八年级下数学课件《矩形》课件1第二课时_冀教版

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八年级数学·下 新课标[冀教] 第二十二章 四边形 学 习 新 知问题思考 门窗、方砖、数学教科书等都是什么图形? 一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生日的小华买生日礼物, 选了半天,她们俩最后决定买相框送给小华,在里面摆放她们三个人的相片, 为了相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法知 道拿的就是矩形相框呢? 活动1　矩形的判定(一) 用上、下一样长，左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相 接,做成一个木条框一定是矩形吗?如果不是,还要满足什么条件呢? 有一个角是直角的平行四边形是矩形可以作为判定平行四边 形是否是矩形的方法,这种方法就是矩形的定义法. 矩形的判定(二) 如图所示的是一个平行四边形的木条框,拉动一对不相邻的顶点时, 平行四边形的形状会发生变化. (1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化? 当∠α由小变大时,其中一条对角线变长,而另一条对角线变短; 当∠α是直角时,两条对角线的长度相等. (2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征?由此你能 得到一个怎样的猜想? 矩形的判定方法:两条对角线相等的平行四边形是矩形. 已知:如图所示,在▱ ABCD中,AC=BD. 求证▱ ABCD是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. 在△ABD和△BAC中, ∵AD=BC,AB=BA,AC=BD. ∴△ABD≌ △BAC. ∴∠DAB=∠CBA. 又∵AD∥BC, ∴∠DAB+∠CBA=180°. ∴∠DAB=∠CBA=90°. ∴▱ ABCD是矩形. 活动3　矩形的判定(三) 想一想:矩形的四个角是直角,反过来,一个四边形至少有几个角 是直角时,这个四边形就是矩形呢? 结论:“有三个角是直角的四边形是矩形”. [知识拓展]　 (1)由四边形直接判定矩形的方法是:有三个角是直角的四边形 是矩形. (2)由平行四边形判定矩形的方法有: 　①有一个角是直角的平行四边形是矩形. 　②对角线相等的平行四边形是矩形. 　(教材第138页例2)已知:如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分 别为OA,OB,OC,OD的中点. 求证四边形EFGH是矩形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,且OA=OC,OB=OD. ∴OA=OC=OB=OD. 又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点, ∴OE=OG=OF=OH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵EG=OE+OG=OF+OH=HF. ∴四边形EFGH是矩形. 想一想:在上述问题中,如果四边形ABCD是平行四边形,那么四边 形EFGH是平行四边形吗? 1.矩形的判定方法: (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)有三个角是直角的四边形是矩形. (3)对角线相等的平行四边形是矩形. 课堂小结 2.判定一个四边形是矩形的方法与思路是: 检测反馈 1.如图所示,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E, 使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形 DBCE成为矩形的是 (　　) A.AB=BE B.DE⊥DC C.∠ADB=90° D.CE⊥DE 解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC.又 ∵AD=DE,∴DE=BC,∴四边形BCED为平行四边形.选项 A,∵AB=BE,DE=AD,∴BD⊥AE,∴▱ DBCE为矩形;选项 B,∵DE⊥DC,∴∠EDB=90°+∠CDB>90°,∴四边形DBCE不能 为矩形;选项C,∵∠ADB=90°,∴∠EDB=90°,∴▱ DBCE为矩形; 选项D,∵CE⊥DE,∴∠CED=90°,∴▱ DBCE为矩形.故选B. B 2.(2016·黑龙江中考)如图所示,在平行四边形 ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接 EB,EC,DB.请你添加一个条件为　　　　,使 四边形DBCE是矩形.  解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且 AD=BC,∴DE∥BC,又∵DE=AD,∴DE=BC,∴四边形DBCE为平行 四边形.又∵EB=DC,∴四边形DBCE是矩形.故填EB=DC. EB=DC 3.木工师傅做了一张桌面,要求为矩形,现量得桌面的长为60 cm,宽为32 cm,对角线长为66 cm,这个桌面　　　　(填“合格”或“不合格”).  解析:根据勾股定理求出桌面的对角线长为68 cm.故填不合格. 不合格 4.如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形 EFGH为矩形,四边形ABCD应具备的条件是　    　　　             .  解析:连接BD,AC.∵H,G分别是AD,CD的中点,∴HG是 △DAC的中位线,∴HG∥AC,同理可得 EF∥AC,HE∥BD∥FG.∵四边形EHGF是矩 形,∴∠FEH=∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,∴DB⊥AC.故 填对角线互相垂直. 对角线互相垂直 1 2 5.在△ABC中,D是BC边的中点,E,F分别在AD及其延长线 上,CE∥BF,连接BE,CF. (1)求证△BDF≌ △CDE; (2)若DE= BC,试判断四边形BFCE 是怎样的四边形?并证明你的结论. 解析:(1)由CE∥BF得出∠CED=∠BFD,根据“AAS”推出 △BDF≌ △CDE;(2)根据三角形全等得出DE=DF,根据BD=DC推出四边形 BFCE是平行四边形,求出∠BEC=90°,根据矩形的判定定理即可推得结论. 证明:(1)∵CE∥BF,∴∠CED=∠BFD. ∵D是BC边的中点, ∴BD=DC. 在△BDF和△CDE中, , , , BFD CED BDF CDE BD DC         ∴△BDF≌ △CDE(AAS). 解:(2)四边形BFCE是矩形. 证明:∵△BDF≌ △CDE,∴DE=DF. ∵BD=DC, ∴四边形BFCE是平行四边形. ∵BD=CD,DE= BC, ∴BD=DC=DE, ∴∠BEC=90°, ∴平行四边形BFCE是矩形. 1 2 6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC 边的中点,以AB,BD为邻边作▱ ABDE,连 接AD,EC.求证四边形ADCE是矩形. 解析:由等腰三角形“三线合一”的性质得出 AD⊥BC,BD=CD,∠ADC=90°,从而由平行四边形的性质得出 AE∥BD,AE=BD,从而得出AE∥CD,AE=CD,证出四边形ADCE是平 行四边形,即可得出结论. 证明:∵AB=AC,D为BC边的中点, ∴AD⊥BC,BD=CD,∴∠ADC=90°. ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE∥BD,AE=BD, ∴AE∥CD,AE=CD, ∴四边形ADCE是平行四边形. 又∵∠ADC=90°, ∴四边形ADCE是矩形. 7.如图所示,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC, 设MN交∠BCA的平分线于点E,交△BCA的外角平分线于点F. (1)求证OE=OF; (2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形? 解析:(1)根据MN∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,得到相等的角,再由 等角对等边即可证得OE=OF;(2)根据矩形的性质可知矩形的对角线互相 平分,即AO=CO,OE=OF,故当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形. 证明:(1)∵MN∥BC, ∴∠OEC=∠ECB. ∵CE平分∠ACB, ∴∠BCE=∠ACE, ∴∠OEC=∠ACE. ∴OE=OC. 同理可证OC=OF. ∴OE=OF. 1 2 1 2 解:(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF 是矩形.理由如下:∵AO=CO,OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形. ∵∠ECA+∠ACF= ∠ACB+ ∠ACD, ∴∠ECF=90°, ∴四边形AECF是矩形. 8.如图所示,BD是▱ ABCD的对角线,E,F分别为BD上两 点,AC交BD于点O. (1)请你添加一个条件,使得△ABE≌ △CDF,并证明; (2)在问题(1)中,当AC与EF满足什么条件时,四边形 AECF是矩形,请说明理由. 解析:(1)根据平行四边形的性质得一组边相等、一组角相等,然后找到另外 一组相等的角或相等的边即可证明全等;(2)首先得到四边形AECF是平行 四边形,然后利用对角线相等的平行四边形是矩形即可判定. , , , AD CD ABD CDB BE DF      解:(1)(答案不唯一)添加条件BE=DF即可 证得△ABE≌ △CDF.证明如下: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠ABD=∠CDB. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌ △CDF. (2)当AC=EF时,四边形AECF是矩 形.理由如下:∵四边形ABCD是平行 四边形, ∴∠BAC=∠DCA. 由△ABE≌ △CDF知 ∠BAE=∠DCF,AE=CF, ∴∠EAO=∠FCO, ∴AE∥CF. ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC=EF,∴四边形AECF是矩形. 1 2 9.已知:如图所示,BE,BF分别是∠ABC与它的邻补 角∠ABD的平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂 足为点F,EF分别交边AB,AC于点M和N.求证: (1)四边形AFBE是矩形; (2)MN= BC. 解析:(1)由BE,BF分别是角平分线可得∠EBF=90°,进而由条件中的两个垂 直可得两个直角,可得四边形AEBF是矩形;(2)由矩形的性质定理可得 ∠2=∠5,利用角平分线的定义可得∠1=∠2,所以∠5=∠1,所以ME∥BC,进 而可得N为AC的中点,根据三角形的中位线定理即可证明. 证明:(1)∵BE,BF分别是∠ABC与它的邻 补角∠ABD的平分线, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴∠2+∠3=90°. ∵AE⊥BE,AF⊥BF, ∴∠AFB=∠AEB=90°, ∴四边形AEBF为矩形. (2)∵四边形AEBF为矩形, ∴BM=MA=ME,∴∠2=∠5. ∵∠2=∠1,∴∠1=∠5. ∴ME∥BC. ∵M是AB的中点, ∴N为AC的中点, ∴MN= BC.1 2