江苏省东海高级中学2013届高三第一学期期中考试数学理试题

江苏省东海高级中学2013届高三第一学期期中考试数学理试题

东海高级中学 2013 届高三理科数学第一学期期中试 题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上．） 1.若集合 ，函数 的定义域为 ，则 ▲ . 2. 将函数 的图象向左平移 个单位，再向下平移 1 个单位，得到函数 的图象，则 的解析式为 ▲ . 3. 已知向量 与 的夹角为 ， ，则 在 方向上的投影为 ▲ . 4. 给出下列命题，其中正确的命题是 ▲ (填序号)． ①若平面 上的直线 m 与平面 上的直线 n 为异面直线，直线 l 是 与 的交线，那么 l 至多与 m，n 中的一条相交； ②若直线 m 与 n 异面，直线 n 与 l 异面，则直线 m 与 l 异面； ③一定存在平面 同时与异面直线 m，n 都平行． 5. 函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ＞2，则 ＞ 的 解集为_▲ ． 6. 在锐角 中，若 ，则 的取值范围是 ▲ . 7. 已知向量 ， 的夹角为 45°，且 ， ，则 =____▲______． 8. 如图，在正方体 中，给出以下四个结论： ① ∥平面 ；② 与平面 相交；③AD⊥平 面 ；④平面 ⊥平面 ． 其中正确结论的序号是 ▲ ． 9. 设定义在区间 上的函数 是奇函数 ，则 的取值范围是 ▲ . 2{ | 0}M x x x= − ≤ 2( ) log (1 | |)f x x= − N M N = )63cos(2)( π+= xxf 4 π )(xg )(xg a b 3 π 2|| =a a b α β α β γ )(xf R 2)1( =−f Rx ∈ )(' xf )(xf x2 4+ ABC∆ BA 2= b a a b 1|| =a 10|2| =− ba || b 1 1 1 1ABCD A B C D− 1D C 1 1A ABB 1 1A D 1BCD 1D DB 1BCD 1 1A ABB ( ),b b− ( ) 1lg1 2 axf x x += − ( ), , 2a b R a∈ ≠ −且 ba A B CD D1 A1 B1 C1 10. 已知 是锐角 的外接圆的圆心，且 ，若 ， 则 = ▲ ．（用 表示） 11. 正三棱锥 中， ， ， 分别是棱 上的点， 为 边 的中点， ，则三角形 的面积为______▲_______． 12. 若函数 在区间 上有最大值 ，则 的值是 ▲ . 13. 设 是自然数集的一个非空子集，对于 ,如果 ，且 ,那么 是 的 一个“酷元”，给定 ，设集合 M 由集合 S 中的两个元素构成，且 集合 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合 有 ▲ . 14. 某同学为研究函数 的性质， 构造了如图所示的两个边长为 的正方形 和 ，点 是边 上的一个动点，设 ，则 ．则可推知函数 的零点的个数是 ▲ . 二、解答题 15.( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 集 合 ， 集 合 ， 集合 . （1）求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 16．(本题满分 14 分)在 中，内角 对边的边长分别是 ，且满足 ， . （1） 时，若 ，求 的面积； O ABC∆ A θ∠ = cos cos sin sin B CAB ACC B + =  2mAO m θ S ABC− 2BC = 3SB = D E、 SA SB、 Q AB SQ CDE⊥ 平面 CDE )0(22 ≠−= aaxaxy ]3,0[ 3 a A k A∈ 2k A∉ k A∉ k A { }2lg(36 )S x N y x= ∈ = − M M ( ) ( ) ( )221 1 1 0 1f x x x x= + + + − ≤ ≤ 1 ABCD BEFC P BC CP x= ( )f x AP PF= + ( ) ( )5 11g x f x= − }145|{ 2 −−== xxyxA )}127lg(|{ 2 −−−== xxyxB }121|{ −≤≤+= mxmxC A B ACA = m ABC△ A B C， ， a b c， ， 2 2 4a b ab+ = + 3C π= 2A π≠ sin sin( ) 2sin 2C B A A+ − = ABC△ F E P D C BA （2）求 的面积等于 的一个充要条件. 17.(本题满分 15 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝ ，AB＝ 2，PA＝1，PA⊥平面 ABCD，E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点． （1）求证：BE∥平面 PDF； （2）求证：平面 PDF⊥平面 PAB； （3）求三棱锥 P－DEF 的体积． 18. (本题满分 15 分)如图，在边长为 1 的正三角形 中， 分别是边 上的点， 若 ， ．设 的中点为 ， 的中点为 ． ⑴若 三点共线，求证 ； ⑵若 ，求 的最小值. ABC△ 3 60° ABC ,E F ,AB AC ,AE mAB AF nAC= =    , (0,1)m n∈ EF M BC N , ,A M N m n= 1m n+ = | |MN A B C E F M N 19. （本题满分 16 分）已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角，设 . （1）当 取得最小值时，求 的大小； （2）当 时，记 ，试求 的表达式及定义域； （3）在（2）的条件下，是否存在向量 ，使得函数 的图象按向量 平移后得 到函数 的图象？若存在，求出向量 的坐标；若不存在，请说明理由. 20、（本题满分 16 分）已知函数 . （1）若 时, 恒成立，求实数 的取值范围； 2 2( , ) sin 2 cos 2f A B A B= + 3 sin 2 cos 2 2A B− − + ( , )f A B C 2C π= ( ) ( , )h A f A B= ( )h A p ( )h A p ( ) 2cos2g A A= p ax axaxxxf axx < ≥    ×− +−= − , , 244 1)( 2 ax < 1)( )2,0( at ∈ )2,0(,1)( attttg ∈−= 011)(' 2 >+= ttg tttg 1)( −= )2,0( a a aagtg 2 12)2()( −=< a a a 2 122 4 −≥ a a 22 5 ≥⇒ 5)2( 2 ≤⇒ a 52 ≤⇒ a 5log2≤⇒ a ax ≥ 1)( 2 +−= axxxf 41)2()( 2 2 aaxxf −+−= 02 ≥⇔≤ aaa )(xf ),[ +∞a 1)()( min == afxf 042 <≤−⇔> aaa )(xf )2,[ aa ),2( +∞a 41)2()( 2 min aafxf −== ax ≥    ≥ <≤−−= 0,1 04,41)( 2 min a aa xf ax < axxxf −×−= 244)( tx =2 )2,0( at ∈ aaa tttth 4 4)2 2(2 4)( 22 −−=−= 2 12222 20 2 >⇔>⇔<< aaa a )(th )2 2,0( a )2,2 2( a a aahth 4 4)2 2()( min −== 2 12222 2 2 ≤⇔≤⇔≥ aaa a )(th )2,0( a 所以,此时, 在 上无最小值; ---------------------------------------------11 分. 所以由③④可得当 时有:当 时, ; 当 时,无最小值.----------------- -------------12 分. 所以,由①②③④可得: 当 时，因为 ,所以函数 ;---------------------------13 分. 当 时， 因为 ，函数 无最小值; --------------------------------14 分. 当 时， ，函数 无最小值.--------- ----------------15 分. 综上所述，当 时，函数 有最小值为 ；当 时，函数 无最 小值． 所以函数 在实数集 上有最小值时，实数 的取值范围为 .---------16 分. )0,44())0(),2(()( −=∈ aa hhth )(th )2,0( a ax < 2 1>a athxf 4 4)()( minmin −== 2 1≤a 2 1>a 14 4 <− a axf 4 4)( min −= 2 10 ≤≤ a 1044 <<−a )(xf 04 <≤− a 41344 2aa −≤−<− )(xf 2 1>a )(xf a4 4− 2 14 ≤≤− a )(xf )(xf R a ),2 1( +∞