北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 含解析

北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年度高二上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题）‎ 1. 抛物线x2=4y的焦点坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. ‎“a=‎2”‎是“直线2x+ay-1=0与直线ax+3y-2=0垂直”（　　）‎ A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( ) ‎ A. 11 B. ‎9 ‎C. 5 D. 3‎ 4. 直线l：x+y+3=0被圆C：（θ为参数）截得的弦长为（　　）‎ A. B. C. D. 8‎ 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（　　）‎ A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 7. 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（　　）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 32‎ 8. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(    )‎ A. B. C. 3 D. 2‎ 二、填空题（本大题共6小题）‎ 9. 已知直线的参数方程为（t为参数），则其倾斜角为______．‎ 10. 若圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2+6x+8y+m=0相切，则实数m=______．‎ 11. 若方程表示的是焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是______．‎ 12. 直线l与双曲线x2-4y2=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是______．‎ 13. 已知圆，圆C2与圆C1关于直线y=x+1对称，则圆C2的标准方程是______．‎ 14. 已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题： ①点P的轨迹关于y轴对称； ②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个； ③|OP 北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年度高二上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题）‎ 1. 抛物线x2=4y的焦点坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. ‎“a=‎2”‎是“直线2x+ay-1=0与直线ax+3y-2=0垂直”（　　）‎ A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( ) ‎ A. 11 B. ‎9 ‎C. 5 D. 3‎ 4. 直线l：x+y+3=0被圆C：（θ为参数）截得的弦长为（　　）‎ A. B. C. D. 8‎ 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（　　）‎ A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 7. 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（　　）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 32‎ 8. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(    )‎ A. B. C. 3 D. 2‎ 二、填空题（本大题共6小题）‎ 9. 已知直线的参数方程为（t为参数），则其倾斜角为______．‎ 10. 若圆O：x2+y2=1与圆C：x2+y2+6x+8y+m=0相切，则实数m=______．‎ 11. 若方程表示的是焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是______．‎ 12. 直线l与双曲线x2-4y2=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是______．‎ 13. 已知圆，圆C2与圆C1关于直线y=x+1对称，则圆C2的标准方程是______．‎ 14. 已知椭圆G：的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|．当b变化时，给出下列三个命题： ①点P的轨迹关于y轴对称； ②存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个； ③|OP ‎|的最小值为2， 其中，所有正确命题的序号是______．‎ 三、解答题（本大题共4小题）‎ 1. 已知动点P与平面上点A（-1，0），B（1，0）的距离之和等于2． （1）试求动点P的轨迹方程C． （2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程． ‎ 2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1． （Ⅰ）若点F为PD上一点且PF=PD，证明：CF∥平面PAB； （Ⅱ）求二面角B-PD-A的大小．‎ ‎ ‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，点（2，1）在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点，求证：∠POQ是定值． ‎ 4. 设A、B分别为椭圆的左右顶点，设点P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N． （1）判断B与以MN为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明． （2）记直线x=4与轴的交点为H，在直线x=4上，求点P，使得S△APN=S△APH． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵抛物线x2 =4y中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（ 0，1 ）， 故选：C． 先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标． 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，），属基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：当直线2x+ay-1=0与直线ax+3y-2=0垂直时，‎2a+‎3a=0即a=0， 所以“a=2”是“直线2x+ay-1=0与直线ax+3y-2=0垂直”的既不充分又不必要条件． 故选：D． 先求出直线2x+ay-1=0与直线ax+3y-2=0垂直时，a满足的条件，即可判断． 本题主要考查充分、必要条件的判断以及直线垂直的等价条件应用，属于基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题意，双曲线E：=1中a=3． ∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上， ∴由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6， ∴|PF2|=9． 故选：B． 确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论． 本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：圆C：（θ为参数）化为：（x+1）2+（y-2）2=16， 可得：圆心C（-1，2），半径r=4． ∴圆心C到直线l的距离d==2． ∴直线l被圆C截得的弦长=2=2=4． 故选：B． 利用平方关系把圆C的参数方程化为标准方程，求出圆心C到直线l的距离d，利用直线l被圆C截得的弦长=2即可得出． 本题考查了直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离结论公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：设右焦点F（c，0）， 将代入椭圆方程可得x=±a=±a， 可得B（-a，），C（a，）， 由∠BFC=90°，可得kBF•kCF=-1， 即有 •=-1， 化简为b2=‎3a2‎-4c2， 由b2=a2-c2，即有‎3c2=‎2a2‎ ‎， 由e=，可得e2==， 可得e=， 故选：A． 设右焦点F（c，0），将代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合离心率公式，计算即可得到所求值． 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，得： 在A中，若m∥n，n⊂α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误； 在B中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误； 在C中，若α⊥β，m⊂α，则m与β相交、平行或m⊂β，故C错误； 在D中，若m⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确． 故选：D． 在A中，m与α相交、平行或m⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与β相交、平行或m⊂β；由面面垂直的判定定理得α⊥β． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），准线为x=-2 ∴K（-2，0） 设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（-2，y0） ∵，又AF=AB=x0-（-2）=x0+2 ∴由BK2=AK2-AB2得y02=（x0+2）2，即8x0=（x0+2）2，解得A（2，±4） ∴△AFK的面积为 故选B． 根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（-2，y0），根据及AF=AB=x0-（-2）=x0+2，进而可求得A点坐标，进而求得△AFK的面积． 本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在△ABK中集中条件求出x0是关键； 8.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和配方法是解决本题的关键,属于较难题． 根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【解答】‎ 解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，（a1＞a2），半焦距为c， 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F‎1F2|=‎2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2， ∵∠F1PF2=， ∴由余弦定理可得‎4c2=（r1）2+（r2）2-2r1r2cos =（r1）2+（r2）2-r1r2， 不妨设r1>r2‎ ‎，由椭圆和双曲线的定义可知， 得， ∴=， 令m= = ​=， 当时，， ∴， 即的最大值为， 故选A．‎ ‎ 9.【答案】 ‎ ‎【解析】解：直线的参数方程为（t为参数）， 消去参数t，化为普通方程是y-1=（x-1）， 则该直线的斜率为，倾斜角为． 故答案为：． 把直线的参数方程化为普通方程，求出它的斜率和倾斜角的大小． 本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化问题，是基础题． 10.【答案】-11或9 ‎ ‎【解析】解：圆x2+y2+6x-8y+m=0即（x+3）2+（y-4）2=25-m， 表示以（-3，4）为圆心，半径等于的圆． 由题意，两个圆相内切，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值， 可得5=|-1|， 解得m=-11． 两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=+1， 解得m=9， 故答案为：-11或9． 由题意，两个圆相内切，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之差的绝对值，两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，求得m的值． 本题主要考查圆的标准方程的特征，两点间的距离公式，两圆的位置关系的判定方法，属于中档题． 11.【答案】（，5） ‎ ‎【解析】解：由题意方程表示的是焦点在x轴上的椭圆， k-2＞5-k＞0， ∴＜k＜5． 故答案为：（，5） 焦点在x轴上的椭圆，满足x2的分母大于y2的分母并且大于0，建立不等式可求k的取值范围． 本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆的性质，利用焦点在y轴上的椭圆，满足x2的分母大于y2的分母并且大于0，是解题的关键． 12.【答案】x-y-3=0 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与双曲线的位置关系，点差法的应用.涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化． 设出A，B的坐标，代入双曲线方程，两式相减，根据中点的坐标可知x1+x2和y1+y2‎ 的值，进而求得直线AB的斜率，根据点斜式求得直线的方程． 【解答】 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=2， ∵x12-4y12=4，x22-4y22=4， 两式相减可得：（x1+x2）（x1-x2）-4（y1+y2）（y1-y2）=0， ∴8（x1-x2）-8（y1-y2）=0， ∴kAB=1， ∴直线的方程为y-1=x-4，即x-y-3=0． 故答案为：x-y-3=0． 13.【答案】x2+（y+1）2=1 ‎ ‎【解析】解：依题意，设圆C2的圆心坐标为（a，b）， 则因为圆，的圆心为（-2，1）， 所以解得， 所以圆C2的标准方程是：x2+（y+1）2=1， 故答案为：x2+（y+1）2=1， 求出圆C2的圆心坐标，又圆C1和圆C2的半径相等，即可得到其方程． 本题考查了圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题． 14.【答案】①③ ‎ ‎【解析】解：椭圆G：的两个焦点分别为 F1（，0）和F2（-，0）， 短轴的两个端点分别为B1（0，-b）和B2（0，b）， 设P（x，y），点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|， 由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|=‎2a=2＞2b， 即有P在椭圆+=1上． 对于①，将x换为-x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称， 故①正确； 对于②，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜， 则椭圆G上满足条件的点P有4个， 不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故②不正确； 对于③，由图象可得，当P满足x2=y2，即有6-b2=b2，即b=时， |OP|取得最小值，可得x2=y2=2，即有|OP|的最小值为2，故③正确． 故答案为：①③． 运用椭圆的定义可得P也在椭圆+=1上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确； 通过b的变化，可得②不正确；由图象可得当P的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断③． 本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题． 15.【答案】解：（1）由|AB|=2＜|PA|+|PB|=2， 根据椭圆的第一定义，可得P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆， 且‎2a=2，即a=，c=1， b==1，则动点P的轨迹方程C为+y2=1； （2）将直线l：y=kx+1代入椭圆方程x2+2y2=2， 可得（1+2k2）x2+4kx=0‎ ‎， 解得x1=0，x2=-， 可得M（0，1），N（-，）， 由题意可得|MN|==， 解得k=±1，即有直线l的方程为y=±x+1． ‎ ‎【解析】（1）由椭圆的第一定义，可得P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可你到底所求轨迹方程； （2）将直线方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，再由两点的距离公式解方程可得斜率k，进而得到直线方程． 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的第一定义，考查弦长的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，考查运算能力，属于中档题． 16.【答案】证明：（Ⅰ）过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH， 因为PF=PD，所以HF=AD=BC． 又FH∥AD，AD∥BC，所以HF∥BC． 所以BCFH为平行四边形，所以CF∥BH． 又BH⊂平面PAB，CF⊄平面PAB， 所以CF∥平面PAB． 解：（Ⅱ）因为梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，所以BC⊥AB．PB⊥平面ABCD， 如图，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 所以C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）． 设平面BPD的一个法向量为=（x，y，z），平面APD的一个法向量为=（a，b，c）， 因为=（3，3，-3），=（0，0，3） 所以， 取x=1得到=（1，-1，0）， 同理可得=（0，1，1）， 所以cos＜＞==-， 因为二面角B-PD-A为锐角， 所以二面角B-PD-A为． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，证明HF∥BC，CF∥BH，然后证明CF∥平面PAB． （Ⅱ）说明BC⊥AB．PB⊥AB，PB⊥BC，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BPD的一个法向量，平面APD的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角B-PD-A的大小． 本题考查直线与平面平行的判定，二面角的平面角的求法，向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力． 17.【答案】解：（1）由题得e=，所以c2=，则b2=， 再将点（2，1）带入方程得，解得a2=6，所以b2=3，则椭圆C的方程为：； （2）①当直线PQ斜率不存在时，则直线PQ的方程为x=或x=-， 当x=时，P（，），Q（，-），此时，所以OP⊥OQ，即∠POQ=90°， 当x=-时，同理可得OP⊥OQ，∠POQ=90°； ②当直线PQ斜率存在时，不妨设直线PQ的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0， 因为直线与圆相切，所以，即m2=2k2+2， 联立，得（1+2k2）x2+4kmx+‎2m2‎-6=0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，， 此时=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）==‎ ‎， 将m2=2k2+2代入上式可得，所以OP⊥OQ，则∠POQ=90°； 综上：∠POQ是定值为90°． ‎ ‎【解析】（1）由题得e=得到a，b，c的关系，再将点（2，1）代入可解得a2=6，进而得到方程； （2）考虑PQ斜率不存在和存在两种情况，分别计算出=0，可得∠POQ=90°为定值． 本题是直线与椭圆的综合，计算出=0时判断∠POQ是否为定值的关键，属于中档题． 18.【答案】解：（1）点B在以MN为直径的圆内．证明如下： 由已知可得A（-2，0），B（2，0）．设M（x0，y0）． ∵M点在椭圆上，∴y02=（4-x02）．　① 又点M异于顶点A、B，∴-2＜x0＜2． 由P、A、M三点共线可得， 即P（4，）． 从而=（x0-2，y0），=（2，）． ∴=2x0-4+=（x02-4+3y02）．　② 将①代入②，化简得=（2-x0）． ∵2-x0＞0，∴＞0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内． （2）可得A（-2，0），B（2，0）．设N（x0，y0）．P（4，t）， 由P、B、N三点共线可以得，即t=． 又S△APN=S△APH等价于S△ABN=S△BPH． 即|y0|=|t|=||⇒x0=1． ∴+=1，∴y0=， ∴t=±3． 故点P（4，±3） ‎ ‎【解析】（1）由已知得A（-2，0），B（2，0）．设M（x0，y0）．又点M异于顶点A、B，可得-2＜x0＜2．由P、A、M三点共线可以得P．可得＞0，即可证明． （2）设N（x1，y1）．P（4，t）由P、B、N三点共线可得t=．由S△APN=S△APH．等价于S△ABN=S△BPH．解得x0=1．即可． 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查了转化思想，运用三点共线求点的坐标是关键，属于难题． ‎