，
(Ⅰ)(ⅰ) ．
当 b≤0 时， ＞0 在 0≤x≤1 上恒成立，
此时 的最大值为： ＝|2a－b|﹢a；
当 b＞0 时， 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断，
此时 的最大值为：
1 3( ) ln 1,2 2f x a x xx
= + + + a R∈ ( )y f x= (1, (1))f
y
a
( )f x
∈
( ) 34 2f x ax bx a b= − − +
( )f x
( )f x
( )f x ∈
( ) 212 2f x ax b′ = −
( ) 212 2f x ax b′ = −
( )f x ( )1 4 2 3f a b a b a b= − − + = −
( ) 212 2f x ax b′ = −
( )f x
＝|2a－b|﹢a；
综上所述：函数 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要证 ＋|2a－b|﹢a≥0，即证 ＝﹣ ≤|2a－b|﹢a．
亦即证 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，
∵ ，
∴令 ．
当 b≤0 时， ＜0 在 0≤x≤1 上恒成立，
此时 的最大值为： ＝|2a－b|﹢a；
当 b＜0 时， 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断，
≤|2a－b|﹢a；
综上所述：函数 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即 ＋|2a－b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a－b|﹢a，
且函数 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．
∵﹣1≤ ≤1 对 x [0，1]恒成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取 b 为纵轴，a 为横轴．
则可行域为： 和 ，目标函数为 z＝a＋b．
作图如下：
由图易得：当目标函数为 z＝a＋b 过 P(1，2)时，有 ．
( )max
2max{ (0) 1 } max{( ) 3 } 3 2
b a b af x f f b a a b a b b a
− >= = − − = − <
，，（） ，( ) ，
( )f x
( )f x ( )g x ( )f x
( )g x
( ) 34 2g x ax bx a b= − + + −
( ) 212 2 0 6
bg x ax b x a
′ = − + = ⇒ =
( ) 212 2g x ax b′ = − +
( )g x ( )0 3g a b a b= − < −
( ) 212 2g x ax b′ = − +
( )max max{ ( ) 1 }6
bg x g ga
= ，（）
4max{ 2 }3 6
4 6
3 6 62
bb a b b aa
b b ab a ba b ab a
= + − −
≤+ −= > −
，
，
，
( )g x
( )f x
( )f x
( )f x
( )f x ∈
2
1
b a
b a
≥
− ≤
2
3 1
b a
a b
<
− ≤
max 3z =
∴所求 a＋b 的取值范围为： ．
24.【2012 高考真题山东理 22】(本小题满分 13 分)
已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数），曲线 在
点 处的切线与 轴平行.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（ Ⅲ ） 设 , 其 中 为 的 导 函 数 . 证 明 ： 对 任 意
.
【答案】解析：由 f(x) = 可得 ，而 ，即 ，
解得 ；
（Ⅱ） ，令 可得 ，
当 时， ；当 时， 。
于是 在区间 内为增函数；在 内为减函数。
简证（Ⅲ） ，
xe
kx +ln =′ )(xf xe
xkx ln1 −−
0)1( =′f 01 =−
e
k
1=k
=′ )(xf xe
xx ln11 −−
0)( =′ xf 1=x
10 << x 0ln11)( >−−=′ xxxf 1>x 0ln11)( <−−=′ xxxf
)(xf )1,0( ),1( +∞
xx e
xxxx
e
xxxxxg ln)(1ln11
)()(
22
2 +−−=
−−
+=
( ]3−∞，
ln( ) x
x kf x e
+= k 2.71828e = ⋅⋅⋅ ( )y f x=
(1, (1))f x
k
( )f x
2( ) ( ) '( )g x x x f x= + '( )f x ( )f x
20, ( ) 1x g x e−> < +
当 时， ， .
当 时，要证 。
只需证 ，然后构造函数即可证明。
25.【2012 高考真题湖南理 22】（本小题满分 13 分）
已知函数 = ，其中 a≠0.
（1） 若对一切 x∈R， ≥1 恒成立，求 a 的取值集合.
（2）在函数 的图像上取定两点 ， ，记直线AB的斜率
为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使 成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，
请说明理由.
【答案】（Ⅰ）若 ，则对一切 ， ，这与题设矛盾，又 ，
故 .
而 令
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，故
当 时， 取最小值
于是对一切 恒成立，当且仅当
. ①
令 则
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
故当 时， 取最大值 .因此，当且仅当 即 时，①式成立.
综上所述， 的取值集合为 .
（Ⅱ）由题意知，
1≥x 0,0,0ln,01 22 >>+≥≤− xexxxx 210)( −+<≤ exg
10 << x 2
22
2 1ln)(1ln11
)()( −+<+−−=
−−
+= ee
xxxx
e
xxxxxg xx
2 2 21 ( )ln (1 )xx x x x e e−− − + < +
( )f x axe x= −
( )f x
( )f x 1 1( , ( ))A x f x 2 2( , ( ))B x f x 1 2( )x x<
0( )f x k′ > 0x
0a < 0x > ( )f x 1axe x= − < 0a ≠
0a >
( ) 1,axf x ae′ = − 1 1( ) 0, ln .f x x a a
′ = =得
1 1lnx a a
< ( ) 0, ( )f x f x′ < 1 1lnx a a
> ( ) 0, ( )f x f x′ >
1 1lnx a a
= ( )f x 1 1 1 1 1( ln ) ln .f a a a a a
= −
, ( ) 1x R f x∈ ≥
1 1 1ln 1a a a
− ≥
( ) ln ,g t t t t= − ( ) ln .g t t′ = −
0 1t< < ( ) 0, ( )g t g t′ > 1t > ( ) 0, ( )g t g t′ <
1t = ( )g t (1) 1g = 1 1a
= 1a =
a { }1
2 1
2 1
2 1 2 1
( ) ( ) 1.
ax axf x f x e ek x x x x
− −= = −− −
令 则
令 ，则 .
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
故当 ， 即
从而 ， 又
所以
因为函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 使
单调递增，故这样的 是唯一的，且 .
故当且仅当 时， .
综上所述，存在 使 成立.且 的取值范围为
.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，
考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法
求出 取最小值 对一切 x∈R，f(x) 1 恒成立转化为 ，
从而得出 a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函
数的单调性及最值来进行分析判断.
2 1
2 1
( ) ( ) ,
ax ax
ax e ex f x k ae x x
ϕ −′= − = − −
1
2 1( )
1 2 1
2 1
( ) ( ) 1 ,
ax
a x xex e a x xx x
ϕ − = − − − − −
2
1 2( )
2 1 2
2 1
( ) ( ) 1 .
ax
a x xex e a x xx x
ϕ − = − − − −
( ) 1tF t e t= − − ( ) 1tF t e′ = −
0t < ( ) 0, ( )F t F t′ < 0t > ( ) 0, ( )F t F t′ >
0t = ( ) (0) 0,F t F> = 1 0.te t− − >
2 1( )
2 1( ) 1 0a x xe a x x− − − − > 1 2( )
1 2( ) 1 0,a x xe a x x− − − − > 1
2 1
0,
axe
x x
>−
2
2 1
0,
axe
x x
>−
1( ) 0,xϕ < 2( ) 0.xϕ >
( )y xϕ= [ ]1 2,x x 0 1 2( , )x x x∈
0( ) 0,xϕ = 2( ) 0, ( )axx a e xϕ ϕ′ = > c
2 1
2 1
1 ln ( )
ax axe ec a a x x
−= −
2 1
2
2 1
1( ln , )( )
ax axe ex xa a x x
−∈ − 0( )f x k′ >
0 1 2( , )x x x∈ 0( )f x k′ > 0x
2 1
2
2 1
1( ln , )( )
ax axe e xa a x x
−
−
( )f x 1 1 1 1 1( ln ) ln .f a a a a a
= − ≥ min( ) 1f x ≥
