中考复习专题——圆切线证明

中考复习专题——圆切线证明

‎ 中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质 ‎ ‎ ‎ ‎ 知识考点：‎ ‎1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。‎ ‎2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。‎ 精典例题：‎ 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.‎ 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.‎ 求证：EF与⊙O相切.‎ ‎ ‎ 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.‎ 求证：PA与⊙O相切.‎ 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.‎ 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.‎ 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.‎ 求证：PC是⊙O的切线.‎ 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.‎ 求证：CE与△CFG的外接圆相切.‎ 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”‎ 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.‎ 求证：AC与⊙D相切.‎ 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.‎ 求证：CD是⊙O的切线.‎ ‎ ‎ ‎[习题练习]‎ 例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．‎ 例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，求证：△‎ DEC为等腰三角形．‎ 例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD．‎ 例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF和AD交于E，‎ 求证：AE=BE．‎ 例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．‎ ‎ （1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．‎ 例6如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．‎ ‎ （1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．‎ 例7如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．‎ ‎ （1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？‎ ‎ （2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？‎ ‎19.如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结‎0G．(1)判断‎0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF；（3）若，求⊙O的面积。‎ ‎12、如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG＝∠AGD。‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）如果AB＝2，AD＝4，EG＝2，求⊙O的半径。‎ ‎ ‎ ‎13、如图，在△ABC中，∠ABC＝900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1，求。‎ ‎1如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。‎ ‎(1)求证：直线EF是⊙O的切线；‎ ‎(2)求CF:CE的值。‎ A B D C E F G O ‎(第22题图)‎ ‎2如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．⑴求证：DE是⊙O的切线；⑵若，求的值。‎ F E D C B A O ‎3如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．‎ C E B A O F D ‎（1）求证：直线是的切线；‎ ‎（2）连接交于点，若，求的值．‎ ‎4．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．‎ ‎ (1) 求证：直线PB与⊙O相切；‎ ‎ (2) PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．‎ 已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．‎ D C O A B E ‎（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ 如图18，四边形内接于，是的直径，，垂足为，平分．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ D E C B O A 图18‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎（第24题）‎ B D C E A O 如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点，点是边的中点，连结．‎ ‎（1）求证：与相切；‎ ‎（2）若的半径为，，求．‎ ‎24、‎ 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.‎ ‎（1）证明CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.‎ ‎【例1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）EM＝FM。‎ 证明：‎ ‎ 【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。‎ ‎【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，OA＝。‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）若AD＋OC＝，求CD的长。‎ 探索与创新：‎ ‎【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8。‎ ‎（1）求∠G的余弦值；‎ ‎（2）求AE的长。‎ ‎【问题二】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝（定值），⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。‎ ‎（1）求∠POQ；‎ ‎（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由。‎ 圆的切线证明及线段长求解在在中考中的常见题型 ‎1、已知：如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的⊙与，分别交于点E、点F，且∠=∠．‎ ‎（1）判断直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若，，求⊙的半径．‎ ‎2、已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．‎ ‎ （1）求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎ （2）若BC＝5，AB＝8，求OF的长．‎ A B F C D E O 第3题图 ‎3、如图，是等腰三角形，，以为 直径的⊙与交于点，，垂足为，‎ 的延长线与的延长线交于点．‎ ‎（1）求证：是⊙的切线；‎ ‎（2）若⊙的半径为，，求的值．‎ ‎4、已知：如图，是的直径，切于，交于，为边的中点，连结．‎ ‎(1) 是的切线；‎ ‎(2) 若， 的半径为5， 求的长. ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ O B G E C M A F ‎5、如图，在中，，是角平分线，‎ 平分交于点，经过两点的交于 点，交于点，恰为的直径．‎ ‎（1）求证：与相切；‎ ‎（2）当时，求的半径．‎ ‎6、如图，AB是的直径，，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且 ‎（1）证明CF是的切线 ‎(2) 设⊙O的半径为1．且AC=CE,求MO的长.‎ ‎7、如图，已知AB为⊙O的直径,DC切⊙O于点C,过D点作 DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F. 求证：△DFC是等腰三角形. ‎ ‎8、在Rt中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联结AC，将△AFC 沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.‎ ‎（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.‎ ‎（2）若OB=BD=2,求CE的长．‎ ‎9、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，‎ ‎（9题图） ‎ 联结EB交OD于点F．‎ ‎（1）求证：OD⊥BE；‎ ‎（2）若DE=，AB=5，求AE的长．‎ ‎10、如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．‎ ‎（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；‎ （2） 当AB=10，BC=8时，求BD的长．‎ ‎11、已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．‎ ‎（1）求证：AD＝DC；‎ ‎（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，‎ 求⊙O的半径．‎ ‎12、如图，为⊙的直径，平分交⊙于点，‎ 的延长线于点，交的延长 线于点，‎ ‎（1）求证：是⊙的切线；‎ ‎（2）若⊙的半径为5，求的长．‎ ‎13、如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：直线EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求sin∠E的值．‎ ‎14、如图，为半圆的直径，点C在半圆上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且.‎ ‎（1）求证：是半圆O的切线；‎ ‎（2）若，，求的长.‎ ‎15、已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点, 交BD于点G，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：AC与⊙O相切；‎ ‎（2）当BD=2，sinC=时，求⊙O的半径．‎ ‎16、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，M是 的中点，OM交⊙O的 切线BP于点P．‎ ‎（1）判断直线PC和⊙O的位置关系，‎ 并证明你的结论．‎ ‎（2）若sin∠BAC＝0.8，⊙O的半径为2，‎ ‎ 求线段PC的长．‎ ‎17、如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°．‎ ‎（1）判断直线CD是否为⊙O的切线，并说明理由；‎ O B C D E A ‎ ‎ ‎（2）若CD = ，求BC的长．‎ ‎18、已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，‎ AD平分CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若cm，cm，求⊙O的半径.‎ ‎19、已知：如图，为⊙的直径，弦,切⊙于,联结．‎ ‎（1）判断是否为⊙的切线，若是请证明；若不是请说明理由．‎ ‎（2）若,,求⊙的半径．‎ ‎20、如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求DE的长．‎ ‎21、已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC 于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交 AB的延长线于点D.‎ ‎（1）求证：FD是⊙O的切线；‎ ‎（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O 半径的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当OE＝3时，求图中阴影 部分的面积.‎ ‎22、已知：如图，点是⊙上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，，．‎ ‎ （1）求证：是⊙的切线；‎ ‎ （2）若，，求弦的长．‎ ‎23、如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交 于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝，求EF的长．‎ ‎24、如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B. ‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.‎ ‎25、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．‎ ‎（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．‎ ‎26、已知：如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结PC，交AD于点E．‎ ‎（1）求证：AD是圆O的切线；‎ A B C D P E ‎．‎ O ‎（第26题）‎ ‎（2）若PC是圆O的切线，BC = 8，求DE的长．‎ ‎27、已知：如图，在△ABC中，，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．‎ ‎（1）求证:AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9， CA=12. ‎ 求的值.‎ ‎（第28题）‎ ‎28、在Rt△ABC中，∠C=90， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D， ‎ DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F ‎（1）求证:AC是⊙O的切线;‎ ‎ （2）联结EF，求的值 ‎14、如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。‎ ‎（1）求证：CD是半圆的切线；‎ ‎（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为，点A到直线CD的距离为，试求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎15、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动， PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC＝2.5。‎ ‎（1）当CE正好是⊙O的半径时，PT＝2，求⊙O的半径；‎ ‎（2）设，，求出与之间的函数关系式；‎ ‎（3）△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由。‎ ‎11‎ ‎20. 已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．‎ ‎（1）求证：AD＝DC；‎ ‎（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，‎ 求⊙O的半径．‎ ‎20．在Rt中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联结AC，将△AFC 沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.‎ ‎（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.‎ ‎（2）若OB=BD=2,求CE的长．‎ ‎）‎ ‎20．如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．‎ ‎（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；‎ ‎（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．‎ ‎（20题图） ‎ ‎20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，‎ 联结EB交OD于点F．‎ ‎（1）求证：OD⊥BE；‎ ‎（2）若DE=，AB=5，求AE的长．‎ ‎20. 如图，AB是的直径，，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且 ‎（1）证明CF是的切线 ‎(2) 设⊙O的半径为1．且AC=CE,求MO的长. ‎ ‎20. 已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．‎ ‎（1）求证：AD＝DC；‎ ‎（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，‎ 求⊙O的半径．‎ ‎20．在Rt中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，联结AC，将△AFC 沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.‎ ‎（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.‎ ‎（2）若OB=BD=2,求CE的长．‎ ‎20．如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．‎ ‎（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；‎ ‎（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．‎ ‎（20题图） ‎ ‎20．（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，‎ 联结EB交OD于点F．‎ ‎（1）求证：OD⊥BE；‎ ‎（2）若DE=，AB=5，求AE的长．‎ ‎20. 如图，AB是的直径，，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且 ‎（1）证明CF是的切线 ‎(2) 设⊙O的半径为1．且AC=CE,求MO的长. ‎ ‎1.如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F。‎ ‎ （1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎ （2）若DE=3，⊙O的半径为5，‎ 求BF的长。‎ ‎2．如图，已知△ABC内接于⊙O,AC是直径，‎ D是弧AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交 CB、CA的延长线于E、F．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线.‎ ‎（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径.‎ ‎3．已知是⊙O的直径，是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙0交于点C.（Ⅰ）如图①，若AB=2，，求的长（结果保留根号）；‎ ‎（Ⅱ）如图②，若D为AP的中点，求证直线CD是⊙O的切线.‎ A B C O P 图①‎ A B C O P D 图②‎ ‎ ‎ ‎4．如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°.‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）分别求AB，OE的长；‎ O B A C E M D ‎1．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE的中点，OM交AC 于点D，∠BOE=60°，，．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（3）求MD的长度．‎ ‎2．如图， Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎3．如图，⊙O的直径AB=12，弧BC的长为2，D在OC的延长线上，且CD=OC.‎ ‎（1）求∠A的度数；‎ ‎（2）求证：DB是⊙O的切线.‎ ‎4. ‎ 如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连结BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连结DF．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=，求EF的长．‎ ‎1.如图，AB为⊙O的直径，劣弧，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D。‎ 求证：（1）BD是⊙O的切线 ‎