2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3
第
2
课时 函数概念的综合应用
必备知识
·
自主学习
1.
区间的概念
(1)
一般区间的表示
.
设
a
，
b∈R
，且
a
a}
{x|x≤a}
{x|x0
a<0
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”，错的打“
×”)
(1)
用区间表示集合
{x|x≥1}
为
[1
，
+∞]. (
)
(2)
若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数
.(
)
(3)
函数
f(x)=x
2
-x
与
g(t)=t
2
-t
是同一个函数
. (
)
提示：
(1)×.
应表示为
[1
，
+∞).
(2)×.
例如
f(x)=
与
g(x)=
的定义域与值域相同，但这两个不是同一个函数
.
(3)√.
函数
f(x)=x
2
-x
与
g(t)=t
2
-t
的定义域都是
R
，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数
.
2.(
教材二次开发：例题改编
)
函数
f(x)=
的定义域为
(
)
A.(-∞
，
-1)∪(-1
，
3] B.(-∞
，
3]
C.(-1
，
3] D.(-∞
，
-1)
【
解析
】
选
A.
函数
f(x)=
令 解得
x≤3
且
x≠-1.
所以函数
f(x)
的定义域为
(-∞
，
-1)∪(-1
，
3].
3.
已知
f(x)=x
2
+1
，则
f(f(-1))= (
)
A.2 B.3 C.4 D.5
【
解析
】
选
D.
因为
f(-1)=(-1)
2
+1=2
，
所以
f(f(-1))=f(2)=2
2
+1=5.
关键能力
·
合作学习
类型一 函数的定义域与求值
(
数学运算
)
【
题组训练
】
1.(2020·
合肥高一检测
)
函数
f(x)=
的定义域是
(
)
A.(-∞
，
3] B.
C. D.(3
，
4)∪(4
，
+∞)
2.
函数
f(x)=
的定义域为
_______.
3.
已知函数
f(x)=x+
，则
f(2)=_______
；当
a≠-1
时，
f(a+1)=_______.
【
解析
】
1.
选
C.
要使函数有意义，
则
得
x≤3
且
x≠
，
即函数的定义域为
.
2.
要使
f(x)
有意义，则 解得
x≥1
，
所以
f(x)
的定义域为
[1
，
+∞).
答案：
[1
，
+∞)
3.f(2)=2+ = .
当
a≠-1
时，
a+1≠0
，
所以
f(a+1)=a+1+ .
答案：
a+1+
【
解题策略
】
关于函数定义域的求法
(1)
依据：分式分母不为
0
，二次根式的被开方数不小于
0
，
0
次幂的底数不为
0
等
.
(2)
如果解析式中含有多个式子，则用大括号将
x
满足的条件列成不等式组，解出各个不等式后求交集
.
【
补偿训练
】
函数
f(x)=
的定义域是
(
)
A.R B.[-1
，
+∞)
C.(-∞
，
0)∪(0
，
+∞) D.[-1
，
0)∪(0
，
+∞)
【
解析
】
选
D.
函数
f(x)=
中，
令 解得
所以函数
f(x)
的定义域是
[-1
，
0)∪(0
，
+∞).
类型二 判断同一个函数
(
逻辑推理
)
【
典例
】
(2020·
丰台高一检测
)
下列各组函数，是同一个函数的是
(
)
A.f(x)=x+1
，
g(x)= +1
B.f(x)=x
，
u=
C.f(x)=1
，
g(x)=(x-1)
0
D.f(x)= m=|n|
【
思路导引
】
判断定义域、对应关系是否相同
.
【
解析
】
选
D.
对于
A
，函数
f(x)=x+1(x∈R)
，与
g(x)= +1=x+1(x≠0)
的定义
域不同，不是同一个函数；对于
B
，函数
f(x)=x(x∈R)
，与
u= =|v|(v∈R)
的对应关系不同，不是同一个函数；
对于
C
，函数
f(x)=1(x∈R)
，与
g(x)=(x-1)
0
=1(x≠1)
的定义域不同，不是同一
个函数；
对于
D
，函数
f(x)= =|x|(x∈R)
，与
m=|n|(n∈R)
的定义域相同，对应
关系也相同，是同一个函数
.
【
解题策略
】
判断函数是否是同一个函数的三个步骤和两个注意点
(1)
判断函数是否是同一个函数的三个步骤
.
(2)
两个注意点
.
①
在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示变量无关
.
【
跟踪训练
】
(2020·
宁德高一检测
)
下列两个函数是同一个函数的是
(
)
A.f(x)=x
2
，
g(x)=
B.f(x)=
，
g(x)=x
0
C.f(x)=
，
g(x)=x+1
D.f(x)=
，
g(x)=|x|
【
解析
】
选
B.A.f(x)
的定义域为
R
，
g(x)
的定义域为
{x|x≠0}
，两个函数的
定义域不相同，不是同一个函数；
B.f(x)= =1
，函数的定义域为
{x|x≠0}
，
g(x)=x
0
=1
，定义域为
{x|x≠0}
，
两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
C.f(x)=x+1(x≠1)
，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数
.
D.f(x)
的定义域为
[0
，
+∞)
，
g(x)
的定义域是
R
，两个函数的定义域和对应关
系不相同，不是同一个函数
.
类型三 抽象函数的定义域
(
数学运算
)
角度
1
已知
f(x)
的定义域求
f(g(x))
的定义域
【
典例
】
函数
y=f(x)
的定义域是
[-1
，
3]
，则
f(2x+1)
的定义域为
_______.
【
思路导引
】
将
2x+1
代入
f(x)
的定义域解出
x
的范围
.
【
解析
】
令
-1≤2x+1≤3
，解得
-1≤x≤1
，
所以
f(2x+1)
的定义域为
[-1
，
1].
答案：
[-1
，
1]
【
变式探究
】
本例条件不变，试求函数
g(x)=
的定义域
.
【
解析
】
函数
y=f(x)
的定义域是
[-1
，
3]
，
在函数
g(x)=
中，
令 解得
0≤x<2
，
所以
g(x)
的定义域是
[0
，
2).
角度
2
已知
f(g(x))
的定义域求
f(x)
的定义域
【
典例
】
若函数
y=f(3x+1)
的定义域为
[-2
，
4]
，则
y=f(x)
的定义域是
(
)
A.[-1
，
1] B.[-5
，
13]
C.[-5
，
1] D.[-1
，
13]
【
思路导引
】
由
x
的范围求出
3x+1
的范围
.
【
解析
】
选
B.
函数
y=f(3x+1)
的定义域为
[-2
，
4]
，
令
-2≤x≤4
，则
-6≤3x≤12
，所以
-5≤3x+1≤13
，
所以函数
y=f(x)
的定义域是
[-5
，
13].
【
解题策略
】
抽象函数的定义域
(1)
已知
f(x)
的定义域为
[a
，
b]
，求
f(g(x))
的定义域时，不等式
a≤g(x)≤b
的解集即定义域
.
(2)
已知
f(g(x))
的定义域为
[c
，
d]
，求
f(x)
的定义域时，求出
g(x)
在
[c
，
d]
上的范围
(
值域
)
即定义域
.
【
题组训练
】
1.
已知函数
y=f(-2x+1)
的定义域是
[-1
，
2]
，则
y=f(x)
的定义域是
(
)
A.[ , 1] B.[-3
，
3]
C.[-1
，
5] D.
以上都不对
【
解析
】
选
B.
函数
y=f(-2x+1)
的定义域是
[-1
，
2]
，
即
-1≤x≤2
，所以
-4≤-2x≤2
，
所以
-3≤-2x+1≤3
，
所以
y=f(x)
的定义域是
[-3
，
3].
2.(2020·
宿州高一检测
)
若函数
y=f(x+1)
的定义域是
[-1
，
1]
，则函数
g(x)=
的定义域是
(
)
A. B.
C.[0
，
1)∪(1
，
4] D.(0
，
1]
【
解析
】
选
D.
由函数的定义域是
[-1
，
1]
，
得
-1≤x≤1
，所以
0≤x+1≤2
，
所以函数
f(x)
的定义域为
[0
，
2]
；
函数
g(x)=
中令
解得
02}
C.{x|x≥1} D.{x|x≥1
且
x≠2}
【
解析
】
选
D.
函数
f(x)=
中，
令 解得
x≥1
且
x≠2
，
所以函数
f(x)
的定义域是
{x|x≥1
且
x≠2}.
2.
若函数
f(x)=ax
2
-1
，
a
为一个正数，且
f(f(-1))=-1
，那么
a
的值是
(
)
A.1 B.0 C.-1 D.2
【
解析
】
选
A.
因为
f(x)=ax
2
-1
，所以
f(-1)=a-1
，
f(f(-1))=f(a-1)=a
·
(a-1)
2
-1=-1.
所以
a(a-1)
2
=0.
又因为
a
为正数，所以
a=1.
3.
若
[a
，
3a+1]
为一确定区间，则
a
的取值范围是
_______.
【
解析
】
若
[a
，
3a+1]
为一确定区间，则
a<3a+1
，
解得
a>-
，
所以
a
的取值范围是
.
答案：
4.(
教材二次开发：练习改编
)
已知函数
f(x)=
，则
f(2)+ =_______
，
f(3)+ =_______.
【
解析
】
因为函数
f(x)=
，
所以
f(2)+ =
f(3)+ =
答案：
1
1
5.
已知全集
U=R
，
A={x|13}
，用区间可表示为
(-∞
，
1]∪(3
，
+∞).
答案：
(-∞
，
1]∪(3
，
+∞)
