全国各地500套中考数学试题分类汇编 直线与圆的位置关系1

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第 33 章 直线与圆的位置关系 一、选择题 1. （2011 宁波市，11，3 分）如图，⊙O1 的半径为 1，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O2 为 正方形 ABCD 的中心，O1O2 垂直 AB 与 P 点，O1O2＝8．若将⊙O1 绕点 P 按顺时针方 向旋转 360°，在旋转过程中，⊙O1 与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共 出现 A． 3 次 B．5 次 C． 6 次 D． 7 次 【答案】B 2. （2011 浙江台州，10,4 分）如图，⊙O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直 线 l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点 B，则 PB 的最小值是（ ） A. 13 B. 5 C. 3 D.2 【答案】B 3. （2011 浙江温州，10，4 分）如图，O 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，⊙O 边 AB， BC 都相切，点 E，F 分别在边 AD，DC 上．现将△DEF 沿着 EF 对折，折痕 EF 与⊙O 相切，此时点 D 恰好落在圆心 O 处．若 DE＝2，则正方形 ABCD 的边长是( ) A．3 B．4 C． 2 2 D． 2 2 【答案】C 4. （2011 浙江丽水，10，3 分）如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧， 点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1) 【答案】C 5. （2011 浙江金华，10，3 分）如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧， 点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点(6，1) 【答案】C 6. （2011 山东日照，11，4 分）已知 AC⊥BC 于 C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O 的半径为 ba ab  的是（ ） 【答案】C 7. （2011 湖北鄂州，13，3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延 长线于 D，且 CO=CD，则∠PCA=（ ） A．30° B．45° C．60° D．67.5° C DA O P B 第 13 题图 【答案】D 8. (2011 浙江湖州，9，3)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，BC＝OB， CE 是⊙O 的切线，切点为 D，过点 A 作 AE⊥CE，垂足为 E，则 CD：DE 的值是 A． 1 2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 9. （2011 台湾全区，33）如图(十五)， AB 为圆 O 的直径，在圆 O 上取异于 A、B 的一点 C，并连接 BC 、 AC ．若想在 AB 上取一点 P，使得 P 与直线 BC 的距离等于 AP 长，判断下列四个作法何 者正确？ A．作 AC 的中垂线，交 AB 于 P 点 B．作∠ACB 的角平分线，交 AB 于 P 点 C．作∠ABC 的角平分线，交 AC 于 D 点，过 D 作直线 BC 的并行线，交 AB 于 P 点 D．过 A 作圆 O 的切线，交直线 BC 于 D 点，作∠ADC 的角平分线，交 AB 于 P 点 【答案】Ｄ 10．（2011 甘肃兰州，3，4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，DC 切 ⊙O 于点 C，若∠A=25°，则∠D 等于 A．20° B．30° C．40° D．50° ABD O C 【答案】C 11. （2011 四川成都，10,3 分）已知⊙O 的面积为 29 cm ，若点 0 到直线l 的距离为 cm ， 则直线l 与⊙O 的位置关系是 C (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定 【答案】C 12. (2011 重庆綦江，7，4 分) 如图,PA、PB 是⊙O 的切线，切点是 A、B，已知∠P＝60°， OA＝3，那么∠AOB 所对弧的长度为（ ） A．6л B．5л C．3л D．2л 【答案】：D 13. （2011 湖北黄冈，13，3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延 长线于 D，且 CO=CD，则∠PCA=（ ）[来源:学,科,网 Z,X,X,K] A．30° B．45° C．60° D．67.5° C DA O P B 第 13 题图 【答案】D 14. （2011 山东东营，12，3 分）如图，直线 3 33y x  与 x 轴、y 分别相交与 A、B 两 点，圆心 P 的坐标为（1，0），圆 P 与 y 轴相切与点 O。若将圆 P 沿 x 轴向左移动，当 圆 P 与该直线相交时，横坐标为整数的点 P′的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D． 5 【答案】B 15. （2011 浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系 xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4 为半径的圆 （ ） A．与 x 轴相交，与 y 轴相切 B．与 x 轴相离，与 y 轴相交 C．与 x 轴相切，与 y 轴相交 D．与 x 轴相切，与 y 轴相离 【答案】C 16. （2011 山东枣庄，7，3 分）如图，PA 是 O⊙ 的切线，切点为 A，PA=2 3 ,∠APO=30°， 则 O⊙ 的半径为（ ） O PA A.1 B. 3 C.2 D.4 【答案】C 二、填空题 1. （2011 广东东莞，9，4 分）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点，连 结 BC.若∠A＝40°，则∠C＝ ° [来源:Zxxk.Com] 【答案】 025 2. （2011 四川南充市，13，3 分）如图，PA，PB 是⊙O 是切线，A，B 为切点， AC 是 ⊙O 的直径，若∠BAC=25°，则∠P= __________度. P O C B A 【答案】50 3. （2011 浙江衢州，16,4 分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 r .用角尺的较 短边紧靠 O ，并使较长边与 O 相切于点 C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点 B ， 较短边 8cmAB  .若读得 BC 长为 cma ，则用含 a 的代数式表示 r 为 . 第 16 题图 （第 16 题） 【 答 案 】 当 0 8a  时 ， r a ； 当 2 21 18 4. 0 8, ; 416 16a r a r r a r a       时， 或当 当 . 4. (2011 浙江绍兴，16，5 分) 如图，相距 2cm 的两个点 ,A B 在在线l 上，它们分别以 2 cm/s 和 1 cm/s 的速度在l 上同时向右平移，当点 ,A B 分别平移到点 1 1,A B 的位置时，半径为 1 cm 的 1A 与半径为 1BB 的 B 相切，则点 A 平移到点 1A 的所用时间为 s. 【答案】 1 33 或 [来源:学科网] 5.（2011 江苏苏州，16,3 分）如图，已知 AB 是⊙O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使得 AC=3BC， CD 与⊙O 相切，切点为 D.若 CD= 3 ，则线段 BC 的长度等于__________. 【答案】1 6. （2011 江苏宿迁,17,3 分）如图，从⊙O 外一点 A 引圆的切线 AB，切点为 B，连接 AO 并 延长交圆于点 C，连接 BC．若∠A＝26°，则∠ACB 的度数为 ▲ ． 【答案】32 7. （2011 山东济宁，13，3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm， 以点 C 为圆心，以 3cm 长为半径作圆，则⊙C 与 AB 的位置关系是 ． 第 13 题 【答案】相交 8. （2011 广东汕头，9，4 分）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点，连 结 BC.若∠A＝40°，则∠C＝ ° 【答案】 025 9. （2011 山东威海，17，3 分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC） 纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D，半圆（量角器）的圆心与点 D 重 合，没得 CE＝5cm，将量角器沿 DC 方向平移 2cm，半圆（量角器）恰与△ABC 的边 AC、 BC 相切，如图②，则 AB 的长为 cm.（精确到 0.1cm） 图① （第 17 题） 图② [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 【答案】 24.5 10．（2011 四川宜宾,11,3 分）如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的 直径，∠P=40°，则∠BAC=_____． （第 11 题图） 【答案】20° 11. （2010 湖北孝感，18，3 分）如图，直径分别为 CD、CE 的两个半圆相切于点 C，大半 圆 M 的弦 AB 与小半圆 N 相切于点 F，且 AB∥CD，AB=4，设 CD 、 CE 的长分别为 x、y，线 段 ED 的长为 z，则 z（x+y）= . 【答案】8π 12. （2011 广东省，9，4 分）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点，连 结 BC.若∠A＝40°，则∠C＝ °[来源:学*科*网] 【答案】 025 三、解答题 1. （2011 浙江义乌，21，8 分）如图，已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 E. ⊙O 的切线 BF 与弦 AD 的 延长线相交于点 F，且 AD=3，cos∠BCD= . （1）求证：CD∥BF； （2）求⊙O 的半径； （3）求弦 CD 的长. FM A DOEC O C B 【答案】（1）∵BF 是⊙O 的切线 ∴AB⊥BF ∵AB⊥CD ∴CD∥BF （2）连结 BD ∵AB 是直径 ∴∠ADB=90° ∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD= 4 3 ∴cos∠BAD= 4 3 AB AD 又∵AD=3 ∴AB=4 ∴⊙O 的半径为 2 F A DE O C B （3）∵cos∠DAE= 4 3 AD AE AD=3∴AE= 4 9 ∴ED= 4 73 4 93 2 2      ∴CD=2ED=3 7 2 2. （2011 浙江省舟山，22，10 分）如图，△ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D， ∠ACD=∠ABC． （1）求证：CA 是圆的切线； （2）若点 E 是 BC 上一点，已知 BE=6，tan∠ABC= 3 2 ，tan∠AEC= 3 5 ，求圆的直径． （第 22 题） A B CE D 【答案】（1）∵BC 是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC， ∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA 是圆的切线． (2)在 Rt△AEC 中，tan∠AEC= 5 3 ，∴ 5 3 AC EC  , 3 5EC AC ; 在 Rt△ABC 中，tan∠ABC= 2 3 ，∴ 2 3 AC BC  , 3 2BC AC ; ∵BC-EC=BE，BE=6，∴ 3 3 62 5AC AC  ,解得 AC= 20 3 , ∴BC= 3 20 102 3   ．即圆的直径为 10. 3. （2011 安徽芜湖，23，12 分）如图，已知直线 PA 交⊙O 于 A、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点，且 AC 平分∠PAE，过 C 作CD PA ，垂足为 D. (1) 求证：CD 为⊙O 的切线； (2) 若 DC+DA=6，⊙O 的直径为 10，求 AB 的长度. 【答案】 （1）证明：连接 OC， ……………………………………1 分 因为点 C 在⊙O 上，OA=OC，所以 .OCA OAC   因为CD PA ，所以 90CDA   ， 有 90CAD DCA     .因为 AC 平分∠PAE，所以 .DAC CAO   ……………3 分 所以 90 .DCO DCA ACO DCA CAO DCA DAC               ……4 分 又因为点 C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，所以 CD 为⊙O 的切线. ………………5 分 （2）解:过 O 作OF AB ，垂足为 F，所以 90OCD CDA OFD       ， 所以四边形 OCDF 为矩形，所以 , .OC FD OF CD  ……………………………7 分 因为 DC+DA=6，设 AD x ,则 6 .OF CD x   因为⊙O 的直径为 10，所以 5DF OC  ，所以 5AF x  . 在 Rt AOF△ 中，由勾股定理知 2 2 2 .AF OF OA  即   2 25 6 25.x x    化简得 2 11 18 0x x   ， 解得 2x  或 x=9. ………………9 分 由 AD DF ，知 0 5x  ，故 2x  . ………10 分 从而 AD=2， 5 2 3.AF    …………………11 分 因为OF AB ，由垂径定理知 F 为 AB 的中点，所以 2 6.AB AF  …………12 分 4. （2011 山东滨州，22，8 分）如图，直线 PM 切⊙O 于点 M,直线 PO 交⊙O 于 A、B 两 点，弦 AC∥PM, 连接 OM、BC. 求证：（1）△ABC∽△POM; (2)2OA2=OP·BC. （第 22 题图） 【答案】证明：（1）∵直线 PM 切⊙O 于点 M，∴∠PMO=90°………………1 分 ∵弦 AB 是直径，∴∠ACB=90°………………2 分 ∴∠ACB=∠PMO………………3 分 ∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4 分 ∴△ABC∽△POM………………5 分 (2) ∵ △ABC∽△POM, ∴ AB BC PO OM  ………………6 分 又 AB=2OA,OA=OM, ∴ 2OA BC PO OA  ………………7 分 ∴2OA2=OP·BC………………8 分 5. （2011 山东菏泽，18，10 分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB=AC，AD 交 BC 于点 E，AE=2， ED=4， (1)求证：△ABE∽△ADB； (2)求 AB 的长； (3)延长 DB 到 F，使得 BF=BO，连接 FA，试判断直线 FA 与⊙O 的位置关系，并说明 理由． 解：(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D， 又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB， (2) ∵△ABE∽△ADB，∴ AB AE AD AB  ， ∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12 ∴AB= 2 3 ． (3) 直线 FA 与⊙O 相切，理由如下： 连接 OA，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD=90°， ∴ 2 2 212 (2 4) 4 3BD AB AD      ， BF=BO= 1 2 32 BD  ， ∵AB= 2 3 ，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°， ∴直线 FA 与⊙O 相切． 6. （2011 山东日照，21，9 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD⊥CD 于点 D． 求证：（1）∠AOC=2∠ACD； （2）AC2＝AB·AD． 【答案】证明：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD=90°， 即∠ACD+∠ACO=90°．…① ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO， ∴∠AOC=180°-2∠ACO ， 即 2 1 ∠AOC+∠ACO=90°. ② 由 ① ， ② ， 得 ： ∠ACD- 2 1 ∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD； （2）如图，连接 BC． ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°． 在 Rt△ACD 与△RtACD 中， ∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD， ∴△ACD∽△ABC，∴ AC AD AB AC  ，即 AC2=AB·AD． 7. （2011 浙江温州，20，8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，过点 B 作 ⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 F．已知 OA＝3，AE＝2， (1)求 CD 的长； (2)求 BF 的长． 【答案】解：(1)连结 OC，在 Rt△OCE 中， 2 2 9 1 2 2CE OC OE     ． ∵CD⊥AB， ∴ 3 4 2CD CE  (2) ∵BF 是⊙O 的切线， ∴FB⊥AB， ∴CE∥FB， ∴△ACE∽△AFB， ∴ CE AE BF AB  ， 2 2 2 6BF  ， ∴ 6 2BF  8. （2011 浙江省嘉兴，22，12 分）如图，△ABC 中，以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D， ∠ACD=∠ABC． （1）求证：CA 是圆的切线； （2）若点 E 是 BC 上一点，已知 BE=6，tan∠ABC= 3 2 ，tan∠AEC= 3 5 ，求圆的直径． （第 22 题） A B CE D [来源:学_科_网] 【答案】（1）∵BC 是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC， ∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA 是圆的切线． (2)在 Rt△AEC 中，tan∠AEC= 5 3 ，∴ 5 3 AC EC  , 3 5EC AC ; 在 Rt△ABC 中，tan∠ABC= 2 3 ，∴ 2 3 AC BC  , 3 2BC AC ; ∵BC-EC=BE，BE=6，∴ 3 3 62 5AC AC  ,解得 AC= 20 3 , ∴BC= 3 20 102 3   ．即圆的直径为 10. 9. （2011 广东株洲，22，8 分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点 E， D 为 AC 上一点，∠AOD=∠C． （1）求证：OD⊥AC； （2）若 AE=8， 3tan 4A  ，求 OD 的长． 【答案】（1）证明：∵BC 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径 ∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°， 又∵∠AOD=∠C， ∴∠AOD+∠A=90°， ∴∠ADO=90°， ∴OD⊥AC. （2）解：∵OD⊥AE，O 为圆心， ∴D 为 AE 中点 ， ∴ 1AD= AE=42 ， 又 3tan 4A  ，∴ OD=3. 10．（2011 山东济宁，20，7 分）如图，AB 是⊙ O 的直径，AM 和 BN 是它的两条切线， DE 切⊙O 于点 E，交 AM 于点 D，交 BN 于点 C，F 是 CD 的中点，连接 OF， （1）求证：OD∥BE； （2）猜想：OF 与 CD 有何数量关系？并说明理由． 第 20 题 【答案】（1）证明：连接 OE， ∵AM、DE 是⊙O 的切线，OA、OE 是⊙O 的半径， ∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°， ∴∠AOD=∠EOD= 1 2 ∠AOE， ∵∠ABE= 1 2 ∠AOE，∴∠AOD=∠ABE， ∴OD∥BE （2）OF= 1 2 CD， 理由：连接 OC， ∵BC、CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCB=∠OCE ∵AM∥BN， ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得∠ADO=∠EDO， ∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90° 在 Rt△DOC 中，∵F 是 DC 的中点， ∴OF= 1 2 CD． 第 20 题 11. （2011 山东聊城，23，8 分）如图，AB 是半圆的直径，点 O 是圆心，点 C 是 OA 的中 点，CD⊥OA 交半圆于点 D，点 E 是 BD 的中点，连接 OD、AE，过点 D 作 DP∥AE 交 BA 的延长线于点 P， （1）求∠AOD 的度数； （2）求证：PD 是半圆 O 的切线； 【答案】（1）∵点 C 是 OA 的中点，∴OC＝ 2 1 OA＝ 2 1 OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝ 90°，在 Rt △ OCD 中，cos∠COD＝ 2 1 OD OC ，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°， （2）证明：连接 OC，点 E 是 BD 弧的中点，DE 弧＝BE 弧，∴∠BOE＝∠DOE＝ 2 1 ∠DOB ＝ 2 1 (180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB ＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠ PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD 是圆 O 的切线 12. （2011 山东潍坊，23，11 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，AB=2.射线 AM、BN 为半圆 的切线.在 AM 上取一点 D，连接 BD 交半圆于点 C，连接 AC.过 O 点作 BC 的垂线 OE， 垂足为点 E，与 BN 相交于点 F.过 D 点做半圆的切线 DP，切点为 P，与 BN 相交于点 Q. （1）求证：△ABC∽ΔOFB； （2）当ΔABD 与△BFO 的面积相等时，求 BQ 的长； （3）求证：当 D 在 AM 上移动时（A 点除外），点 Q 始终是线段 BF 的中点. 【解】（1）证明：∵AB 为直径， ∴∠ACB=90°，即 AC⊥BC. 又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB. ∵BN 是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°. ∴△ACB∽△OBF. （2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°， ∴△ABD∽△BFO， 当△ABD 与△BFO 的面积相等时，△ABD≌△BFO. ∴AD=BO= 1 2 AB =1. ∵DA⊥AB，∴DA 为⊙O 的切线. 连接 OP，∵DP 是半圆 O 的切线， ∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1， ∴四边形 ADPO 为正方形. ∴DP//AB，∴四边形 DABQ 为矩形. ∴BQ=AD=1. （3）由（2）知，△ABD∽△BFO， ∴ BF AB OB AD  ，∴ 2BF AD  . ∵DPQ 是半圆 O 的切线，∴AD=DP，QB=QP. 过点 Q 作 AM 的垂线 QK，垂足为 K，在 Rt△DQK 中， 2 2 2DQ QK DK  ， ∴   2 2 22AD BQ AD BQ    ， ∴ 1BQ AD  ，∴BF=2BQ，∴Q 为 BF 的中点. 13. （2011 四川广安，29，10 分）如图 8 所示．P 是⊙O 外一点．PA 是⊙O 的切线．A 是切 点．B 是⊙O 上一点．且 PA=PB，连接 AO、BO、AB，并延长 BO 与切线 PA 相交于点 Q． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）求证： AQ·PQ= OQ·BQ； （3）设∠AOQ= ．若 cos = 4 5 ．OQ= 15．求 AB 的长 _Q _P _O _B _A 图 8 【答案】（1）证明：如图，连结 OP ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO ∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90° ∴PB 是⊙O 的切线 （2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90° ∴△QPB∽  QOA ∴ PQ BQ OQ AQ  即 AQ·PQ= OQ·BQ （3）解：cos = AO OQ = 4 5 ∴AO=12[来源:Z.xx.k.Com] ∵△QPB∽  QOA ∠BPQ=∠AOQ= ∴tan∠BPQ= BQ PB = 3 4 ∴PB=36 PO=12 10 ∵ 1 2 AB·PO= OB·BP ∴AB= 36 105 _Q _P _O _B _A 图 8 14. （2011 江苏淮安，25，10 分）如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心 O，交⊙O 于点 C， ∠DAB=∠B=30°. (1)直线 BD 是否与⊙O 相切？为什么？(2)连接 CD，若 CD=5，求 AB 的长. 【答案】(1)答：直线 BD 与⊙O 相切.理由如下： 如图，连接 OD， ∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°， ∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°， 即 OD⊥BD， ∴直线 BD 与⊙O 相切. (2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°， ∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°， 又∵OC=OD， ∴△DOB 是等边三角形， ∴OA=OD=CD=5. 又∵∠B=30°，∠ODB=30°， ∴OB=2OD=10. ∴AB=OA+OB=5+10=15.[来源:学科网][来源:学。科。网 Z。X。X。K] 15. （2011 江苏南通，22，8 分）（本小题满分 8 分） 如图，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，BD⊥AM 于点 D，BD 交⊙O 于 C，OC 平分∠AOB. 求∠B 的度数. 【答案】60°. 16. （2011 四川绵阳 22，12）如图，在梯形 ABCD 中，AB//CD，∠BAD=90°，以 AD 为直 径的 半圆 O 与 BC 相切. (1)求证：OB 丄 OC; (2)若 AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O1 与半⊙O 外切，并与 BC、CD 相切，求⊙O1 的面积. 【答案】（1）证明：连接 OF,在梯形 ABCD，在直角△AOB 和直角△AOB F 中 ∵ AO=FO OB=OB ∴△AOB≌△AOB（HL） 同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即 OB⊥OC (2) 过点做 O1G,O1H 垂直 DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设 O1G=x,又∵ AD=12,∴OD=6，DC=6 3,OC=12,CG= 3x, O1C =6-x,根据勾股定理可知 O1G²+GC²=O1C² x²+3x²=（6-x）²∴(x-2)(x+6)=0,x=2 17. （2011 四川乐山 24，10 分）如图，D 为  O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且 ∠CDA=∠CBD. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)过 点 B 作  O 的 切 线 交 CD 的 延 长 线 于 点 E, 若 BC=6,tan∠CDA= 2 3 , 求 BE 的 长 【答案】 ⑴证明：连接 OD ∵OA=OD ∴∠ADO=∠OAD ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADO+∠BDO=90° ∴在 RtΔABD 中，∠ABD+∠BAD=90° ∵∠CDA=∠CBD ∴∠CDA+∠ADO=90° ∴OD⊥CE 即 CE 为⊙O 的切线 18. （2011 四川凉山州，27，8 分）如图，已知 ABC△ ，以 BC 为直径，O 为圆心的半圆 交 AC 于点 F ，点 E 为 CF 的中点，连接 BE 交 AC 于点 M ，AD 为△ABC 的角平分线， 且 AD BE ，垂足为点 H 。 （1） 求证： AB 是半圆O 的切线； （2） 若 3AB  ， 4BC  ，求 BE 的长。 B D A O A H A C A E AM A F A A 27 题图 【答案】 ⑴证明：连接 EC ， ∵ BC 是直径 ∴ 90E   有∵ AD BE 于 H ∴ 90AHM   ∵ 1 2   ∴ 3 4   ∵ AD 是 ABC△ 的角平分线 ∴ 4 5 3     又 ∵ E 为 CF 的中点 ∴ 3 7 5     ∵ AD BE 于 H ∵ 5 6 90     即 6 7 90     又∵ BC 是直径 ∴ AB 是半圆O 的切线 ···4 分 （2）∵ 3AB  ， 4BC  。 由（1）知， 90ABC   ，∴ 5AC  。 在 ABM△ 中， AD BM 于 H ， AD 平分 BAC ， ∴ 3AM AB  ，∴ 2CM  。 由 CME△ ∽ BCE△ ，得 1 2 EC MC EB CB   。 ∴ 2EB EC ， ∴ 8 55BE  。 19. （2011 江苏无锡，27，10 分）(本题满分 10 分)如图，已知 O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。 动点 P 从 O 点出发，以每秒 3 个单位的速度，沿△OAB 的边 OA、AB、BO 作匀速运动； 动直线 l 从 AB 位置出发，以每秒 1 个单位的速度向 x 轴负方向作匀速平移运动。若它 们同时出发，运动的时间为 t 秒，当点 P 运动到 O 时，它们都停止运动。[来源:学科网 ZXXK] (1)当 P 在线段 OA 上运动时，求直线 l 与以点 P 为圆心、1 为半径的圆相交时 t 的取值 范围； (2)当 P 在线段 AB 上运动时，设直线 l 分别与 OA、OB 交于 C、D，试问：四边形 CPBD 是否可能为菱形？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直 线 l 的出发时间，使得四边形 CPBD 会是菱形。 y O xA B 【答案】 解：(1)当点 P 在线段 OA 上时，P(3t，0)，………………………………………………………… (1 分) ⊙P 与 x 轴的两交点坐标分别为(3t − 1，0)、(3t + 1，0)，直线 l 为 x = 4 − t， 若直线 l 与⊙P 相交，则 3t − 1 < 4 − t， 4 − t < 3t + 1．……………(3 分) 解得：3 4 < t < 5 4 ．……………………………………………………………………(5 分) (2)点 P 与直线 l 运动 t 秒时，AP = 3t − 4，AC = t．若要四边形 CPBD 为菱形，则 CP // OB， ∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽ Rt△ABO，∴AP AB = AC AO ，∴3t − 4 3 = t 4 ，解得 t = 16 9 ，……(6 分) 此时 AP = 4 3 ，AC = 16 9 ，∴PC = 20 9 ，而 PB = 7 − 3t = 5 3 ≠ PC， 故四边形 CPBD 不可能时菱形．……………………………………………(7 分) (上述方法不唯一，只要推出矛盾即可) 现改变直线 l 的出发时间，设直线 l 比点 P 晚出发 a 秒， 若 四 边 形 CPBD 为 菱 形 ， 则 CP // OB ， ∴△APC ∽ △ABO ， AP AB = PC BO = AC AO ， ∴3t − 4 3 = 7 − 3t 5 = t − a 4 ， 即： 3t − 4 3 = 7 − 3t 5 ， 3t − 4 3 = t − a 4 ． ，解得 t = 41 24 a = 5 24 ∴ 只 要 直 线 l 比 点 P 晚 出 发 5 24 秒 ， 则 当 点 P 运 动 41 24 秒 时 ， 四 边 形 CPBD 就 是 菱 形．………………(10 分) 20．（2011 湖北武汉市，22，8 分）（本题满分 8 分）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．过 A 作 OP 的垂线 AB，垂足为点 C，交⊙O 于点 B．延长 BO 与⊙O 交于点 D，与 PA 的延长 线交于点 E． （1）求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若 tan∠ABE= 2 1 ，求 sinE 的值． 【答案】(本题 8 分)（1）证明：连接 OA ∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠PAO=90° ∵OA＝OB，OP⊥AB 于 C ∴BC＝CA，PB＝PA ∴△PBO≌△PAO ∴∠PBO＝∠PAO＝90° ∴PB 为⊙O 的切线 （2）解法 1：连接 AD，∵BD 是直径，∠BAD＝90° 由（1）知∠BCO＝90° ∴AD∥OP ∴△ADE∽△POE ∴EA/EP＝AD/OP 由 AD∥OC 得 AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2，设 OC ＝t,则 BC＝2t,AD=2t 由△PBC∽△BOC，得 PC＝2BC＝4t，OP＝ 5t ∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设 EA＝2m,EP=5m,则 PA=3m ∵PA=PB∴PB=3m ∴sinE=PB/EP=3/5 （2）解法 2：连接 AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由 AD∥OC，∴AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设 OC＝t，BC＝2t，AB=4t 由△PBC∽△BOC，得 PC＝2BC ＝4t， ∴PA＝PB＝2 5 t 过 A 作 AF⊥PB 于 F，则 AF·PB=AB·PC ∴AF= 5 58 t 进而由勾股定理得 PF＝ 5 56 t ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5 21. （2011 湖南衡阳，24，8 分）如图，△ABC 内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB 且与 OA 的 延长线交与点 D． (1)判断 CD 与⊙O 的位置关系并说明理由； (2)若∠ACB=120°，OA=2，求 CD 的长． 【解】 (1) CD 与⊙O 的位置关系是相切，理由如下： 作直径 CE，连结 AE． ∵CE 是直径， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°， ∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E， ∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°， ∴OC⊥D C，∴CD 与⊙O 相切． （2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B， 又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°， ∵OA=OC，∴△OAC 是等边三角形， ∴∠DOA=60°， ∴在 Rt△DCO 中， tanDC DOAOC   = 3 ， ∴DC= 3 OC= 3 OA=2 3 ． 22. （2011 湖南永州，23，10 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 是⊙O 上一点（不与 A，B 重合），连接 AC，BC，过点 O 作 OD∥AC 交 BC 于点 D，在 OD 的延长线上取一点 E，连接 EB，使∠OEB=∠ABC． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线； ⑵若 OA=10，BC=16，求 BE 的长． E O C D B A （第 25 题图） 【答案】证明：⑴∵AB 是半圆 O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90° 又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90° ∵AB 是半圆 O 的直径 ∴BE 是⊙O 的切线 ⑵在 ABCRt 中，AB=2OA=20，BC=16，∴ 121620 2222  BCABAC ∴ 3 4 12 16tan  AC BCA ∴ 3 4tan  OB BEBOE ∴ 3 113103 4 3 4  OBBE ． 23. （2011 江苏盐城，25，10 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，以 AB 上一点 O 为圆心， OA 长为半径的圆与 BC 相切于点 D，分别交 AC、AB 于点 E、F． （1）若 AC=6，AB=10，求⊙O 的半径； （2）连接 OE、ED、DF、EF．若四边形 BDEF 是平行四边形，试判断四边形 OFDE 的形状，并说明理由． 【答案】（1）连接 OD. 设⊙O 的半径为 r. ∵BC 切⊙O 于点 D，∴OD⊥BC. ∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC. ∴OD AC = OB AB ，即 r 6 = 10-r 10 . 解得 r = 15 4 ， ∴⊙O 的半径为15 4 . (2)四边形 OFDE 是菱形. ∵四边形 BDEF 是平行四边形，∴∠DEF=∠B. ∵∠DEF=1 2 ∠DOB，∴∠B=1 2 ∠DOB.[来源:Zxxk.Com] ∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°. ∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE 是等边三角形. ∴ OD=DE. ∵ OD=OF ， ∴ DE=OF. ∴ 四 边 形 OFDE 是 平 行 四 边 形 . ∵OE=OF，∴平行四边形 OFDE 是菱形. 24. (20011 江苏镇江 27,9 分)在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 3 34y x  的图象是直线 1 2,l l 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点.直线 2l 过点 C(a,0)且与 1l 垂直,其中 a>0,点 P、Q 同时从 A 点出发,其中点 P 沿射线 AB 运动,速度为每秒 4 个单位;点 Q 沿射线 AO 运动,速度为 每秒 5 个单位. (1)写出 A 点的坐标和 AB 的长; (2)当点 P、Q 运动了 t 秒时,以点 Q 为圆心,PQ 为半径的⊙Q 与直线 2l 、y 轴都相切,求此时 a 的值. 答案:(1)A(-4,0),AB=5. (2)由题意得：AP=4t,AQ=5t, AP AQ tOA OB   ,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB. ∴∠APQ=∠AOB=90°。 ∵点 P 在 1l 上，∴⊙Q 在运动过程中保持与 1l 相切。 ①当⊙Q 在 y 轴右侧与 y 轴相切时，设 1l 与⊙Q 相切于 F，由△APQ∽△AOB 得 4 3 5 PQ PQ ,∴PQ=6, 连接 QF，则 QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB 得 QF QC OA AB  . ∴ PQ QC OA AB  , 6 4 5 QC ,∴QC=15 2 ,a=OQ+QC= 27 2 . ②当⊙Q 在 y 轴左侧与 y 轴相切时，设 1l 与⊙Q 相切于 E, 由△APQ∽△AOB 得 4 3 5 PQ PQ ,∴PQ= 3 2 . 连接 QE，则 QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB 得 QF QC OA AB  ，∴ QF QC OA AB  ， 3 2 4 5 QC ， ∴QC=15 8 ,a=QC-OQ= 3 8 .∴a 的值为 27 2 和 3 8 。 25. （2011 广东湛江 27,12 分）如图，在 Rt ABC 中， 90C   ，点 D 是 AC 的中点，且 90A CDB     ,过点 ,A D 作 O ，使圆心 O 在 AB 上， O 与 AB 交于点 E ． （1）求证：直线 BD 与 O 相切； （2）若 : 4:5, 6AD AE BC  ,求 O 的直径． 【答案】（1）证明：连接 OD，在 AOD 中，OA=OD， 所以 A ODA   ， 又因为 90A CDB     ， 所以 90ODA CDB     ，所以 180 90 90BDO       ，即 OD BD ， 所以 BD 与 O 相切； （2）由于 AE 为直径，所以 90ADE   ,由题意可知 //DE BC ,又点 D 是 AC 的中点，且 : 4:5, 6AD AE BC  ，所以可得 5AE  ，即 O 的直径为 5. 26. （2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与 边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E． ⑴求证：点D是AB的中点； ⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； ⑶若⊙O的直径为18，cosB = 3 1 ，求DE的长． 第 26 题图 【答案】（1）证明：连接 CD,则 CD AB ， 又∵AC = BC， CD = CD， ∴ ACDRt ≌ BCDRt ∴AD = BD ， 即点 D 是 AB 的中点． 第 26 题图 （2）DE 是⊙O 的切线 ． 理由是：连接 OD, 则 DO 是△ABC 的中位线，∴DO∥AC ， 又∵DE AC ； ∴DE DO 即 DE 是⊙O 的切线； （3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A ， ∴cos∠B = cos∠A = 3 1 ， ∵ cos∠B = 3 1 BC BD ， BC = 18， ∴BD = 6 ， ∴AD = 6 ， ∵ cos∠A = 3 1 AD AE ， ∴AE = 2， 在 AEDRt 中，DE= 2422  AEAD ． 27. （2011 河北，25，10 分）如图 14-1 至 14-4 中，两平行线 AB,CD 间的距离为 6，点 M 为 AB 上一定点. 思考 如图 14-1，圆心为 O 的半圆纸片在 AB,CD 之间（包括 AB,CD），其直径 MN 在 AB 上，MN=8，点 P 为半圆上一点，设∠MOP=α. 当α= 度时，点 P 到 CD 的距离最小，最小值为 。 探究一 在图 14-1 的基础上，以点 M 为旋转中心，在 AB,CD 之间顺时针旋转该半圆纸片，直到 不能再转动为止，如图 14-2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点 N 到 CD 的距离是 探究二 将图 14-1 中的扇形纸片 NOP 按下面对α要求剪掉，使扇形纸片 MOP 绕点 M 在 AB,CD 之间顺时针旋转。 （1）如图 14-3，当α=60°时，球在旋转过程中，点 p 到 CD 的最小距离，并请指出旋 转角∠BMO 的最大值； （2）如图 14-4，在扇形纸片 MOP 旋转过程中，要保证点 P 能落在直线 CD 上，请确 定α的取值范围. （参考数据：sin49°= 4 3 ,cos41°= 4 3 ，tan37°= 4 3 ） 【答案】思考 90，2； 探究一 30，2； 探究二 （1）由已知得 M 与 P 的距离为 4，∴当 MP⊥AB 时，点 P 到 AB 的最大距离为 4，从而点 P 到 CD 的最小距离为 6-4=2.当扇形 MOP 在 AB,CD 之间旋转到不能再转时，弧 MP 与 AB 相切， 此时旋转角最大，∠BMO 的最大值为 90°。 （2）如图，由探究一可知，点 P 是弧 MP 与 CD 的切点时，α达到最大，即 OP⊥CD。此时延 长 PO 交 AB 于点 H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。 如图，当点 P 在 CD 上且与 AB 距离最小时，MP⊥CD,α达到最小，连接 MP，作 OH⊥MP 于点 H，由垂径定理，得 MH=3，在 Rt△MOH 中，MO=4，∴sin∠MOH= 4 3 OH MH ，∴∠MOH=49° ，∵α=2∠MOH，∴α最小值为 98°。∴α的取值范围是 98°≤α≤120°。 一、选择题 1．(2010 江苏苏州)如图，已知 A、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为 (－1，0)，半径为 1．若 D 是⊙C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则△ABE 面积的最小值是 A．2 B．1 C． 22 2  D． 2 2 【答案】：C 2．（2010 甘肃兰州）如图，正三角形的内切圆半径为 1，那么这个正三角形的边长为 A． 2 B．3 C． 3 D． 2 3 【答案】D 3．（2010 山东青岛）如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点 C 为 圆心，以 2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与 AB 的位置关系是（ ）． A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 BC A 第 6 题图 A CB D 图(四) 【答案】B 4．（2010 四川眉山）下列命题中，真命题是 A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．圆的切线垂直于经过切点的半径 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 【答案】C 5．（2010 台湾） 图(四)为△ABC 和一圆的重迭情形，此圆与直线 BC 相切于 C 点， 且与 AC 交于另一点 D。若A=70，B=60，则CD 的度数为何？ (A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。 【答案】C 6．（2010 嵊州市）如图,点 B 是线段 AC 的中点,过点 C 的直线l 与 AC 成 60°的角,在直线l 上取一点 p ,使∠APB=30°,则满足条件的点有几个 ( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.不存在 【答案】B 7．（2010 浙江省温州）如图，在 AABC 中，AB=BC=2，以 AB 为直径的⊙0 与 BC 相切于点 B， 则 AC 等于(▲) A． 2 B． 3 c．2 2 D．2 3 【答案】C 8．（2010 四川南充）如图，直线 l1∥l2，⊙O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点 B．点 M 和点 l1 l2 A B M N O （第 10 题） 1 N 分别是 l1 和 l2 上的动点，MN 沿 l1 和 l2 平移．⊙O 的半径为 1，∠1＝60°．下列结论错误．． 的是（ ）． （A） 4 3 3MN  （B）若 MN 与⊙O 相切，则 3AM  （C）若∠MON＝90°，则 MN 与⊙O 相切 （D）l1 和 l2 的距离为 2 【答案】B 9．（2010 广东珠海）如图，PA、PB 是 O 的切线，切点分别是 A、B，如果∠P＝60°, 那么∠AOB 等于（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】 D 10．（2010 四川眉山）下列命题中，真命题是 A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．圆的切线垂直于经过切点的半径[来源:学科网 ZXXK] D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 【答案】C 11．（2010 湖南娄底）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3 为半径的圆，一定（ ） A.与 x 轴相切，与 y 轴相切 B.与 x 轴相切，与 y 轴相 C.与 x 轴相交，与 y 轴相切 D.与 x 轴相交，与 y 轴相 【答案】C 12．（2010 内蒙赤峰）如图，⊙O 的圆心到直线 l 的距离为 3cm，⊙O 的半径为 1cm，将直 线 l 向 右 （ 垂 直 于 l 的 方 向 ） 平 移 ， 使 l 与 ⊙O 相 切 ， 则 平 移 的 距 离 是 （ ） A．1 cm， B．2 cm， C．4cm， D．2 cm 或 4cm 【答案】D 二、填空题 1．（2010 江苏南京） 如图，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆的切线，C 为切点，若两圆的半径分别为 3cm 和 5cm，则 AB 的长为 cm。 【答案】8 2．（2010 浙江杭州）如图, 已知△ ABC , 6 BCAC ，  90C ．O 是 AB 的中点， ⊙ O 与 AC，BC 分别相切于点 D 与点 E ．点 F 是⊙O 与 AB 的一 个交点，连 DF 并延长交CB 的延长线于点G . 则CG  . 【答案】3 3 2 3．（2010 浙江义乌）已知直线l 与⊙O 相切，若圆心 O 到直线l 的距离是 5，则⊙O 的半 径是 ▲ ． 【答案】5 4．（2010 重庆）已知⊙O 的半径为 3 cm ，圆心 O 到直线l 的距离是 4 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关是 ． 【答案】相离 5．（2010 重庆市潼南县）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6 ， BC=4， ⊙O 是以 AB 为直 径的圆，则直线 DC 与⊙O 的位置关系是 . 【答案】相离 6．（2010 浙江金华）如图在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F，O 分别是 AB，CD，AD 的中点， 以 O 为圆心，以 OE 为半径画弧 EF.P 是 上的一个动点，连 结 OP，并延长 OP 交线段 BC 于点 K，过点 P 作⊙O 的切线，分别交射线 AB 于点 M，交直线 BC 于点 G. A O D B F K E ( 第 16 题 G M C K 若 3 BM BG ，则 BK﹦ ▲ . 【答案】 3 1 , 3 5 7．（2010 湖南怀化）如图 6，已知直线 AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点 C， 点 D 在⊙O 上，且∠OBA=40°，则∠ADC= ． 【答案】 25 8．（2010 山东泰安）如图，直线 AB 与半径为 2 的⊙O 相切于点 C,点 D、E、F 是⊙O 上 三个点，EF∥AB， 若 EF=2 3 ，则∠EDC 的度数为 。 【答案】30° 9．（2010 河南）如图，AB 切⊙O 于点 A，BO 交⊙O 于点 C，点 D 是 ACm 异于点 C、A 的一 点，若∠ABO= 032 ,则∠ADC 的度数是 . O D CBA (第 12 题) 【答案】29° 10．（2010 湖北孝感）P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，∠APB=50°， 点 C 为⊙O 上一点（不与 A、B）重合，则∠ACB 的度数为 。 【答案】  11565 或 11．（2010 四川泸州）如图 7,已知⊙O 是边长为 2 的等边△ABC 的内切圆,则⊙O 的面积为 __________. 【答案】 3  12．（2010 山东淄博）如图，D 是半径为 R 的⊙O 上一点，过点 D 作⊙O 的切线交直 径 AB 的延长线于点 C，下列四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC ＝ 3 R．其中,使得 BC＝R 的有 （A）①② （B）①③④ （C）②③④ （D）①②③④ 【答案】D 13．（2010 青海西宁）如图 2，已知在直角坐标系中，半径为 2 的圆的圆心坐标为（3，-3）， (第 13 题图) 第 19 题 A B O D 当该圆向上平移 个单位时，它与 x 轴相切. 【答案】116° 14．（2010 广东茂名）如图，已知 AD 为⊙O 的切线，⊙O 的直径 AB＝2，弦 AC＝1， 则∠CAD＝ ． 【答案】30o 15．（2010 广西百色）如图，⊙ O 的直径为 20 cm ，弦 cmAB 16 , ABOD  ，垂足为 D . 则 AB 沿射线 OD 方向平移 cm 时可与⊙ O 相切. 【答案】4 三、解答题 1．(2010 江苏苏州) (本题满分 9 分)如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC．O 是 CD 边的 中点，以 O 为圆心，OC 长为半径作圆，交 BC 边于点 E．过 E 作 EH⊥AB，垂足为 H．已 知⊙O 与 AB 边相切，切点为 F (1)求证：OE∥AB； (2)求证：EH= 1 2 AB； (3)若 1 4 BH BE  ，求 BH CE 的值． 【答案】 2．（2010 安徽蚌埠）已知⊙O 过点 D（3，4）,点 H 与点 D 关于 x 轴对称，过 H 作⊙O 的 切线交 x 轴于点 A 。 ⑴ 求 HAOsin 的值； ⑵ 如图，设⊙O 与 x 轴正半轴交点为 P ，点 E 、 F 是线段OP 上的动点（与点 P 不 重合），连接并延长 DE 、DF 交⊙ O 于点 B 、C ，直线 BC 交 x 轴于点G ，若 DEF 是 以 EF 为底的等腰三角形，试探索 CGOsin 的大小怎样变化，请说明理由。 x y H A D O O C PF y G D E x B 【答案】 ⑴ （2）试探索 CGOsin 的大小怎样变化，请说明理由. 解：当 E 、 F 两点在OP 上运动时（与点 P 不重合）， CGOsin 的值不变 过点 D 作 EFDM  于 M ，并延长 DM 交 O 于 N ，连接ON ， 交 BC 于T 。 因为 DEF 为等腰三角形， EFDM  ， 所以 DN 平分 BDC 所以弧 BN=弧 CN，所以 BCOT  ， 所以 MNOCGO  所以 CGOsin = 5 3sin  ON OMMNO 即当 E 、 F 两点在OP 上运动时（与点 P 不重合）， CGOsin 的值不变。 3．（2010 安徽芜湖）（本小题满分 12 分） 如图，BD 是⊙O 的直径，OA⊥OB，M 是劣弧AB⌒上一点，过点 M 点作⊙O 的切线 MP 交 OA 的延长线于 P 点，MD 与 OA 交于 N 点． （1）求证：PM＝PN； （2）若 BD＝4，PA＝ 3 2 AO，过点 B 作 BC∥MP 交⊙O 于 C 点，求 BC 的长． 【答案】 B O C PF y G D E xM NT 5 3sin  AO HOHAO C P D O BA E 4．（2010 广东广州，24，14 分）如图，⊙O 的半径为 1，点 P 是⊙O 上一点，弦 AB 垂直 平分线段 OP，点 D 是 APB 上任一点（与端点 A、B 不重合），DE⊥AB 于点 E，以点 D 为圆心、DE 长为半径作⊙D，分别过点 A、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点 C． （1）求弦 AB 的长； （2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为 S，若 2 S DE ＝4 3 ，求△ABC 的周长. F C P D O BA E H G F C P D O BA E H G 【答案】解：（1）连接 OA，取 OP 与 AB 的交点为 F，则有 OA＝1． ∵弦 AB 垂直平分线段 OP，∴OF＝ 1 2 OP＝ 1 2 ，AF＝BF． 在 Rt△OAF 中，∵AF＝ 2 2OA OF ＝ 2 211 ( )2  ＝ 3 2 ，∴AB＝2AF＝ 3 ． （2）∠ACB 是定值. 理由：由（1）易知，∠AOB＝120°， 因为点 D 为△ABC 的内心，所以，连结 AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA， 因为∠DAE＋∠DBA＝ 1 2 ∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°； （3）记△ABC 的周长为 l，取 AC，BC 与⊙D 的切点分别为 G，H，连接 DG，DC， DH，则有 DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC. ∴ ABD ACD BCDS S S S     ＝ 1 2 AB•DE＋ 1 2 BC•DH＋ 1 2 AC•DG＝ 1 2 (AB＋BC＋AC) •DE＝ 1 2 l•DE． ∵ 2 S DE ＝4 3 ，∴ 2 1 2 l DE DE  ＝4 3 ，∴l＝8 3 DE. ∵CG，CH 是⊙D 的切线，∴∠GCD＝ 1 2 ∠ACB＝30°， ∴在 Rt△CGD 中，CG＝ tan30 DG  ＝ 3 3 DE ＝ 3 DE，∴CH＝CG＝ 3 DE． 又由切线长定理可知 AG＝AE，BH＝BE， ∴l＝AB＋BC＋AC＝2 3 ＋2 3 DE＝8 3 DE，解得 DE＝ 1 3 ， ∴△ABC 的周长为 8 3 3 ． 5．（2010 甘肃兰州）（本题满分 10 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过 点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC= 2 1 AB； （3）点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N，若 AB=4，求 MN·MC 的值. 【答案】 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1 分 ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2 分 ∴∠PCB+∠OCB=90°,即 OC⊥CP …………………………………………3 分 ∵OC 是⊙O 的半径 ∴PC 是⊙O 的切线 …………………………………………………4 分 （2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5 分 ∴BC=OC ∴BC= 2 1 AB ………………………………………………………6 分 (3)连接 MA,MB ∵点 M 是弧 AB 的中点 ∴弧 AM=弧 BM ∴∠ACM=∠BCM ………7 分 ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB ∴ BM MN MC BM  ∴BM2=MC·MN ……………………8 分 ∵AB 是⊙O 的直径，弧 AM=弧 BM ∴∠AMB=90°,AM=BM ∵AB=4 ∴BM= 22 ………………………………………………………9 分 ∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10 分 6．（2010 山东日照）如图，在△ABC 中，AB=AC， 以 AB 为直径的⊙O 交 AC 与 E，交 BC 与 D．求证： （1）D 是 BC 的中点； （2）△BEC∽△ADC； （3）BC2=2AB·CE． 【答案】 （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90° ， 即 AD 是底边 BC 上的高． ………………………………………1 分 又∵AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形， ∴D 是 BC 的中点；………… ……………………………………………3 分 (2) 证明：∵∠CBE 与∠CAD 是同弧所对的圆周角， ∴ ∠CBE=∠CAD．…………………………………………………5 分 又∵ ∠BCE=∠ACD， ∴△BEC∽△ADC；…………………………………………………6 分 （3）证明：由△BEC∽△ADC，知 BC CE AC CD  ， 即 CD·BC=AC·CE． …………………………………………………8 分 ∵D 是 BC 的中点，∴CD= 2 1 BC． 又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE= 2 1 BC ·BC=AB·CE 即 BC 2 =2AB·CE．……………………………………………………10 分 7．（2010 山东烟台）（本题满分 10 分） 如图以△ABC 的一边 AB 为直径作⊙O，⊙O 与 BC 边的交点 D 恰好为 BC 的中点，过点 D 作⊙O 的切线交 AC 边于点 E。 （1）求证：DE⊥AC； （2）若∠ABC=30°，求 tan∠BCO 的值。 【答案】 8．（2010 山东威海）如图，在□ABCD 中，∠DAB＝60°，AB＝15 ㎝．已知⊙O 的半 径等于 3 ㎝，AB，AD 分别与⊙O 相切于点 E，F．⊙O 在□ABCD 内沿 AB 方向滚动，与 BC 边相切时运动停止．试求⊙O 滚过的路程． 【答案】 解：连接 OE，OA．……………………1 分 ∵ AB，AD 分别与⊙O 相切于点 E，F． ∴ OE⊥AB，OE=3 ㎝．………………2 分 ∵ ∠DAB＝60°， ∴ ∠OAE＝30°． ……………………3 分 在 Rt△AOE 中，AE= 3 3 3tan tan 30 OE OAE   ㎝． …………………………………5 分 ∵ AD∥BC，∠DAB＝60°， C A B D O F E C A B D O F E M N O ∴ ∠ABC＝120°． ……………………………………………………………………6 分 设当运动停止时，⊙O 与 BC，AB 分别相切于点 M，N，连接 ON，OB． ……………7 分 同理可得 BN= 3 ㎝. …………………………………………………………………9 分 ∴ )3415(33315  BNAEABEN ㎝． ∴ ⊙O 滚过的路程为  3415  ㎝． …………………………………………………10 分 9．（2010 四川凉山）如图， B 为线段 AD 上一点， ABC△ 和 BDE△ 都是等边三角形， 连接CE 并延长，交 AD 的延长线于 F ，错误！未找到引用源。的外接圆 O 交CF 于点 M 。 （1） 求证： BE 是 O 的切线； （2） 求证： 2AC CM CF  ； （3） 若 过点 D 作 DG∥BE 交 EF 于点 G，过 G 作 GH∥DE 交 DF 于点 H ，则易 知 DHG△ 是等边三角形；设等边错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、 错误！未找到引用源。的面积分别为 1S 、 2S 、 3S ，试探究错误！未找到引用源。 之间的数量关系，并说明理由。 【答案】 A B C D E M F O 第 26 题图 O BA CEM D 10．（2010 浙江义乌）如图，以线段 AB 为直径的⊙O 交线段 AC 于点 E ，点 M 是 AE 的 中点，OM 交 AC 于点 D ， 60BOE  °， 1cos 2C  ， 2 3BC  ． （1）求 A 的度数； （2）求证：BC 是⊙O的切线； （3）求 M D 的长度． 【答案】解：（1）∵∠BOE=60° ∴∠A ＝ 1 2 ∠BOE ＝ 30° （2）在△ABC 中 ∵ 1cos 2C  ∴∠C=60°…1 分 又∵∠A ＝30° ∴∠ABC=90°∴ AB BC ∴BC 是⊙O 的切线 （3）∵点 M 是 AE 的中点 ∴OM⊥AE 在Rt△ABC中 ∵ 2 3BC  ∴AB= tan60 2 3 3BC     6……2分 ∴OA= 32 AB  ∴OD= 1 2 OA  3 2 ∴MD= 3 2 11．（2010 山东聊城）如图，已知 Rt△ABC，∠ABC＝90º，以直角边 AB 为直径作⊙O，交 斜边 AC 于点 D，连结 BD． （1）若 AD＝3，BD＝4，求边 BC 的长； （2）取 BC 的中点 E，连结 ED，试证明 ED 与⊙O 相切． 【答案】（1）∵AB 是直径，∴∠CDB＝90º，∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5，∵∠CDB ＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，∴ AD DB AB BC  ，∴ 3 4 5 BC ＝ ，∴ 20 3 BC  ． （2）证明：连结 OD，在 Rt△BDC 中，∵E 是 BC 的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE， 又 OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，又∵∠OBD+∠DBC＝90º，∠C+∠DBC＝90º，∴∠BDO ＝∠CDE，∵AB 是直径，∴∠ADB＝90º，∴∠BDC＝90º，∴∠BDE+∠CDE＝90º，∠BDO ＝∠CDE，∴∠BDE+∠BDO＝90º，∴∠ODE＝90º，∴ED 与⊙O 相切． 12．（2010 福建德化）（9 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为 半径的圆 O 与 AD、AC 分别交于点 E、F，且∠ACB=∠DCE． (1)判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若 tan∠ACB= 2 2 ，BC=2，求⊙O 的半径． FE O D C BA 【答案】解：（1）直线 CE 与⊙O 相切。 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC ， 又 ∵∠ACB=∠DCE ∴∠DAC=∠DCE,连接 OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90 0 ∴∠AE0+∠DEC=90 0 ∴∠OEC=90 0 ∴直线 CE 与⊙O 相切。 （2）∵tan∠ACB= 2 2 BC AB ，BC=2 ∴AB=BC tan ∠ACB= ，2 AC= 6 又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE= 2 2 ∴DE=DC•tan∠DCE=1 方法一：在 Rt△CDE 中，CE= 322  DECD ，连接 OE，设⊙O 的半径为 r，则在 Rt△ COE 中， 222 CEOECO  即 3)6 22  rr（ 解得：r= 4 6 方法二：AE=CD-AE=1，过点 O 作 OM⊥AE 于点 M，则 AM= 2 1 AE= 2 1 在 Rt△AMO 中，OA= 4 6 6 2 2 1 cos EAO AM 13．（2010 湖南长沙）已知：AB 是⊙O 的弦，D 是AB⌒的中点，过 B 作 AB 的垂线交 AD 的延长线于 C， （1）求证：AD＝DC； （2）过 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E，若 DE＝EC，求 sinC. 【答案】解：（1）连接 DB, ∵D 是AB⌒的中点，∴AD⌒＝BD⌒. ∴AD＝DB.∴∠DAB＝∠DBA. ∵AB⊥BC,∴∠DBC＝90°－∠DBA,∠C＝90°－∠DAB. ∴∠DBC＝∠C. ∴DB＝DC. ∴AD＝ DC. （2）连接 OD,交 AB 于 F, ∵D 是AB⌒的中点，∴AB⊥OD ∵DE 是⊙O 的切线，∴OD⊥DE ∵AB⊥BC,∴四边形 DEBF 是矩形 ∴∠DEC＝90°, ∵DE＝EC，∴∠C＝45° 全品中考网 ∴sinC＝sin45°＝ 2 2 . • PB A E O C D • PB A E O C D 14．（2010 江苏宿迁）（本题满分 10 分）如图，AB 是⊙O 的直径， P 为 AB 延长线上任 意一点，C 为半圆 ACB 的中点，PD 切⊙O 于点 D，连结 CD 交 AB 于点 E． 求证：（1）PD=PE； （2） PBPAPE 2 ． 【答案】证明：(1)连接 OC、OD ∴OD⊥PD ，OC⊥AB ∴∠PDE= 90 —∠ODE， ∠PED=∠CEO= 90 —∠C 又∵∠C=∠ODE ∴∠PDE=∠PED ∴PE=PD (2) 连接 AD、BD ∴∠ADB= 90 ∵∠BDP= 90 —∠ODB，∠A= 90 —∠OBD 又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A ∴  PDB∽  PAD ∴ PD PA PB PD  ∴ PBPAPD 2 ∴ PBPAPE 2 15．（2010 山东济南）（2）如图， AB 是⊙O 的切线， A 为切点， AC 是⊙O 的弦，过O AHC O B 作OH AC 于点 H ．若 2OH  ， 12AB  ， 13BO  ． 求：（1）⊙O 的半径； （2）AC 的值． 【答案】解①∵AB 是⊙O 的切线，A 为切点 ∴OA⊥AB 在 Rt△AOB 中， AO= ²² ABOB  = ²12²13  =5 ∴⊙O 的半径为 5 ②∵OH⊥AC ∴在 Rt△AOH 中 AH= ²² OHAO  = ²2²5  = 21 又∵OH⊥AC ∴AC=2AH=2 21 16．（2010 浙江衢州） (本题 8 分) 如图，直线 l 与⊙O 相交于 A，B 两点，且与半径 OC 垂直， 垂足为 H ，已知 AB=16 厘米， 4cos 5OBH  ． (1) 求⊙O 的半径； (2) 如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由． 【答案】解：(1) ∵ 直线 l 与半径 OC 垂直，∴ 1 1 16 82 2HB AB    ． ∵ 4cos 5 HBOBH OB    ， ∴ OB= 5 4 HB= 5 4 ×8= 10． (2) 在 Rt△OBH 中， 2 2 2 210 8 6OH OB BH   = ． A B O H C l A B O H C (第 20 题) l ∴ 10 6 4CH    ． 所以将直线 l 向下平移到与⊙O 相切的位置时，平移的距离是 4cm． 17．（2010 江苏泰州）在平面直角坐标系中，直线 y kx b  （k 为常数且 k≠0）分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，⊙O 半径为 5 个单位长度． ⑴如图甲，若点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，且 OA=OB． ①求 k 的值； ②若 b=4，点 P 为直线 y kx b  上的动点，过点 P 作⊙O 的切线 PC、PD，切点分别 为 C、D，当 PC⊥PD 时，求点 P 的坐标． ⑵若 1 2k   ，直线 y kx b  将圆周分成两段弧长之比为 1∶2，求 b 的值．（图乙供 选用） 【答案】⑴①根据题意得：B 的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A 的坐标为（b，0）， 代入 y＝kx＋b 得 k＝－1. ②过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连结 OD. ∵PC、PD 是⊙O 的两条切线，∠CPD=90°， ∴∠OPD=∠OPC= 1 2 ∠CPD=45°， ∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°， ∴OD＝PD＝ 5 ，OP= 10 . ∵P 在直线 y＝－x＋4 上，设 P（m，－m＋4），则 OF=m，PF=－m＋4， ∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2， ∴ m2＋ (－m＋4)2＝（ 10 ）2， 解得 m=1 或 3， ∴P 的坐标为（1，3）或（3，1） ⑵分两种情形，y＝－ 1 2 x＋ 5 4 ，或 y＝－ 1 2 x－ 5 4 。 直线 y kx b  将圆周分成两段弧长之比为 1∶2，可知其所对圆心角为 120°，如图， 画出弦心距 OC，可得弦心距 OC= 5 2 ，又∵直线 y kx b  中 1 2k   ∴直线与 x 轴交角的 正切值为 1 2 ，即 1 2 OC AC  ，∴AC= 5 ，进而可得 AO= 5 2 ，即直线与与 x 轴交于点（ 5 2 ，0）．所 以直线与 y 轴交于点（ 5 4 ，0），所以 b 的值为 5 4 ． 当直线与 x 轴、y 轴的负半轴相交，同理可求得 b 的值为 5 4  ． 综合以上得：b 的值为 5 4 或 5 4  ． 图 1 图 2 18．（2010 江苏无锡）如图，已知点 (6 3,0), (0,6)A B ，经过 A、B 的直线l 以每秒 1 个单 位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点 P 从点 B 出发，在直线 l 上以每秒 1 个 单位的速度沿直线l 向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为 t 秒． （1）用含t 的代数式表示点 P 的坐标； （2）过 O 作 OC⊥AB 于 C，过 C 作 CD⊥ x 轴于 D，问：t 为何值时，以 P 为圆心、1 为 半径的圆与直线 OC 相切？并说明此时 P 与直线 CD 的位置关系． 【答案】解：⑴作 PH⊥OB 于 H ﹙如图 1﹚，∵OB＝6，OA＝ 36 ，∴∠OAB＝30° ∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝ 1 2 t ，HP＝ t2 3 ; ∴OH＝ ttt 2 362 16  ，∴P﹙ t2 3 ， t2 36  ﹚ 图 3 ⑵当⊙P 在左侧与直线 OC 相切时﹙如图 2﹚， ∵OB＝ t6 ，∠BOC＝30° ∴BC＝ 1(6 )2 t 13 2t  ∴PC 1 33 32 2t t t     由 33 1 2 t  ，得 4 3 t  ﹙s﹚，此时⊙P 与直线 CD 相割． 当⊙P 在左侧与直线 OC 相切时﹙如图 3﹚， PC 32 3)6(2 1  ttt 由 132 3 t ，得 3 8t ﹙s﹚，此时⊙P 与直线 CD 相割． 综上，当 st 3 4 或 s3 8 时，⊙P 与直线 OC 相切，⊙P 与直线 CD 相割． 19．（2010 山东临沂）如图, AB 是半圆的直径,O 为圆心, AD 、 BD 是半圆的弦，且 PDA PBD   . (1)判断直线 PD 是否为 O 的切线， 并说明理由； (2)如果 60BDE   ， 3PD  ， 求 PA 的长。 【答案】（1）PD 是⊙O 的切线 连接 OD,∵OB=OD, ∴∠2=∠PBD. 又∵∠PDA=∠PBD. ∴∠PBD=∠2. 又∵AB 是半圆的直径， ∴∠ADB=90°. 即∠1+∠2=90°. (第 23 题图) A B x P O · ·C y ∴∠1+∠PDA=90°, 即 OD⊥PD. ∴PD 是⊙O 的切线. （2）方法一： ∵∠BDE=60°, ∠ODE=60°, ∠ADB=90°, ∴∠2=30°, ∠1=60°. ∵OA=OD, ∴△AOD 是等边三角形。 ∴∠POD=60°. ∴∠P=∠PDA=30°. 在直角△PDO 中，设 OD=x, ∴    2 22 3 2x x  ， ∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去） ∴PA=1. 方法二： ∵OD⊥PE,AD⊥BD,∠BDE=60°, ∴∠2=∠PBD=∠PDA=30° ∴∠OAD=60°. ∴∠P=30°. ∴PA=AD=OD. 在直角△PDO 中，∠P=30°,PD= 3 , ∴ tan ODP PD   ， ∴OD=PDtan∠P= 3 tan30°=1. ∴PA=1. 20．（2010 江苏连云港）（本题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， ⊙C 的圆心坐标为（－2，－2），半径为 2．函数 y＝－x＋2 的图象与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B，点 P 为 AB 上一动点 （1）连接 CO，求证：CO⊥AB； （2）若△POA 是等腰三角形，求点 P 的坐标； （3）当直线 PO 与⊙C 相切时，求∠POA 的度数；当直线 PO 与⊙C 相交时，设交点为 E、F，点 M 为线段 EF 的中点，令 PO＝t，MO＝s，求 s 与 t 之间的函数关系，并 写出 t 的取值范围． 【答案】 21．（2010 湖南衡阳）如图， Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于 点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E． （1）求证： 1 2DE BC ； （2）若 tanC= 2 5 ，DE=2，求 AD 的长． 【答案】(1)连接 BD，∵AB 为直径，∠ABC=90°，∴BE 切⊙O 于点 B，因为 DE 切 ⊙O 于点 D，所以 DE=BE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠ BDE=∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴ 1 2DE BC . (2) 因 为 DE=2 ， 1 2DE BC ， 所 以 BC=4 ， 在 Rt △ ABC 中 ， tanC= BC AB ， 所 以 AB=BC· 2 5 =2 5 ，在 Rt△ABC 中，AC= 22 BCAB  = 22 4)52(  =6，又因为△ ABD∽△ACB，所以 AC AB AB AD  ，即 6 52 52 AD ，所以 AD= 3 10 . 22．（2010 黄冈）（6 分）如图，点 P 为△ABC 的内心，延长 AP 交△ABC 的外接圆于 D， 在 AC 延长线上有一点 E，满足 AD 2 ＝AB·AE，求证：DE 是⊙O 的切线. 第 20 题图 【答案】证明：连结 DC，DO 并延长交⊙O 于 F，连结 AF.∵AD 2 ＝AB·AE，∠BAD＝∠ DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC ∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+ ∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故 DE 是⊙O 的切线 23．（2010 河北）观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图 ，图 是它的示意图．其工作原理是：滑块 Q 在平直滑道 l 上可以 左右滑动，在 Q 滑动的过程中，连杆 PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动．在摆动过程中，两连杆的 接点 在以 为半径的⊙ 上运动．数学兴趣小组为进一步研 图 14-1 连杆 滑块滑道 究其中所蕴含的数学知识，过点 O 作 OH ⊥l 于点 H，并测得 OH = 4 分米，PQ = 3 分米，OP = 2 分米． 解决问题 （1）点 Q 与点 O 间的最小距离是 分米； 点 Q 与点 O 间的最大距离是 分米； 点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米． （2）如图 14-3，小明同学说：“当点 Q 滑动到点 H 的位 置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？ （3）①小丽同学发现：“当点 P 运动到 OH 上时，点 P 到 l 的距离最小．”事实上，还存在着点 P 到 l 距离最大 的位置，此时，点 P 到 l 的距离是 分米； ②当 OP 绕点 O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数． 【答案】解：（1）4 5 6； （2）不对． ∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且 42≠32 + 22，即 OQ2≠PQ2 + OP2， ∴OP 与 PQ 不垂直．∴PQ 与⊙O 不相切． （3）① 3； ②由①知，在⊙O 上存在点 P， P 到 l 的距离为 3，此时，OP 将不能再向下 转动，如图 3．OP 在绕点 O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是 P OP． 连结 PP，交 OH 于点 D． ∵PQ， P Q 均与 l 垂直，且 PQ = P 3Q  ， ∴四边形 PQQ P是矩形．∴OH⊥P P，PD = PD． 由 OP = 2，OD = OH  HD = 1，得∠DOP = 60°． ∴∠PO P = 120°． ∴ 所求最大圆心角的度数为 120°． 24．（2010 山东省德州）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，AE 平分∠BAD 交 BC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，⊙O 过 A、E 两点, 交 AD 于点 G，交 AB 于点 F． （1）求证：BC 与⊙O 相切； （2）当∠BAC=120°时，求∠EFG 的度数． H l O 图 14-3 P （Q） Hl O P Q 图 14-2 D Hl O 图 3 P QQ P BA C D EG O F BA C D EG O F 第 20 题图 【答案】（1）证明：连接 OE， ∵AB=AC 且 D 是 BC 中点， ∴AD⊥BC． ∵AE 平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE． ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA． ∴∠OEA=∠DAE． ∴OE∥AD． ∴OE⊥BC． ∴BC 是⊙O 的切线． （2）∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°． ∴∠EOB =60°． ∴∠EAO =∠EAG =30°． ∴∠EFG =30°． 25．（2010 山东莱芜）（在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以 BC 为直径作 ⊙O 交 AB 于点 D. （1）求线段 AD 的长度； O D C B A （第 21 题图） （2）点 E 是线段 AC 上的一点，试问当点 E 在什么位置时，直线 ED 与⊙O 相切？请说明 理由. 【答案】解：（1）在 Rt△ACB 中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm． 连结 CD，∵BC 为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°． ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB． ∴ AC AD AB AC  ，∴ 5 92  AB ACAD ． （2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与⊙O 相切． 证明：连结 OD，∵DE 是 Rt△ADC 的中线． ∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD． ∵OC=OD，∴∠ODC =∠OCD． ∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°． ∴ED 与⊙O 相切． 26．（2010 江西）“6”字形图中，FM 是大圆的直径，BC 与大圆相切于 B，OB 与小圆 相交于 A，BC∥AD，CD∥BＨ∥ＦＭ，BC∥DG，ＤＨ∥ＢＨ于 H，设 , 4, 6FOB OB BC    ， （１）求证：AD 是小圆的切线； （２）在图中找出一个可用 表示的角，并说明你这样表示的理由； （３）当 30   ，求 DH 的长 【答案】解：（１）证明：∵BC 是圆的切线，所以∠CBO＝90°，∵BC∥AD，∴∠BAD ＝90°，所以 AD 是圆的切线. (2)答案不唯一，略 （3）∵CD∥ BG，BC∥DG，所以四边形 BGDC 是平行四边形，所以 DG=BC=6，又因为∠DGH＝ 90 90 30 60       ，所以 sin 60 6 3 3DH    27．（2010 年贵州毕节）如图，已知 CD 是△ABC 中 AB 边上的高， 以 CD 为直径的⊙O 分别交 CA、CB 于点 E、F，点 G 是 AD O D C B A E 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线． 【答案】证明：（证法一）连接OE DE， ． ∵CD 是⊙O 的直径，  90AED CED     ． ∵G 是 AD 的中点，  1 2EG AD DG  ．  1 2   ． ∵ 3 4OE OD   ， ．  1 3 2 4       ．即 90OEG ODG     ．  GE 是⊙O 的切线． （证法二）连接OE OG， ． ∵ AG GD CO OD ， ，  OG AC∥ ．  1 2 3 4     ， ． ∵OC=OE． ∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3． 又OE OD OG OG ， ，  OEG ODG△ ≌△ ．  90OEG ODG     ．  GE 是⊙O 的切线． 28．（2010 湖北武汉）如图，点 O 在 APB 的平分线上，⊙O 与 PA 相切于点 C． （1） 求证：直线 PB 与⊙O 相切； （2） PO 的延长线与⊙O 交于点 E 若⊙O 的半径为 3，PC=4，求弦 CE 的长． 图 9 【答案】（1）证明：过点 O 作 OD⊥PB 于点 D，链接 OC． ∵PA 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥PA 又∵点 O 在∠APB 的平分线上， ∴OC=OD ∴PB 与⊙O 相切 (2)解：过点 C 作 CF⊥OP 于点 F，在 Rt△PCO 中，PC=4，OC=3，OP= 2 2OC PC 5  ，∵ OC·PC=OP·CF=2S△PCO，∴CF=12 5 ．在 Rt△COF 中，OF= 2 2 9OC CF 5   ，∴EF=EO+OF= 24 5 ， ∴CE= 2 2 12 5EF CF 5   29．（2010 四川 巴中）已知如图 9 所示，△ABC 中∠A＝∠B＝30°，CD 是△ABC 的角平 分线，以 C 为圆心，CD 为半径画圆，交 CA 所在直线于 E、F 两点，连接 DE、DF。 （1）求证：直线 AB 是⊙C 的切线。 （2）若 AC＝10cm，求 DF 的长 【答案】（1）∵∠A＝∠B＝30°，∴AC=BC，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴CD⊥AB， ∴AB 是⊙C 的切线； （2）∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB=120°，CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACD=60°， 又∵CD=CF，∴∠F＝ 2 1 ∠ACD＝30°，∴∠A＝∠F＝30°，∴DF=AF， 在 Rt△ADC 中， AC AD =cos30°= 2 3 ，则 AD= cm35 ，∴AF= cm35 。 30．（2010 浙江湖州）如图，已知△ABC 内接于⊙O 的直径，D 是弧 A B 的中点，过点 D 作直线 BC 的垂线，分别交 CB、CA 的延长线于 E、F． （1）求证：EF 是⊙O 的切线. （2）若 EF＝8，EC＝6，求⊙O 的半径. 【答案】（1）连 OD，∵D 是弧 AB 的中点，∴OD⊥AB，又∵AC 为⊙O 的直径，∴BC⊥AB， ∴OD∥CE，又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，即 EF 是⊙O 的切线． （2）∵EF＝8，EC＝6，在 Rt△CEF 中，由勾股定理得 CF＝10，设⊙O 的半径为 r，∵OD∥CE， ∴ 10 6 10 r r ，解得： 15 4r  ． 31. （2010 四川成都）已知：如图， AB 与⊙O 相切于点C ， OA OB ，⊙O 的直径为 4, 8AB  ． （1）求OB 的长； （2）求sin A 的值． 【答案】.解：（1）由已知，OC=2，BC=4。 在 Rt△OBC 中，由勾股定理，得 2 2 2 5OB OC BC   （2）在 Rt△OAC 中，∵OA=OB= 2 5 ，OC=2， ∴sinA= 2 5 52 5 OC OA   32。（2010 湖南常德）如图 8，AB 是⊙Ｏ的直径，∠A＝ 30 ，延长 OB 到 D，使 BD＝OB． （1）△OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； （2）求证：DC 是⊙Ｏ的切线． （第 22 题） A BO D C 图 8 【答案】（1）解法一：∵∠A＝ 30 ，∴∠COB＝ 60 ． 又 OC＝OB， ∴△OCB 是等边三角形． 解法二：∵AB 是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB＝90 ． 又∵∠A＝30 ， ∴∠ABC＝ 60 ． 又 OC＝OB， ∴△OCB 是等边三角形． （2）证明：由（1）知：BC＝OB，∠OCB＝∠OBC＝ 60 ． 又∵BD＝OB，∴BC＝BD． ∴∠BCD＝∠BDC＝ 1 2 ∠OBC＝ 30 ． ∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝90 ， 故 DC 是⊙Ｏ的切线． 33. （8 分）（2010 湖北荆州）如图，⊙O 的圆心在 Rt△ABC 的直角边 AC 上，⊙O 经过 C、D 两点，与斜边 AB 交于点 E，连结 BO、ED，有 BO∥ED，作弦 EF⊥AC 于 G，连 结 DF． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 5，sin∠DFE= 5 3 ，求 EF 的长． 【答案】(1)证明：连结 OE A F C GO D E B （第 20 题） ∵ED∥OB ∴∠1=∠2，∠3=∠OED， 又 OE=OD ∴∠2=∠OED[来源:学科网] ∴∠1=∠3 又 OB=OB OE= OC ∴△BCO≌△BEO（SAS） ∴∠BEO=∠BCO=90° 即 OE⊥AB ∴AB 是⊙O 切线. （2）解：∵∠F=∠4，CD=2·OC=10；由于 CD 为⊙O 的直径，∴在 Rt△CDE 中有： ED=CD·sin∠4=CD·sin∠DFE= 65 310  ∴ 8610 2222  EDCDCE 在 Rt△CEG 中， 5 34sin  CE EG ∴EG= 5 2485 3  根据垂径定理得： 5 48EG2EF  34. （2010 湖北省咸宁）如图，在⊙O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，连接AC， 将△ACE 沿 AC 翻折得到△ACF，直线 FC 与直线 AB 相交于点 G． （1）直线 FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由； （2）若 2OB BG  ，求 CD 的长． 【答案】．解：（1）直线 FC 与⊙O 相切． 理由如下： 连接 OC ． ∵ OA OC ， ∴ 1 2   A F C GO D E B （第 20 题） 1 3 2 AB C D E O · 由翻折得， 1 3   ， 90F AEC     ． ∴ 2 3   ． ∴OC∥AF． ∴ 90OCG F     ． ∴直线 FC 与⊙O 相切． （2）在 Rt△OCG 中， 1cos 2 2 OC OCCOG OG OB     ， ∴ 60COG   ． 在 Rt△OCE 中， 3sin60 2 32CE OC      ． ∵直径 AB 垂直于弦 CD， ∴ 2 2 3CD CE  ． 35. （2010 江苏扬州）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的半圆 O 交 BC 于点 D， DE⊥AC，垂足为 E． （1）求证：点 D 是 BC 的中点； （2）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （3）如果⊙O 的直径为 9，cosB＝1 3 ，求 DE 的长． 【答案】（1）证明：连接 AD ∵AB 为半圆 O 的直径, ∴AD⊥BC ∵AB=AC ∴点 D 是 BC 的中点 (2)解：相切 连接 OD ∵BD=CD，OA=OB， ∴OD∥AC ∵DE⊥AC ∴DE⊥OD ∴DE 与⊙O 相切 （3） ∵AB 为半圆 O 的直径 ∴∠ADB=900 在 Rt△ADB 中 ∵cosB= AD BD ∴BD=3 ∵CD=3 在 Rt△ADB 中 ∴cosC= CD CE ∴CE=1 ∴DE= 2219  36. （2010 湖北恩施自治州）如图，已知，在△ABC 中，∠ABC= 090 ，BC 为⊙O 的直径， AC 与⊙O 交于点 D,点 E 为 AB 的中点，PF⊥BC 交 BC 于点 G,交 AC 于点 F. （1）求证：ED 是⊙O 的切线. （2）如果 CF =1,CP =2，sinA = 5 4 ，求⊙O 的直径 BC. 【答案】解：⑴ 连接 OD ∵BC 为直径 ∴△BDC 为直角三角形。 又∵∠OBD=∠ODB Rt△ADB 中 E 为 AB 中点 ∴∠ABD=∠EDB ∵∠OBD+∠ABD=90 0 ∴∠ODB+∠EDB=90 0 ∴ED 是⊙O 的切线。 (2)∵PF⊥BC ∴∠FPC=∠PDC 又∠PCF 公用 ∴△PCF∽△DCP ∴PC 2 =CF·CD 又∵CF=1, CP=2， ∴CD=4 可知 sin∠DBC = sinA = 5 4 ∴ BC DC = 5 4 即 BC 4 = 5 4 得直径 BC= 5 37. （2010 北京）已知：如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上一点，⊙O 过 D、B、C 三点，∠DOC ＝2∠ACD＝90°． （1）求证：直线 AC 是⊙O 的切线； （2）如果∠ACB＝75°，⊙O 的半径为 2，求 BD 的长． A B C D O 【答案】（1） ∵OD＝OC，∠DOC＝90° ∴∠ODC＝∠OCD＝45° ∵∠DOC＝2∠ACD＝90° ∴∠ACD＝45° ∴∠ACD＋∠OCD＝∠OCA＝90° ∵点 C 在⊙O 上， ∴直线 AC 是⊙O 的切线。 （2）∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90° ∴可求 CD＝ 2 2 ， ∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45° ∴∠BCD＝30° 作 DE⊥BC 于点 E ∴DE＝CD sin30  ＝ 2 ∵∠B＝45° ∴DE＝2。 A B C D O E 38. （2010 山东泰安）如图，△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 与 BC 交于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F. （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为 2，BE＝1，求 cosA 的值. 【答案】 解：（1）证明：连结 AD、OD ∵AC 是直径 ∴AD⊥BC ∵AB＝AC ∴D 是 BC 的中点 又∵O 是 AC 的中点 ∴OD∥AB ∵DE⊥AB ∴OD⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线 （2）由（1）知 OD∥AE ∴FO FA ＝OD AE ∴FC＋OC FC＋AC ＝ OD AB－BE ∴FC＋2 FC＋4 ＝ 2 4－1 ，解得 FC＝2 ∴AF＝6 ∴cosA＝AE AF ＝AB－BE AF ＝4－1 6 ＝1 2 全品中考网 39. （2010 云南红河哈尼族彝族自治州）如图 9，在直角坐标系 xoy 中，O 是坐标原点，点 A 在 x 正半轴上，OA= 312 cm，点 B 在 y 轴的正半轴上，OB=12cm，动点 P 从点 O 开 始沿 OA 以 32 cm/s 的速度向点 A 移动，动点 Q 从点 A 开始沿 AB 以 4cm/s 的速度向点 B 移动，动点 R 从点 B 开始沿 BO 以 2cm/s 的速度向点 O 移动.如果 P、Q、R 分别从 O、 A、B 同时移动，移动时间为 t（0＜t＜6）s. （1）求∠OAB 的度数. （2）以 OB 为直径的⊙O‘与 AB 交于点 M，当 t 为何值时，PM 与⊙O‘相切？ （3）写出△PQR 的面积 S 随动点移动时间 t 的函数关系式，并求 s 的最小值及相应的 t 值. （4）是否存在△APQ 为等腰三角形，若存在，求出相应的 t 值，若不存在请说明理由. 【答案】解：（1）在 Rt△AOB 中： tan∠OAB= 3 3 312 12  OA OB ∴∠OAB=30° （2）如图 10，连接 O‘P，O‘M. 当 PM 与⊙O‘相切时，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°， △PM O‘≌△PO O‘ 由（1）知∠OBA=60° ∵O‘M= O‘B ∴△O‘BM 是等边三角形 ∴∠B O‘M=60° 可得∠O O‘P=∠M O‘P=60° ∴OP= O O‘·tan∠O O‘P =6×tan60°= 36 又∵OP= 32 t ∴ 32 t= 36 ，t=3 即：t=3 时，PM 与⊙O‘相切. （3）如图 9，过点 Q 作 QE⊥x 于点 E ∵∠BAO=30°，AQ=4t ∴QE= 2 1 AQ=2t AE=AQ·cos∠OAB=4t× t322 3  ∴OE=OA-AE= 312 - 32 t ∴Q 点的坐标为（ 312 - 32 t，2t） S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ = )32312(22 12)32312(2 1)212(322 1312122 1 tttttt  = 37233636 2  tt = 318)3(36 2 t （ 60 ＜＜t ） 当 t=3 时，S△PQR 最小= 318 （4）分三种情况：如图 11. ○1 当 AP=AQ1=4t 时， ∵OP+AP= 312 ∴ 32 t+4t= 312 ∴t= 23 36  或化简为 t= 312 -18 ○2 当 PQ2=AQ2=4t 时 过 Q2 点作 Q2D⊥x 轴于点 D， ∴PA=2AD=2A Q2·cosA= 34 t 即 32 t+ 34 t = 312 ∴t=2 ○3 当 PA=PQ3 时，过点 P 作 PH⊥AB 于点 H AH=PA·cos30°=（ 312 - 32 t）· 2 3 =18-3t AQ3=2AH=36-6t 得 36-6t=4t， ∴t=3.6 综上所述，当 t=2，t=3.6，t= 312 -18 时，△APQ 是等腰三角形. 40。（2010 云南楚雄）已知：如图，⊙ A 与 y 轴交于 C、D 两点，圆心 A 的坐标为（1，0）， ⊙ A 的半径为 5 ，过点 C 作⊙ A 的切线交 x 于点 B（－4，0）． （1）求切线 BC 的解析式； （2）若点 P 是第一象限内⊙ A 上一点，过点 P 作⊙A 的切线与直线 BC 相交于点 G，且∠CGP ＝120°，求点G 的坐标； （3）向左移动⊙ A（圆心 A 始终保持在 x 上），与直线 BC 交于 E、F，在移动过程中是否 存在点 A ，使得△AEF 是直角三角形？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）连接 AC ，∵ BC 是⊙A 的切线，∴ 90ACB   ． ∴ 90ACO BCO ACB       ． ∵ 90COA COB     ， ∴ 180 90ACO CAO COA         ， ∴ BCO CAO   ． ∴△ BCO ∽△CAO ，∴ CO BO AO CO  ． 即 2 4 1 4CO AO BO     ，∴ 2CO  ．∴ C 点坐标是（0，2）． 设直线 BC 的解析式为 y kx b  ，∵该直线经过点 B（－4，0）与点C （0，2）， ∴ 4 0 2 k b b      解得 1 2 2 k b     ∴该直线解析式为 1 22y x  ． （2）连接 AG ，过点G 作GH AB ． 由切线长定理知 1 1 120 602 2AGC CGP        ． 在 Rt ACG 中，∵ tan ACAGC CG   ， ∴ 5 5 15 tan tan 60 33 ACCG AGC      ． 在 Rt BOC 中，由勾股定理得 2 2 2 24 2 2 5BC OC OB     ． ∴ 152 5 3BG BC CG    ． 又∵ 90 ,BOC BHG CBO CBH        ． ∴ BOC ∽ BHG ，∴ HG BG OC BC  ， ∴ 15(2 5 ) 2 33 2 32 5 BG OCHG BC      ． 则 32 3  是点G 的纵坐标， ∴ 3 12 23 2 x   ，解得 2 3 3x  ． ∴点G 的坐标 2 3 3( ,2 )3 3  ． (3)如图示， 当 A 在点 B 的右侧时 ∵ E 、 F 在⊙ A 上，∴ AE AF ． 若△ AEF 是直角三角形，则 90EAF   ，且为等腰直角三角形． 过点 A 作 AM EF ，在 Rt AME 中由三角函数可知 2 10sin 5 sin 45 5 2 2AM AE AEM         ． 又∵ BOC ∽ BMA ， ∴ OC BC AM BA  ， ∴ 10 2 5 5 22 2 2 BC AMAB OC    ． ∴ 5 24 2OA OB AB    ， ∴点 A 坐标是 5 2( 4,0)2  ． 当 A 在点 B 的左侧时：同理可求点 A 坐标是 5 2( 4,0)2   ．[来源:学。科。网 Z。X。 X。K] 41. （2010 湖北随州）如图，点 P 为△ABC 的内心，延长 AP 交△ABC 的外接圆于 D，在 AC 延长线上有一点 E，满足 AD 2 ＝AB·AE，求证：DE 是⊙O 的切线. 第 20 题图 【答案】证明：连结 DC，DO 并延长交⊙O 于 F，连结 AF.∵AD 2 ＝AB·AE，∠BAD＝∠ DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC ∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+ ∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故 DE 是⊙O 的切线 42. （2010 四川乐山）如图（10）AB 是⊙O 的直径，D 是圆上一点， AD ＝ DC ，连结 AC，过点 D 作弦 AC 的平行线 MN。 （1）求证明人：MN 是⊙O 的切线； （2）已知 AB＝10，AD＝6，求弦 BC 的长。 【答案】（1）证明：连结 OD，交 AC 于 E，如图（2）所示， 因 AD ＝ DC ，所以 OD⊥AC 又 AC∥MN，所以 OD⊥MN 所以 MN 是是⊙O 的切线 （2）解：设 OE＝ｘ，因 AB＝10，所以 OA=5 ED＝5－x 又因 AD =6 在直角三角形 OAE 和直角三角形 DAE 中，因 OA 2 －OE 2 ＝AE 2 －ED 2 ， 所以 5 2 －x 2 ＝6 2 －（5－x） 2 解得 x＝ 7 5 因 AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB＝90  所以 OD∥BC 所以 OE 是△ABC 的中位线，所以 BC＝2OE＝2 7 5 ＝14 5 43. （2010 陕西西安）如图，在 90,  ABCABCRt 中 ，斜边 AC 的垂直平分 线交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE。 （1）若 BE 是△DEC 外接圆的切线，求∠C 的大小； （2）当 AB=1，BC=2 时，求△DEC 外接圆的半径。 【答案】解：（1）∵DE 垂直平分 AC， ∴∠DEC=90°， ∴DC 为△DEC 外接圆的直径， ∴DC 的中点 O 即为圆心。 连接 OE，又知 BE 是⊙O 的切线， ∴∠EBO+∠BOE=90° 在 Rt△ABC 中，E 是斜边 AC 的中点， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠C 又∵∠BOE=2∠C， ∴∠C+2∠C=90° ∴∠C=30° （2）在 2 2 2 1,5, 22  ACECBCABACABCRt 中 ， ∵∠ABC=∠DEC=90°∴△ABC∽△DEC .4 5.  DCEC BC DC AC A B C D P O 第 14 题图 ∴△DEC 外接圆的半径为 .8 5 44. （2010 广东东莞）如图，PA 与⊙O 相切于 A 点，弦 AB⊥OP，垂足为 C，OP 与⊙O 相交于 D 点，已知 OA＝2，OP＝4． ⑴求∠POA 的度数； ⑵计算弦 AB 的长． 【答案】⑴∵PA 与⊙O 相切于 A 点 ∴∠PAO＝90° ∵OA＝2，OP＝4 ∴∠APO＝30° ∴∠POA＝60° ⑵∵AB⊥OP ∴△AOC 为直角三角形，AC＝BC ∵∠POA＝60° ∴∠AOC＝30° ∵AO＝2 ∴OC＝１ ∴在 Rt△AOC 中， 322  OCAOAC ∴AB＝AC＋BC＝ 32 45. （2010 福建三明） 如图，AB 为⊙O 的直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点 D，DE⊥ AC 交 AC 的延长线于点 E，FB 是⊙O 的切线交 AD 的延长线于点 F。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（6 分） （2）若 DE=3，⊙O 的半径为 5，求 BF 的长。（6 分） 【答案】（1）证明：连结 OD …………1 分 ∵AD 平分∠BAC BADEAD  又 OA=OD ODAOAD  ODAEAD  ∴AE//OD …………3 分 DEODAFDE  ∴DE 是⊙O 的切线 …………5 分 （2）解：作 OD⊥AB 交 AB 于点 H …………6 分 ∵AD 是 BAC 的平分线，∴DH=DF=3 …………7 分 在 DOHRt 中 435 22 OH 又 FB 是⊙O 的切线 FBDHABFB //, …………8 分 3 10 9 103  FBAB AH FB DH 即 …………10 分 （也可证明 ADH ≌ AFB ） 46. （2010 湖北襄樊） 如图 6，已知：AC 是⊙O 的直径，PA⊥AC，连结 OP，弦 CB//OP， 直线 PB 交直线 AC 于点 D，BD=2PA． （1）证明：直线 PB 是⊙O 的切线； （2）探索线段 PO 与线段 BC 之间的数量关系，并加以证明； （3）求 sin∠OPA 的值． C O A D P B 图 6 【答案】（14）连结 OB．∵BC//OP， ∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB． 又∵OC=OB，∴∠BCO=∠CBO， ∴∠POB=∠POA． 又∵PO=PO，OB=OA， ∴△POB≌△POA． ∴∠PBO=∠PAO=90°． ∴PB 是⊙O 的切线． O (第 21 题图) A B D C C O A D P B （2）2PO=3BC（写 PO= 2 3 BC 亦可）． 证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA． ∵BD=2PA，∴BD=2PB． ∵BC//OP，∴△DBC∽△DPO． ∴ 2 3 BC BD PO PD   ．∴2PO=3BC． 注：开始没有写出判断结论，正确证明也给满分． （3）∵△DBC∽△DPO，∴ 2 3 DC BD DO PD   ，即 DC= 2 3 OD．∴DC=2OC． 设 OA=x，PA=y．则 OD=3x，OB=2y． 在 Rt△OBD 中，由勾股定理，得(3x)2= x2+(2y)2．即 2 x2= y2． ∵x>0，y>0，∴y= 2 x．OP= 2 2 3x y x  ． ∴sin∠OPA= 1 3 33 3 OA x OP x    ． 47. （2010 山东东营）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，点 C 在⊙O 上， CA＝CD，∠CDA＝30°． (1)试判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O 的半径为 5，求点 A 到 CD 所在直线的距离． 【答案】解：（1）△ACD 是等腰三角形，∠D＝30°． ∠CAD=∠CDA=30°. 连接 OC, AO=CO, △AOC 是等腰三角形． ………………………2 分 ∠CAO=∠ACO=30°, ∠COD=60°．…………………………………3 分 O (第 21 题图) A B D C E 在△COD 中，又∠CDO=30°， ∠DCO=90°．………………………………4 分 CD 是⊙O 的切线，即直线 CD 与⊙O 相切．……………………………5 分 （2）过点 A 作 AE⊥CD，垂足为 E. ………………………………6 分 在 Rt△COD 中， ∠CDO=30°， OD=2OC=10． AD=AO+OD=15……………………………………………7 分 在 Rt△ADE 中， ∠EDA=30°， 点 A 到 CD 边的距离为： 5.730sin  ADAE ．…………………………9 分 48. （2010 湖北孝感）如图 1，⊙O 是边长为 6 的等边△ABC 的外接圆，点 D 在 BC 上运 动（不与 B、C 重合），过点 D 作 DE//BC，DE 交 AC 的迁长线于点 E，连接 AD、CD。 （1）在图 1 中，当 102AD ，求 AE 的长；（4 分） （2）当点 D 为 BC 的中点时（如图 2）； ①DE 与⊙O 的位置关系是 ；（2 分） ②求△ADC 的内切圆半径 r.（4 分） 【答案】解：（1）如图 1， .60,  BACBABC为等边三角形 ., .,// ADCEADCB ACBEBCDE   又 又 又∠DAC=∠EAD，∴△ADC∽△AED …………2 分 ,102,  ADAD AC AE AD 又 ).3 26(3 20 6 402 或 AC ADAE …………4 分 ⌒ （2）①相切： ②如图 2，当 D 为弧 BC 的中点时，有弧 BD=弧 DC。 323 3630tan6 ,6,30, ,30        DC ACDACACDRt BCAD ACABDACBAD 中在 垂直平分 又 .342  DCAD …………8 分 作 Rt△ADC 的内切线圆⊙O′ 分别切 AD、AC、DC 于 F、G、H 点，易知 CG=CH=r， .34326, 32,6   rrADDFAF rDFDHRAFAG  .33,3262  rr …………10 分 49. （2010 江苏镇江）推理证明（本小题满分 7 分） 如图，已知△ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，过 D 作 DE ⊥BC，垂足为 E，连结 OE，CD= 3 ，∠ACB=30°. （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）分别求 AB，OE 的长； （3）填空：如果以点 E 为圆心，r 为半径的圆上总存在不同的两点到点 O 的距离为 1， 则 r 的取值范围为 . 【答案】（1）∵AB 是直径，∴∠ADB=90° （1 分） , )2(.//, ., BCDE BCODBOAO CDADBCAB       分又 又 第 14 题图 C B P D A O ∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线. （3 分） （2）在 30,3,  ACBCDCBDRt 中 ， .2,2 2 3 3 30cos  ABCDBC  （4 分） )6(.2 7)2 3(1, )5(.2 332 1 2 1 ,30,3, 2222 分中在 分 中在    OEODOEODERt CDDE ACBCDCDERt  （3） .12 712 7  r （7 分） 50．（2010 广东汕头）如图，PA 与⊙O 相切于 A 点，弦 AB⊥OP，垂足为 C，OP 与⊙O 相交于 D 点，已知 OA＝2，OP＝4． （1）求∠POA 的度数； （2）计算弦 AB 的长． 【答案】解：（1）∵PA 与⊙O 相切于 A 点 ∴OA⊥AP 在 Rt△OAP 中，由 OA＝2，OP＝4 得 OPOA 2 1 ∴  30P ∴  603090PAO ． （2）∵弦 AB⊥OP， ∴ ACAB 2 ，  90ACO ∵  60PAO ∴ 12 1  OAOC ∴ 322  OCOAAC ∴ 32AB ． 51．（2010 天津）已知 AB 是⊙ O 的直径， AP 是⊙ O 的切线， A 是切点， BP 与⊙O 交于 A B C O P 图① A B C O PD 图② 第（22）题 点 C . （Ⅰ）如图①，若 2AB  ， 30P   ，求 AP 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若 D 为 AP 的中点，求证直线 CD 是⊙ O 的切线. 【答案】解：（Ⅰ）∵ AB 是⊙O 的直径， AP 是切线， ∴ 90BAP   . 在 Rt△ PAB 中， 2AB  ， 30P   ， ∴ 2 2 2 4BP AB    . 由勾股定理，得 2 2 2 24 2 2 3AP BP AB     . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分 (Ⅱ)如图，连接 OC 、 AC ， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ 90BCA   ，有 90ACP   . 在 Rt△ APC 中， D 为 AP 的中点， ∴ 1 2CD AP AD  . ∴ DAC DCA   . 又 ∵ OC OA ， ∴ OAC OCA   . ∵ 90OAC DAC PAB       ， ∴ 90OCA DCA OCD       . 即 OC CD . ∴ 直线 CD 是⊙O 的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 52．（2010 内蒙古包头）如图，已知 AB 是 O⊙ 的直径，点C 在 O⊙ 上，过点C 的直线与 AB 的延长线交于点 P ， AC PC ， 2COB PCB   ． （1）求证： PC 是 O⊙ 的切线； （2）求证： 1 2BC AB ； （3）点 M 是 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N ，若 4AB  ，求 MN MC 的值． A B C O PD 【答案】解：（1） OA OC A ACO    ， ， 又 2 2COB A COB PCB      ， ， A ACO PCB     ． 又 AB 是 O⊙ 的直径， 90ACO OCB    °， 90PCB OCB    °，即 OC CP⊥ ， 而OC 是 O⊙ 的半径，  PC 是 O⊙ 的切线．··············································································· （3 分） （2） AC PC A P    ， ， A ACO PCB P       ， 又 COB A ACO CBO P PCB          ， ， 1 2COB CBO BC OC BC AB      ， ， ．···········································（6 分） （3）连接 MA MB， ， 点 M 是 AB 的中点，  AM BM  ， ACM BCM   ， 而 ACM ABM   ， BCM ABM   ，而 BMN BMC   ， MBN MCB△ ∽△ ， BM MN MC BM   ， 2BM MN MC   ， 又 AB 是 O⊙ 的直径，  AM BM ， 90AMB AM BM  °， ． 4 2 2AB BM   ， ， 2 8MN MC BM   ． （10 分） 53．（2010 广西桂林）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为 F， FH∥BC，连结 AF 交 BC 于 E，∠ABC 的平分线 BD 交 AF 于 D，连结 BF． （1）证明：AF 平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若 EF＝4，DE＝3，求 AD 的长．[来源:Zxxk.Com] 【答案】证明（1）连结 OF O N B P C A M O N B P C A M A B C D E F O H A B C D E F O 1 2 H A B C D E F O 1 2 34 5 H ∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ……………1 分 ∵FH∥BC ， ∴OF 垂直平分 BC ………2 分 ∴  BF FC ∴AF 平分∠BAC …………3 分 （2）证明：由（1）及题设条件可知 ∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4 分 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5 分 ∠FDB=∠FBD ∴BF=FD ………………6 分 （3）解： 在△BFE 和△AFB 中 ∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F ∴△BFE∽△AFB ………………7 分 ∴ BF AF FE BF  ， ……………8 分 ∴ 2BF FE FA  ∴ 2BFFA FE  ……………………9 分 ∴ 27 49 4 4FA   ∴AD= 49 74  = 21 4 …………………10 分 54．（2010 广西玉林、防城港）（8 分）如图 8，MN 是⊙O 的切线，B 为切点，BC 是⊙O 的弦且∠CBN＝45  ，过点 C 的直线与⊙O、MN 分别交于 A、D 两点，过 C 作 CE⊥BD 于 点 E。 （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）若∠D＝30  ，BD＝2＋2 3 ，求⊙O 的半径 r。 【答案】（1）证明：连接 OB，OC，MN 是⊙O 的切线，所以 OB⊥MN，又 CE⊥MN， MN∥OB，又∠CBN＝45  ，OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝∠CBN＝∠BCE，所以有 OB ＝OC＝CE＝BE 四边形 OBEC 是正方形，所以 OC⊥CE，故 CE 是⊙O 的切线。 （2）因 BE＝CE，BD＝BE＋DE，设 CE＝x，∠D＝30  ，所以 CD＝2ｘ，DE＝ 3 x，故 有：x＋ 3 x＝2＋2 3 x＝2 故圆的半径为 2。 55．（2010 四川自贡）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A＝30°，AB 是⊙O 的直径， 过点 C 作⊙O 的切线，交 AB 延长线于 D，CD＝3 3 cm， （1）求⊙O 的直径。 （2）若动点 M 以 3cm/s 的速度从点 A 出发沿 AB 方向运动。同时点 N 以 1.5cm/s 的速度 从 B 点出发沿 BC 方向运动。设运动的时间为 t(0≤t≤2)，连结 MN，当 t 为何值时△BMN 为 Rt△？并求此时该三角形的面积？ 【答案】 A B C D E O 22 题图 56．（2010 山东荷泽）（本题满分 12 分）如图，△OAB 中，OA＝OB，∠A＝30°，⊙O 经过 AB 的中点 E 分别交 OA、OB 于 C、D 两点，连接 CD． ⑴求证：AB 是⊙O 的切线． ⑵求证：CD∥AB． ⑶若 CD＝ 34 ，求扇形 OCED 的面积． 【答案】⑴证明：连接 OE，∵OA＝OB，E 是 BC 的中点，∴OE⊥AB，∴AB 是⊙O 的切 线。 A F C GO D E B （第 20 题） A B C D E O 22 题图 ⑵在△OAB，△OCD 中，∠COD＝∠AOB，OC＝OD，OA＝OB，∴∠OCD＝∠OAB， ∴CD∥AB ⑶∵CD∥AB，∠A＝30°，OE⊥AB，CD＝ 34 ， ∴∠OCD＝30°，OE⊥CD，CF＝ 32 ，∠COD＝120°，OC＝ 2 3 32 ＝4， ∴S 扇形 OCED＝ 360 16120  ＝  3 16 57．（2010 湖北咸宁）如图，在⊙O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，连接 AC，将△ACE 沿 AC 翻折得到△ACF，直线 FC 与直线 AB 相交于点 G． （1）直线 FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由； （2）若 2OB BG  ，求 CD 的长． 【答案】解：（1）直线 FC 与⊙O 相切．……1 分 理由如下： 连接 OC ． ∵ OA OC ， ∴ 1 2   ……2 分 由翻折得， 1 3   ， 90F AEC     ． ∴ 2 3   ． ∴OC∥AF． ∴ 90OCG F     ． ∴直线 FC 与⊙O 相切．……4 分 （2）在 Rt△OCG 中， 1cos 2 2 OC OCCOG OG OB     ， ∴ 60COG   ．……6 分 在 Rt△OCE 中， 3sin60 2 32CE OC      ．……8 分 ∵直径 AB 垂直于弦 CD， ∴ 2 2 3CD CE  ．……9 分 A F C GO D E B （第 20 题） 1 3 2 C D A BOM E 58．（2010 广西钦州市）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 M，AE 切⊙O 于点 A，交 BC 的延长线于点 E，连接 AC． （1）若∠B＝30°，AB＝2，求 CD 的长； （2）求证：AE2＝EB·EC． 【答案】解：（1）解法一： 解法二： ∵AB 为⊙O 的直径， ∵AB 为⊙O 的直径，∠B＝30°， ∴∠ACB＝90°．……1 分 ∴AC＝ 1 2 AB＝1，BC＝AB•cos30°＝ 3 …2 分 ∵在 Rt△ABC 中，∠B＝30°，AB＝2， ∵弦 CD⊥直径 AB 于点 M， ∴BC＝AB•cos30°＝2× 3 32  .…2 分 ∴CD＝2CM，AB×CM＝AC×BC……4 分 ∵弦 CD⊥直径 AB，∠B＝30°， ∴CD＝2CM＝2× AC BC AB  ∴ CM＝ 1 2 BC= 3 2 .……4 分 ＝2×1 3 2  ＝ 3 ……5 分 CD＝2CM＝ 32 32   ．……5 分 （其它解法请酌情给分） （2）证明：∵AE 切⊙O 于点 A，AB 为⊙O 的直径， ∴∠BAE＝90°，∠ACE＝∠ACB＝90°，·························· 6 分 ∴∠ACE＝∠BAE＝90°．············································································ 7 分 又∵∠E＝∠E， ∴Rt△ECA∽Rt△EAB．··············································································8 分 ∴ EC AE AE EB  ．·························································································9 分 ∴AE2＝EB•EC． 10 分 59．（2010 鄂尔多斯）如图，AB 为⊙O 的直径，劣弧  BC BE ，BD∥CE，连接 AE 并延 长交 BD 于 D。 求证：（1）BD 是⊙O 的切线 （2） ADACAB 2 C D A BOM E 【答案】证明：（1）∵  BC BE ∴ ∠1=∠2，  AC AE AC=AE ∴AB⊥CE ∵CE∥BD ∴AB⊥BD ∴BD 是⊙O 的切线 （2）连接 CB ∵AB 是⊙O 的切线 ∴∠ACB=90° ∵∠ABD=90°∴∠ACB=∠ABD ∵∠1=∠2∴△ACB∽△ABD ∴ AC AB AB AD  ∴ 2AB AD AC  （证法二，连接 BE，证明略） 全品中考网 60．（2010 新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如图是一个量角器和一个含 30°角的直角三 角板放置在一起的示意图，其中点 B 在半圆 O 的直径 DE 的延长线上，AB 切半圆 O 于点 F， 且 BC=OE。 （1）求证：DE∥CF； （2）当 OE=2 时，若以 O、B、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 OB 的长。 （3）若 OE=2，移动三角形 ABC 且使 AB 边始终与半圆 O 相切，直角顶点 B 在直径 DE 的延长 线上移动，求出点 B 移动的最大距离。 【答案】 D A B C O M N 解：（1）连结 OF ∵AB 切半圆 O 于F 点 ∴OF⊥AB ∴∠OFB=∠ABC=90° ∴OF∥BC ∵BC=OE=OF ∴四边形 OFCB 为平行四边形 ∴CF∥OB 即 DE∥CF (2)在 Rt△ABC 中，∠A=30° BC=OE=2 ∴AC=4 AB= 322-4BC-AC 2222  ∵△OFB∽△ABC ∴ AC OB AB OF  3 34 32 42 AB ACOFOB  （3）在 Rt△ABC 中，BC=OE=2 ∠A=30° 则 AC=4 当 AB 与半圆 O 相切于 E 点时，B 点与 E 点重合，BE=0 当 AB 与半圆 O 相切于 A 点时，△OAB≌△CBA OB=AC=4 BE=OB-OE=4-2=2 即点 B 在直径 DE 的延长线上移动的最大距离为 2. 61．（2010 广西梧州）如图，⊙O 的直径 AC=13，弦 BC=12，过点 A 作直线 MN，使∠BAM= 1 2 ∠AOB， （1）求证：MN 是⊙O 的切线。 （2）延长 CB 交 MN 于点 D，求 AD 的长。 【答案】 （1）证明：∵∠BAM= 1 2 ∠AOB(已知)，∠BCA= 1 2 ∠AOB（同弧所对圆周角是圆心角的一半），∴∠BAM=∠BCA（等量代换）， ∵∠CBA=90°（直径所对圆周角是直角）∴∠BCA +∠CAB=90°， ∴∠BAM+∠CAB=90°，即：∠CAM=90°∴MN 是⊙O 的切线。 （2）在 Rt△ABC 中，AC=13，BC=12，根据勾股定理得：AB=5 ∵∠BCA=∠ACD，∠CBA=∠CAD =90°, ∴△DAB∽△CAB， ∴ AD BA AC BC  ,即： AD 5 13 12  ，∴AD= 12 65 。 62．（2010 广西南宁）如图 11-①， AB 为⊙O 的直径， AD 与⊙O 相切于点 A , DE 与 ⊙O 相切于点 E ，点 C 为 DE 延 长线上一点，且 CBCE  ． （1）求证： BC 为⊙O 的切线； （2）连接 AE ， AE 的延长线与 BC 的延长线交于点G 图 11-① 图 11-② (如图 11-②所示) ．若 2,52  ADAB ,求线段 BC 和 EG 的长． 【答案】（1）连接 OCOE, 1 分 ∵ OCOCOEOBCECB  ,, ∴ )(SSSOECOBC  ∴ OECOBC  2 分 又∵ DE 与⊙O 相切于点 E ∴  90OEC 3 分 ∴  90OBC ∴ BC 为⊙O 的切线 4 分 （2）过点 D 作 BCDF  于点 F ， ∵ BGDCAD ,, 分别切⊙O 于点 BEA ,, ∴ CBCEDEDA  , 5 分 设 BC 为 x ，则 2 xCF ， 2 xDC 在 DFCRt 中， 222 )52()2()2(  xx 解得： 2 5x 6 分 ∵ BGAD // ∴ EGCDAE  ∵ DEDA  ∴ AEDDAE  ∵ CEGAED  ∴ CEGECG  ∴ 2 5 CBCECG 7分 ∴ 5BG ∴ 53455)52( 22 AG 8 分 解法一：连接 BE ， BEAGBGABS ABG  2 1 2 1 ∴ BE53552  ∴ 3 10BE 9 分 在 BEGRt 中， 53 5)3 10(5 2222  BEBGEG 10 分 解法二：∵ CEGAEDEGCDAE  , ∴ GCEADE  ~ 9 分 ∴ EG AE CG AD  , EG EG 53 5.2 2 ,解得 3 55EG 10 分 63．（2010 广东茂名）已知⊙O1 的半径为 R，周长为 C． （1）在⊙O1 内任意作三条弦，其长分别是 1l 、 2l 、 3l ．求证： 1l + 2l + 3l < C； （3 分） (第 25 题（1）图) （第 25 题备用图） （第 25 题备用图） （2）如图，在直角坐标系 x O y 中，设⊙O1 的圆心为 O1 )( RR， ． ①当直线l ： )0(  bbxy 与⊙O1 相切时，求b 的值；（2 分） ②当反比例函数 )0(  kx ky 的图象与⊙O1 有两个交点时， 求 k 的取值范围． （3 分） ： 【答案】（1）证明： Rl 21  ， Rl 22  ， Rl 23  ． 1l + 2l + 3l CRR  223  ， 因此， 1l + 2l + 3l < C． （2）解：①如图，根据题意可知⊙O1 与 x 轴、 y 轴分别相切，设直线l 与⊙O1 相切于 点 M，则 O1M⊥l，过点 O1 作直线 NH⊥ x 轴，与l 交于点 N，与 x 轴交于点 H，又∵直线l 与 x 轴、 y 轴分别交于点 E（ b ，0）、F（0，b ），∴OE＝OF＝b ，∴∠NEO＝45o，∴ ∠ENO1＝45o，在 Rt△O1MN 中，O1N＝O1M  sin45o＝ R2 ， ∴点 N 的坐标为 N（R， RR 2 ）， 把点 N 坐标代入 bxy  得： bRRR 2 ，解得： Rb 2 ， ②如图，设经过点 O、O1 的直线交⊙O1 于点 A、D，则由已知，直线 OO1： xy  是 圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数 x ky  的图象与⊙O1 直径 AD 相交时（点 A、 D 除外），则反比例函数 x ky  的图象与⊙O1 有两个交点． 过点 A 作 AB⊥ x 轴交 x 轴于点 B，过 O1 作 O1C⊥ x 轴于点 C，OO1＝O1C  sin45o＝ R2 ，OA＝ RR 2 ，所以 OB＝AB＝ OA sin45o＝  2 2)2( RR RR 2 2 ， 因此点 A 的坐标是 A )2 2,2 2( RRRR  ，将点 A 的坐标 代入 x ky  ，解得： 2)22 3( Rk  ． 同理可求得点 D 的坐标为 D )2 2,2 2( RRRR  ， 将点 D 的坐标代入 x ky  ，解得： 2)22 3( Rk  所以 当反 比例 函数 )0(  kx ky 的图 象与 ⊙O1 有两 个交 点时 ， k 的取 值范 围是 ： 22 )22 3()22 3( RkR  64．（2010 云南昭通）如图 9，已知直线 l 的解析式为 y=－x＋6,它与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，平行于直线 l 的直线 n 从原点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的 速度运动，运动时间为 t 秒，运动过程中始终保持 n∥l,直线 n 与 x 轴，y 轴分别相交于 C、D 两点，线段 CD 的中点为 P，以 P 为圆心，以 CD 为直径在 CD 上方作半圆，半 圆面积为 S，当直线 n 与直线 l 重合时，运动结束． （1）求 A、B 两点的坐标; （2）求 S 与 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围； （3）直线 n 在运动过程中， ①当 t 为何值时，半圆与直线 l 相切？ ②是否存在这样的 t 值，使得半圆面积 S= ABCDS梯形2 1 ？若存在，求出 t 值．若不 存在，说明理由. 【答案】解：（1）∵y=－x＋6, 令 y=0，得 0=－x＋6, x=6．∴A(6,0)． 令 x=0，得 y=6, ∴B（0,6）． ……………………2 分 （2）∵OA=OB=6， ∴ △AOB 是等腰直角三角形． ∵n∥l， ∴∠CDO=∠BAO=45°， ∴ △COD 为等腰直角三角形， OD=OC=t． CD= ．tttODOC 22222  ∴ tCDPD 2 2 2 1  ． 222 4 1)2 2(2 1 2 1 ttPD   ， ∴ )60(4 1 2  ttS  ． …………………… 8 分 （3）①分别过点 D、P 作 DE⊥AB 于点 E，PF⊥AB 于点 F． AD=OA-OD=6-t, 在 Rt△ADE 中，sin∠EAD= AD DE ， DE= )6(2 2 t ， ∴PF= DE= )6(2 2 t ． 当 PF=PD 时，半圆与 l 相切． C DB 图 10 A O 即 tt 2 262 2  ）（ ， t=3． 当 t=3 时，半圆与 l 相切． ……………………………………11 分 ②存在．∵ 2 2 1182 1662 1S tttSS CODAOBABCD  梯形 ． 2 4 1 tS  ． 若 ABCDSS 梯形2 1 ，则 )2 118(2 1 4 1 22 tt  ， 36)1( 2  t ， 1 362  t ， 61 16 1 6       t ． ∴存在 1 16    t ，使得 ABCDSS 梯形2 1 ．…………………………14 分 65．（2010 辽宁大连）如图 10，△ABC 内接于⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， 30A D     （1）判断 DC 是否为⊙O 的切线，并说明理由； （2）证明：△AOC≌△DBC 【答案】 26题图 O A C B D E 66．（2010 贵州遵义）如图，在⊿ABC，∠C= 90°，AC+BC=8， 点 O 是斜边 AB 上一点，以 O 为圆心的⊙O 分别与 AC、BC 相 切于点 D、E. (1)当 AC=2 时，求⊙O 的半径； (2)设 AC=χ，⊙O 的半径为 y,求 y 与χ的函数关系式。 【 答 案 】 【 答 案 】 解 法 一 ： 连 接 OD 、 OE 、 OC……………………………………1 分 ∵D、E 为切点， ∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE…………………………………2 分 ∵S△ABC=S△AOC+S△BOC ∴ 1 2 AC×BC= 1 2 AC×OD+ 1 2 BC×OE ……………………3 分 ∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6 ∴ 1 2 ×2×6= 1 2 ×2×OD+ 1 2 ×2×OE ……………………4 分 而 OD=OE，∴OD= 3 2 ，即⊙O 的半径为 3 2 ………………5 分 解法二：连接 OD、OE ………………………………………1 分 ∵D、E 为切点， ∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE ……………………………2 分 ∴∠C＝90°，∴OECD 为正方形 ∴OD＝OE＝EC＝CD＝t ………………………3 分 而△AOD∽△ABC，∴ OD AD BC AC  ………………………4 分 ∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6，AD=2－t ∴ 2 6 2 r r ，r= 3 2 ，即⊙O 的半径为 3 2 ………………………5 分 (2)(7 分)连接 OD、OE、OC ……………………………………1 分 ∵D、E 为切点， ∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE=y ………………………2 分 S△ABC=S△AOC+S△BOC ∴ 1 2 AC×BC= 1 2 AC×OD+ 1 2 BC×OE ……………………3 分 ∵AC+BC=8,AC =x,∴BC=8－x ………………………………4 分 1 2 x(8－x)= 1 2 xy+ 1 2 (8－x)y ………………………………5 分 化简：8x－x2=xy+8y－xy………………………………………6 分 即：y=－ 1 8 x2+x ………………………………………………7 分 解法二：连接 OD、OE ………………………………………1 分 ∵D、E 为切点， ∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE ………………………2 分 ∴∠C＝90°，∴OECD 为正方形 ∴OD＝OE＝EC＝CD＝y ………………………………3 分 由 OD∥BC，∴△AOD∽△ABC， （或者：OD∥AC，∴△OBE∽△ABC） ∴ OD AD BC AC  . ∵AC+BC==8，AC=x， ∴BC=8-x，AD=AC-CD=x-y. ∴ 8 y x y x x  . 化简得：xy=（x-y）（8-x）， xy=8x-x2-8y+xy. 所以 21 8y x x   . 解法三：连接 OD、OE. ∵D，E 是切点， ∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE. ∵∠C=90°，∴OECD 是正方形. ∴OD=OE=EC=CD=y. 由 OD∥BC 得：△AOD∽△ABC， ∴ OD OA BC AB  ，即 y OA BC AB  ①. 由 OE∥AC 得：△BOE∽△BAC， ∴ OE OB AC AB  ，即 y OB AC AB  ②. ①+②得： y y OA OB BC AC AB AB    ， 即 1 1( ) 1OA OB ABy BC AC AB AB     . ∴ 2(8 ) 1 8 8 AC BC x xy x xBC AC       . 67．（2010 广东深圳）如图 10，以点 M（—1，0）为圆心的圆与 y 轴、 x 轴分别交于点 A、 B、C、D，直线 3 35 3 3  xy 与⊙M 相切于点 H，交 x 轴于点 E，求 y 轴于点 F。 （1）请直接写出 OE、⊙M 的半径 r、CH 的长；（3 分） （2）如图 11，弦 HQ 交 x 轴于点 P，且 DP：PH=3：2，求 cos∠QHC 的值；（3 分） （3）如图 12，点 K 为线段 EC 上一动点（不与 E、C 重合），连接 BK 交⊙M 于点 T，弦 AT 交 x 轴于点 N。是否存在一个常数 a ，始终满足 MN·MK a ，如果存在，请求出 a 的 值；如果不存在，请说明理由。（3 分） 【答案】【答案】 （1）、如图①，OE=5， 2r  ，CH=2 （2）、如图②，连接 QC、QD，则 90CQD   ， QHC QDC   易知 CHP DQP  ，故 DP DQ PH CH  ， 3 2 2 DQ ， 3DQ  ，由于 4CD  ， 3cos cos 4 QDQHC QDC CD       ； （3）、如图③，连接 AK，AM，延长 AM， 与圆交于点 G，连接 TG，则 90GTA   2 4 90     3 4   ， 2 3 90    F 图① O A A B A C A D A E A M A N A F 图 12 由于 3 90BKO     ，故， 2BKO   ； 而 1BKO   ，故 1 2   在 AMK 和 NMA 中， 1 2   ； AMK NMA   故 AMK NMA  ； MN AM AM MK  ; 即： 2 4MN MK AM  故存在常数 a ，始终满足 MN MK a 常数 4a  68．（2010 广西柳州） 如图 12，AB 为⊙O 直径，且弦 CD⊥AB 于 E，过点 B 的切线与 AD 的延长线交于点 F． （1）若 M 是 AD 的中点，连接 ME 并延长 ME 交 BC 于 N．求证：MN⊥BC． （2）若 cos∠C= 5 4 ，DF=3，求⊙O 的半径． 【答案】（1）（方法一） 连接 AC． ∵ AB 为⊙O 的直径，且 AB⊥CD 于 E， 由垂径定理：点 E 是 CD 的中点． …………1 分 图② F F 图③ 1 O A A B A C A D A E A M A N A F 又∵ M 是 AD 的中点， ∴ ME 是△DAC 的中位线．………………2 分 ∴ MN∥AC．………………………………3 分 ∵ AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ACB=90°， ………………………………………4 分 ∴ ∠MNB=90°，即 MN⊥BC …………………………………………………5 分 （方法二） ∵ AB⊥CD，∴ ∠AED=∠BEC=90° …………………………………………1 分 M 是 AD 的中点，∴ ME=AM，即有∠MEA=∠A ……………………………2 分 又∵ ∠MEA=∠BEN，由∠A 与∠C 同对 ⌒BD知∠C=∠A ∴ ∠C=∠BEN ……………………………………………………………………3 分 又∵ ∠C+∠CBE=90° ∴ ∠CBE+∠BEN=90° ……………………………………………………………4分 ∴ ∠BNE=90°，即 MN⊥BC …………………………………………………5 分 （方法三） ∵ AB⊥CD，∴ ∠AED=90° ……………………………………………………1 分 由于 M 是 AD 的中点，∴ ME=MD，即有∠MED=∠EDM 又∵ ∠CBE 与∠EDA 同对⌒AC ∴ ∠CBE=∠EDA …………………………………………………………………2 分 又∵ ∠MED=∠NEC ∴ ∠NEC=∠CBE ………………………………………………………………3 分 又∵ ∠C+∠CBE=90° ∴ ∠NEC+∠C=90° ……………………………………………………………4 分 即有∠CNE=90°，∴ MN⊥BC …………………………………………………5 分 （2）连接 BD ∵ ∠BCD 与∠BAF 同对 ⌒BD ∴ ∠C=∠A ∴ cos∠A=cos∠C= 5 4 ……………………6 分 ∵ BF 为⊙O 的切线 ∴ ∠ABF=90° 在 Rt△ABF 中，cos∠A= 5 4 AF AB O A A B A C A D A E A M A N A F A E FG O B C D 设 AB=4x，则 AF=5x，由勾股定理得：BF=3x ……7 分 又∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ BD⊥AD ∴ △ABF∽△BDF ∴ BF DF AF BF  ………………………………………………………………………8 分 即 xx x 3 3 5 3  3 5x ……………………………………………………………………………9 分 ∴ 直径 AB=4x=4× 3 20 3 5  则⊙O 的半径为 3 10 ………………………………………………………………10 分 69．（2010 辽宁本溪）已知：如图，在△ABC 中，∠A=45°，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，且 AD=DC，CO 的延长线交⊙O 于点 E，过点 E 作弦 EF⊥AB，垂足为点 G. （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若 AB=2，求 EF 的长. 【答案】 70．（2010 辽宁沈阳）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 BA 的延长线上，直线 CD 与⊙O 相切于点 D，弦 DF⊥AB 于点 E，线段 CD=10，连接 BD。 （1）求证：∠CDE=2∠B； （2）若 BD：AB= 2:3 ，求⊙O 的半径及 DF 的长。 【答案】（1）证明：连接 OD………………………1 分 ∵直线 CD 与⊙O 相切于点 D ∴OD⊥CD ∴∠CDO=90° ∴∠CDE+∠ODE=90°……………………2 分 又∵DF⊥AB ∴∠DEO=∠DEC=90° ∴∠EOD+∠ODE=90° ∴∠CDE=∠EOD……………………3 分 又∵∠EOD=2∠B，∴∠CDE=2∠B……………………4 分 （2）解：连接 AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°……………………5 分 ∵BD：AB= 2:3 ∴在直角三角形 ADB 中，cosB= AB BD = 2 3 ∴∠B=30°……………………64 分 ∴∠AOD=2∠B =60° 又∵∠CDO=90° ∴∠C=30°……………………7 分 ∵在直角三角形 CDO 中，CD=10 ∴OD =10tan30°= 3 310 即⊙O 的半径为 3 310 ……………………8 分 在直角三角形 CDE 中，CD=10, ∠=30° ∴DE=CDsin30°=5……………………9 分 ∵弦 DF⊥直径 AB 于点 E ∴DE=EF= 2 1 DF ∴DF=2DE=10……………………10 分 71．（2010 福建莆田）如图，A、B 是 O 上的两点，∠AOB= 0120 ,点 D 为劣弧 AB 的中 点。 （1） 求证：四边形 AOBD 是菱形； （2） 延长线段 BO 至点 P，交 O 于另一点 C，且 BP=3OB,求证；AP 是 O 的切线。 O 【答案】 72．（2010 天门、潜江、仙桃）如图，Rt△BDE 中，∠BDE=90°，BC 平分∠DBE 交 DE 于 点 C，AC⊥CB 交 BE 于点 A，△ABC 的外接圆的半径为 r. (1)求证： EDrBDEC  ； (2)若 BD=3，DE=4，求 AE 的长. 【答案】（1）设圆心为 O，连接 OC，则因为∠BCA=90°，所以 AB 是直径，OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC，∵∠DBC=∠ABC，∴∠OCB=∠DBC，∴BD∥OC，∴△EOC∽△EBD， C AB P E O F ∴ DE CE BD OC  ，即 EDrBDCE  . （2）在 Rt△BDE 中，BE= 22 DEBD  =5，因为△EOC∽△EBD，所以 BD OC BE OE  ，即 35 5 rr  ，r= 8 15 ，所以 AE=5- 8 15 = 8 25 . 73．（2010 广东肇庆）如图 7，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 A，且 AC=AB，CO 交⊙O 于点 P，CO 的延长线交⊙O 于点 F，BP 的延长线交 AC 于点 E，连接 AP、AE. 求证： （1）AF//BE； （2）△ACP∽△FCA； （3）CP=AE 【答案】证明：(1)∵AB 是直径， ∴∠BPA＝90°。 ∵PF 是直径， ∴∠PAF＝90°。 ∴∠BPA+∠PAF＝180°。 ∴AF//BE。 (2)∵AC 切⊙O 于点 A， ∴∠CAP＝∠AFC。 又∵∠C 是公共角， ∴△ACP∽△FCA。 (3)∵AF//BE， ∴∠BPF＝∠AFC。 又∵∠CPE＝∠BPF， ∴∠CPE＝∠AFC。 ∵∠CAP＝∠AFC。 ∴∠CPE＝∠CAP。 ∴△CPE∽△CAP。 ∴ CP CA ＝ PE AP 。 ∵AB 是直径， ∴∠BPA＝90°。 ∴△AEP∽△BAP。 ∴ AE AB ＝ PE AP 。 又∵AB＝AC， ∴ CP CA ＝ AE AB ＝ AE AC 。 ∴CP=AE. 74．（2010 云南曲靖）如图，⊙O 的直径 AB=12，  BC 的长为 2 ，D 在 OC 的延长线上， 且 CD=OC. （1）求∠A 的度数； （2）求证：DB 是⊙O 的切线. （参考公式：弧长公式 l= 180 rn ，其中 l 是弧长，r 是半径，n 是圆心角度数） 【答案】（1）解：设∠BOC=n0， 据弧长公式，得 .2180 6  n n=600. 据圆周角定理，得∠A= 0302 1 BOC . （2）证明：连接 BC， ∵OB=OC，∠BOC=600， ∴△BOC 是等边三角形. ∴∠OBC=∠OCB=600，OC=BC=OB ∵OC=CD, ∴BC=CD ∴ 0302 1  OCBDCBD . ……8 分 ∴ .903060 000  CBDOBCOBD ∴AB⊥BD. ∴DB 是⊙O 的切线. 75．（2010 四川广安）如图，AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点 D 为劣弧 AC 上一 点，弦 DE⊥AB 分别交⊙O 于 E，交 AB 于 H，交 AC 于 F．P 是 ED 延长线上一点 且 PC=PF． (1) 求证：PC 是⊙O 的切线； (2) 点 D 在劣弧 AC 什么位置时，才能使 2AD DE DF  ，为什么? (3) 在(2)的条件下，若 OH=1，AH=2，求弦 AC 的长． 【 答 案 】 (1) 连 结 OC ， OC=OA ， ∴∠OCA=∠OAC ， ∵PC=PF∴∠PCF=∠PFC ， ∵∠AFH+∠OAC=90°，∠AFH=∠PFC，∴∠PCF+∠OCA=90°，∴PC 是⊙O 的切线； (2) 当 点 D 在 劣 弧 AC 的 中 点 时 有 2AD DE DF  ， 连 结 AE 、 DC ， 则 CD=AD ， ∠DCA=∠DAC ， 又 ∠DCA=∠AED ， ∴△ADF∽△ADE ， ∴ AD DF DE AD  ∴ 2AD DE DF  ； (3) 连结 OD， OH=1，AH=2，则 OA=3，所以 DH= 22 ，DE= 24 ，AD= 32 ，由 2AD DE DF  得 AF=DF= 2 23 ，又△AHF∽△ABC，∴ AB AF AC AH  即 6 2 23 2  AC ，AC 的长为 24 。 76．（2010 广东湛江） 如图，在△ABC 中，以 AB 为直径的⊙Ｏ交 BC 于点 P，PD⊥AC 于点 D，且 PD 与⊙Ｏ相切. （1）求证：AB=AC； （2）若 BC=6，AB=4,求 CD 的值. 【答案】解：（1）证明：连接 PO， 因为 PD 与⊙Ｏ相切.所以∠DPO=90°. 因为 PD⊥AC，所以∠PDC=∠DPO=90°. 所以 OP//OB. 所以∠C=∠OPB. 因为 OP=OB， 因为∠OPB=∠B，所以∠C=∠B.所以 AB=AC. （2）解：连接 AP, 因为 AB 是⊙Ｏ的直径，所以∠APB=90°. 因为 AB=AC，所以∠B=∠C，BP=PC= 1 2 BC= 1 2 ×6=3. 因为 PD⊥AC，所以∠PDC=∠APB=90°. 所以△PDC∽△APB.所以 CD PC BP AB  .即 3 3 4 CD  .所以 CD= 9 4 . 77．（2010 内蒙呼和浩特）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点 O 在边 CA 上移动，且⊙O 的半径为 2. （1）若圆心 O 与点 C 重合，则⊙O 与直线 AB 有怎样的位置关系？ （2）当 OC 等于多少时，⊙O 与直线 AB 相切？ 【答案】22.解：（1）作 CM⊥AB，垂足为 M 在 Rt△ABC 中，AB＝ AC2＋BC2＝ 32＋42＝5………………………1 分 ∵1 2 AC·BC＝1 2 AB·CM ∴CM＝12 5 ………………………2 分 ∵12 5 ＞2 ∴⊙O 与直线 AB 相离………………………3 分 （2）如图，设⊙O 与 AB 相切，切点为 N，连结 ON 则 ON⊥AB ∴ON∥CM ∴△AON∽△ACM………………………5 分 ∴AO AC ＝NO CM 设 OC＝x，则 AO＝3－x ∴3-x 3 = 2 12 5 ∴x=0.5 ∴当 CO＝0.5 时，⊙O 与直线 AB 相切………………………7 分 78．（2010 内蒙赤峰）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是一条弦，连结 OC 并延长 OC 至 P 点，并使 PC=BC，∠BOC = 60o (1)求证：PB 是⊙O 的切线。 (2)若⊙O 的半径长为 1，且 AB、PB 的长是一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个根，求 b、c 的值。 【答案】（1）证明：在△BOC 中，∵OB=OC，∠BOC=60°， ∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°。 ………………………………………………………2 分 又∵PC=BC，∴∠CBP=∠CPB = 2 1 ∠OCB=30°。……………………………………4 分 ∴∠OBP=∠OBC+∠CBP =60°+30°=90°， ∴PB⊥AB。 又∵AB 是直径， ∴PB 是⊙O 的切线。……………………………………………………………………6 分 （2）∵OB=1， ∴AB=2。 在 Rt△POB 中，PB= OB·tan60°= 331  ………………………………………8 分 由题意知 x1=2，x2= 3 。∴x1+x2=2+ 3 ，x1·x2=2 3 。 ∴b= )32(  ，c=2 3 。………………………………………………………………10 分 (或将 x=2 及 x= 3 分别代入 x2+bx+c=0 得      .033 ,024 cb cb 解得      .32 ),32( c b 结果为            .4 32 2 32 1 c b 不扣分) 79．（2010 广西百色）如图 1， AB 是⊙ O 的直径， ABBC  ，垂足为 B ， AC 交⊙ O 于点 D . （1）用尺规作图：过点 D 作 BCDE  ,垂足为 E （保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，求证： BED ∽ DEC ；[来源:Zxxk.Com] 图 2 A B C D O C BO D 图 1 A （3）若点 D 是 AC 的中点（如图 2），求 OCBsin 的值. [来源:Z*xx*k.Com] 【答案】(1)如图 ……………………………2′ （2）证明：∵ AB 是⊙ O 直径 ∴∠ ADB =∠ CDB = 90 ∴∠ CDE +∠ EDB = 90 …………1′ 又∵ DE ⊥ BC ∴∠ CED =∠ DEB = 90 ∴∠ CDE +∠ C = 90 ………………1′ ∴∠ C =∠ EDB ………………1′ ∴ BED ∽ DEC …………………1′ (3)解：∵∠ ADB = 90 ， D 是 AC 的中点 ∴ BD 垂直平分 AC …………………1′ ∴ OBABBC 2 ………………1′ 设 ,kOB  则 kBC 2 ∴ 22 )2( kkOC  = k5 …………1′ ∴ OCBsin = k k OC OB 5  = 5 5 ……1′ 80．（2010四川攀枝花）如图11，已知AB是⊙O的直径，直线L与⊙O相切于点C,弧AC=弧AD,CD 交AB于E,BF⊥直线L,垂足为F,BF交⊙O于G. (1)图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论。 （2）若sin∠CBF= 5 5 , AE=4, 求AB的值。 A B C D O 图11 A L D C B G F E O 【答案】（1）证明：连结 CG，AC 则∠CGF＝∠BAC ∵弧 AC=弧 AD,AB 是⊙O 的直径 ∴AB⊥CD, 又 BF⊥直线 L, ∴∠FCG＝∠CBF………2 分 而∠ACE＝∠ABC, ∴∠CBF＝∠ABC, ∴AC=CG ∴Rt△ACE≌Rt△GCF, ∴AE=GF ………………………4 分 （2）∵sin∠CBF= 5 5 ∴tan∠CBF=tan∠FCG= FC FG = 2 1 FG=AE=4, ∴FC=8 由（1）得 CE=FC=8………………………6 分 ∵CE2=AE×EB, ∴8 2 =4×EB, ∴EB=16 ∴AB=AE+EB=4+16=20…………8 分 2009 年中考试题专题之 21、22-圆以及直线与圆的位置关系试题及答案 一、选择题 1. （2009 年娄底）如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于 D 交⊙O 于 E，则下列说法错误．．的是 ( ) A．AD=BD B．∠ACB=∠AOE C． AE BE D．OD=DE 2.（2009 恩施市）16．如图 6， O⊙ 的直径 AB 垂直弦CD 于 P ，且 P 是半径OB 的中点， 6cmCD  ，则直径 AB 的长是（ ） A． 2 3cm B．3 2cm C． 4 2cm D． 4 3cm 3．（2009 年甘肃白银）如图 2，⊙O 的弦 AB=6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4， 则⊙O 的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2009 年甘肃庆阳）如图 5，⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 不可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2009 年广西南宁）如图 3， AB O是⊙ 的直径，弦 30 3cmCD AB E CDB O  于点 ， °，⊙ 的半径为 ，则弦CD 的长为（ ） A． 3 cm2 B．3cm C． 2 3cm D．9cm 6．（2009 年孝感）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO 的度数是( ) 图 3 C A B O E D A．15° B．30° C．45° D．60° [来源:学科网] 7.（2009 泰安）如图，⊙O 的半径为 1，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB= 3 ，则弦 AB 所对 圆周角的度数为 （A）30° （B）60°（C）30°或 150° （D）60°或 120° 8.（2009 年天津市）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ，若 28OAB  °，则 C 的大小为（ ） A． 28° B．56° C． 60° D． 62° 【关键词】圆周角和圆心角 【答案】D 9. （2009 南宁）如图， AB O是⊙ 的直径，弦 30 3cmCD AB E CDB O  于点 ， °，⊙ 的半径为 ， 则弦CD 的长为（ ） A． 3 cm2 B．3cm C． 2 3cm D．9cm 【关键词】圆周角和圆心角 【答案】B 10.（2009 年湘西自治州）14． O⊙ 的半径为 10cm，弦 AB＝12cm，则圆心到 AB 的距离为 C A B O （ ） A． 2cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm 【关键词】圆的计算，弦，点到直线的距离 【答案】C 11.（2009 白银市）8．如图 2，⊙O 的弦 AB=6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4， 则⊙O 的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【关键词】圆的相关概念、点到直线的距离 【答案】A 12.（2009 年清远）如图，AB 是 O⊙ 的直径，弦CD AB 于点 E ，连结OC ，若 5OC  ， 8CD  ，则 tan COE =（ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 13．（2009 年长春）两圆的半径分别为 2 和 5，圆心距为 7，则这两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 14．（2009 年安徽）如图，弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD＝ 2 2 ，BD＝ 3 ，则 AB 的长为【 】 A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2009 年安徽）△ABC 中，AB＝AC，∠A 为锐角，CD 为 AB 边上的高，I 为△ACD 的 内切圆圆心，则∠AIB 的度数是【 】 A．120° B．125° C．135° D．150° 【关键词】与圆有关的综合题 【答案】C 16．（2009 年福州）如图，弧 AD 是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周， P 为弧 AD 上任意一点，若 AC=5，则四边形 ACBP 周长的最大值是（ ） A． 15 B． 20 C．15+5 2 D．15+5 5 【关键词】等边三角形,勾股定理,同圆的半径相等 【答案】C 17．（2009 年重庆）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆， AB 是直径．若 80BOC  °， 则 A 等于（ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【关键词】圆周角和圆心角 【答案】C． 18．(2009 年甘肃定西)如图 2，⊙O 的弦 AB=6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4， 则⊙O 的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【关键词】垂径定理、勾股定理. 【答案】A 19.（2009 年长沙）如图， AB 是 O⊙ 的直径，C 是 O⊙ 上一点， 44BOC  °，则 A 的 度数为 ． C BA O 24.（2009 年长沙）如图，已知 O⊙ 的半径 6OA  ， 90AOB  °，则 AOB 所对的弧 AB 的长为（ ）答案：B A． 2π B．3π C． 6π D．12π 25.（2009 肇庆）9．如图 4，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于（ ）B A． 30° B． 45° C． 55° D． 60° 26．(2009 年南充)如图 2，AB 是 O⊙ 的直径，点 C、D 在 O⊙ 上， 110BOC  °， AD OC∥ ，则 AOD  （ ） A．70° B．60° C．50° D．40° 27. (2009 年温州)如图，么 AOB 是⊙0 的圆心角，∠AOB=80°，则弧 AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( ) A．40° B．45° C．50° D．80° 28、（2009 年凉山州）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆，已知 50ABO  °，则 ACB 的 大小为（ ） A．40° B．30° C．45° D．50° 29. 4、（2009 年遂宁）如图，已知⊙O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A=70o，∠c=50o， 那么 sin∠AEB 的值为( ) A. 2 1 B. 3 3 C. 2 2 D. 2 3 30. 2、（2009 年兰州）如图，点 A、B、C、D 为圆 O 的四等分点，动点 P 从圆心 O 出发， 沿 O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为t 秒, ∠APB 的度数为 y 度，则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最恰当的是( ). 31. （2009 年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24 米， 拱的半径为 13 米，则拱高为( ) A．5 米 B．8 米 C．7 米 D．5 3 米 32.（2009 年台湾）如图(一)，在坐标平面上，ABC 为直角三角形，B=90， AB 垂直 x 轴，M 为ABC 的外心。若 A 点坐标为(3,4)，M 点坐标为(1,1)，则 B 点坐标为何？ (A) (3,1) (B) (3,2) (C) (3,3) (D) (3,4) 。 33. （2009 年台湾）如图，圆上有 A、B、C、D 四点，其中BAD=80。若ABC、ADC的 长度分别为 7、11，则BAD的长度为何？ (A) 4 (B) 8 (C) 10 (D) 15 。 34. （2009 年台湾） AB 是一圆的直径，C、D 是圆周上的两点。已知 AC =7， BC =24， AD =15，求 BD =？ (A) 16 (B) 20 (C) 8 35 (D) 5 56 。[来源:Zxxk.Com] 【关键词】与圆有关的计算 【答案】B 35. （2009 年台湾）如图(十一)，长方形 ABCD 中，以 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交 AB 于 E 点。取 BC 的中点为 F，过 F 作一直线与 AB 平行，且交DE于 G 点。求AGF=？ (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 。 36．(2009 年河北)如图，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O 是小正方 形顶点，⊙O 的半径为 1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 37．(2009 年潍坊)已知圆 O 的半径为 R，AB 是圆 O 的直径，D 是 AB 延长线上一点，DC 是圆 O 的切线，C 是切点，连结 AC，若 30CAB  °，则 BD 的长为（ ） A． 2R B． 3R C． R D． 3 2 R 39．(2009 年咸宁市)如图，在平面直角坐标系中， A⊙ 与 y 轴相切于原点 O ，平行于 x 轴 的直线交 A⊙ 于 M 、 N 两点，若点 M 的坐标是 ( 4 2) ， ，则点 N 的坐标为（ ） A． ( 1 2) ， B． (1 2)， C． ( 15 2) ．， D． (1.5 2)， 40．（09 湖南邵阳）如图， AB 是圆 O 的直径， AC 是圆 O 的切线， A 为切点，连结 BC 交 圆 O 于点 D ，连结 AD ，若 45ABC  °，则下列结论正确的是（ ） A． 1 2AD BC B． 1 2AD AC C． AC AB D． AD DC [来源:Zxxk.Com] 41．（2009 年湖北十堰市）如图，△ABC 内接于⊙O，连结 OA、OB，若∠ABO=25°，则∠ C 的度数为（ ）． A．55° B．60° C．65° D．70° 42．（2009 年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部 分水面宽 0.8 米，最深处水深 0.2 米，则此输水管道的直径是（ ）． A．0.4 米 B．0.5 米 C．0.8 米 D．1 米 43．（2009 年山西省）如图， AB 是 O⊙ 的直径， AD 是 O⊙ 的切线，点C 在 O⊙ 上， BC OD∥ ， 2 3AB OD ， ,则 BC 的长为（ ） A． 2 3 B． 3 2 C． 3 2 D． 2 2 44．（2009 年邵阳市）如图 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结 BC 交 圆 0 于点 D,连结 AD,若∠ABC=45 0 ,则下列结论正确的是（ ） A.AD= 2 1 BC B.AD= 2 1 AC C.AC＞AB D.AD＞DC 45.（2009 黑龙江大兴安岭）如图，⊙O 是△ ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，若⊙O 的半径为 2 3 ， 2AC ， 则 Bsin 的值是 （ ） A． 3 2 B． 2 3 C． 4 3 D． 3 4 46.(2009 年肇庆市)如图 4，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于 （ ） A． 30° B． 45° C． 55° D． 60° 47.(2009 武汉)10．如图，已知 O⊙ 的半径为 1，锐角 ABC△ 内接于 O⊙ ， BD AC⊥ 于 点 D ，OM AB⊥ 于点 M ，则sin CBD 的值等于（ ） A．OM 的长 B． 2OM 的长 C．CD 的长 D． 2CD 的长 48.（2009 威海）已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若 AB=AC=5，BC=6，则⊙的半径为（ ） A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25 49.(2009 年安顺)如图，已知 CD 为⊙O 的直径，过点 D 的弦 DE 平行于半径 OA，若∠D 的度数是 50°，则∠C 的度数是： A．25° B．40° C．30° D．50° 50．（2009 山西省太原市）如图，在 Rt ABC△ 中， C =90°，AB =10，若以点C 为圆心， CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D ，则 AC 的长等于（ ） A．5 3 B．5 C．5 2 D．6 51. （2009 山西省太原市）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OA AB BO  的路径运动一周．设 OP 为 s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画 s 与t 之间关系的 是（ ） 解析：本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点 P 从点 O 向点 A 运动，OP 逐渐增大， 当点 P 从点 A 向点 B 运动，OP 不变，当点 P 从点 B 向点 O 运动，OP 逐渐减小，故能大致 地刻画 s 与t 之间关系的是 C． 52. （2009 年浙江省绍兴市）如图，在平面直角坐标系中， P⊙ 与 x 轴相切于原点O ，平 行于 y 轴的直线交 P⊙ 于 M ， N 两点．若点 M 的坐标是（ 2 1， ），则点 N 的坐标是 （ ） A． (2 4)， B. (2 4.5)， C. (2 5)， D.(2 5.5)， 53、(2009 年鄂州)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD⊥AB 于 D ，AD=9、BD=4， 以 C 为圆心、CD 为半径的圆与⊙O 相交于 P、Q 两点，弦 PQ 交 CD 于 E，则 PE·EQ 的值是（ ） A．24 B、9 C、6 D、27 【关键词】相似三角形与圆 B C DA P A O B s tO s O t O s t O s tA． B． C． D． 【答案】D 53.（2009 年清远）已知 O⊙ 的半径 r ，圆心O 到直线l 的距离为 d ，当 d r 时，直线l 与 O⊙ 的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 54．（2009 临沂）已知 1O⊙ 和 2O⊙ 相切， 1O⊙ 的直径为 9Cm， 2O⊙ 的直径为 4cm．则 1 2O O 的长是（ ） A．5cm 或 13cm B．2.5cm C．6.5cm D．2.5cm 或 6.5cm 55. （2009 年台湾）如图，直线 AB、直线 CD 为不平行之二直线，今欲作一圆 O 同时与直线 AB、直线 CD 相切，以下是甲乙两人的作法： (甲) 1. 过 D，作一直线 L 与直线 AB 垂直，且交直线 AB 于 E 2. 取 DE 中点 O[来源:学§科§网] 3. 以 O 为圆心，OE 长为半径画圆，则圆 O 即为所求[来源:学&科&网 Z&X&X&K] (乙) 1. 设直线 AB 与直线 CD 相交于 P 2. 作BPD 之角平分线 L 3. 过 C，作一直线 M 与直线 CD 垂直，且交直线 L 于 O 4. 以 O 为圆心， OC 长为半径画圆，则圆 O 即为所求 对于两人的作法，下列叙述何者正确？ (A) 两人皆正确 (B) 两人皆错误 (C) 甲正确，乙错误 (D) 甲错误，乙正确。[来 源:Zxxk.Com] 56．(2009 年宁德市)如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A，⊙O 的半径为 2，若∠OBA = 30°， 则 OB 的长为（ ） A．4 3 B．4 C． 2 3 D．2 57. （09 湖南邵阳）如图， AB 是圆 O 的直径， AC 是圆 O 的切线， A 为切点，连结 BC 交 圆 O 于点 D ，连结 AD ，若 45ABC  °，则下列结论正确的是（ ） A． 1 2AD BC B． 1 2AD AC C． AC AB D． AD DC 58.（2009 年黑龙江佳木斯）10、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 的中点于 D,DE⊥AC 于 E,连接 AD,则下列结论正确的个数是( ） ①AD⊥BC ②∠EDA=∠B ③OA= 1 2 AC ④DE 是⊙O 的切线 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 59．（2009 年山西省）如图， AB 是 O⊙ 的直径， AD 是 O⊙ 的切线，点C 在 O⊙ 上， BC OD∥ ， 2 3AB OD ， ,则 BC 的长为（ ） A． 2 3 B． 3 2 C． 3 2 D． 2 2 60．（2009 年邵阳市）如图 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结 BC 交 圆 0 于点 D,连结 AD,若∠ABC=45 0 ,则下列结论正确的是（ ） A.AD= 2 1 BC B.AD= 2 1 AC C.AC＞AB D.AD＞DC 61. （2009 襄樊市）如图， AB 是 O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上， DC 切 O 于C， 若 25A  ∠ ．则 D∠ 等于（ A ） A． 40 B．50 C． 60 D． 70 解析：本题考查圆的基本概念与性质、切线的性质，连接 OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=25°， ∴∠DOC=50°，∵ DC 切 O 于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=40°，故选 A。 62．（2009 绵阳）一个钢管放在 V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管 的 半径为 25 cm，∠MPN = 60 ，则 OP =( ) A．50 cm B．25 3 cm C． 3 350 cm D．50 3 cm 63.如图，△ABC 是直角边长为 a 的等腰直角三角形，直角边 AB 是半圆 O1 的直径，半圆 O2 过 C 点且与半圆 O1 相切，则图中阴影部分的面积是 A． 2 36 7 a B． 2 36 5 a C． 2 36 7 a D． 2 36 5 a 64．6．(2009 年云南省)如图，A、D 是⊙ O 上的两个点，BC 是直径，若∠D = 35°，则∠ OAC 的度数是（ ） A．35°B．55° C．65°D．70° 65．（ 2009 年 枣 庄 市 ）10．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为圆上两点∠AOC =130°， 则∠D 等于（ ） A．25° B．30° C．35° D．50° 66．（2009 年佳木斯）如图，⊙O 与 AB 相切于点 A，BO 与⊙O 交于点 C，∠B=26°，则 ∠OCA＝________________度. 67. （2009 年赤峰市）如图 PA、PB 是⊙O 的切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC 得度数是 （ ） A、10° B、20° C、30° D、40° 二、填空题 1.（2009 柳州）15．如图 3，  30MAB ，P 为 AB 上的点，且 6AP ，圆 P 与 AM 相 切，则圆 P 的半径为 ． 2.（2009 年娄底）如图 6，已知 AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于 C，AB=3cm， PB=4cm，则 BC= . 3.（2009 丽水市）如图，在⊙O 中，∠ABC=40°，则∠AOC＝ ▲ 度． 4.(2009 年鄂州)在⊙O 中，已知⊙O 的直径 AB 为 2，弦 AC 长为 3 ，弦 AD 长为 2 ．则 DC2＝______ 5.（2009 年河南）如图，AB 为半圆 O 的直径，延长 AB 到点 P，使 BP= 1 2 AB，PC 切半圆 O 于点 C，点 D 是 AC 上和点 C 不重合的一点，则 D 的度数为 . C B A O 6.（2009 年新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点 A B C， ， ， 已知 A 点的坐标是 ( 3 5) ， ，则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________． 7. （2009 年湘西自治州）一个圆的半径是 4，则圆的面积是 ．（答案保留π） 8. （2009 白银市）17．如图，在△ABC 中， 5cmAB AC  ，cosB 3 5  ．如果⊙O 的半 径为 10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm． 9．（2009 年长春）如图，点C 在以 AB 为直径的 O⊙ 上， 10 30AB A  ， °，则 BC 的 长为 ． 10. （2009 年福州）如图 4，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上 ，OD∥AC，若 BD=1，则 BC 的长为 11．（2009 年广西梧州）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知 AB＝16m，半径 OA＝10m，则中间柱 CD 的高度为 ★ m． 12．(2009 年甘肃定西)如图 7，在△ABC 中， 5cmAB AC  ，cosB 3 5  ．如果⊙O 的半 径为 10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm． 15．（2009 年哈尔滨）如图，⊙O 的直径 CD＝10，弦 AB＝8，AB⊥CD，垂足为 M，则 DM 的长为 ． 16.（2009 年中山）已知 O⊙ 的直径 8cmAB C ， 为 O⊙ 上的一点， 30BAC  °，则 BC = _ cm ． 17、（2009 年兰州）如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在格点上，则∠AED 的正切值等于 ． 18、(2009 年济南)如图， O 的半径 5cmOA  ，弦 8cmAB  ，点 P 为弦 AB 上一动点，则 点 P 到圆心O 的最短距离是 cm． 19.（2009 年北京市）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，E 为 BC 上一点，若∠CEA= 28 ， 则∠ABD= °. D A B C E 2 0．(2009 年宁德市)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO=32°，则∠COB 的 度数等于 ． 21．(2009 年咸宁市)为庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇， 布扇完全打开后，外侧两竹条 AB 、 AC 夹角为120°， AB 的长为30cm ，贴布部分 BD 的 长为 20cm ，则贴布部分的面积约为____________ 2cm ．（ π 取 3） 22．（09 湖南怀化）如图， PA、 PB 分别切⊙ O 于点 A 、 B ，点 E 是⊙ O 上一点，且 60AEB ，则 P __ ___度． 23．（09 湖南怀化）亲爱的同学们，我们在教材中已经学习了: ①等边三角形；②等腰梯 形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形， 又 是中心对称图形的是 ． 【关键词】圆的对称性 【答案】圆（或填⑤） 24.（2009 年）14．若一边长为 40 ㎝的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆 形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 ㎝．(铁丝粗细忽略不计) 25．（2009 年山东青岛市）如图， AB 为 O⊙ 的直径，CD 为 O⊙ 的弦， 42ACD  °， 则 BAD  °． 26．（2009 年新疆乌鲁木齐市）如图 3，点 C D、 在以 AB 为直径的 O⊙ 上，且 CD 平分 ACB ，若 2 15AB CBA  ， °，则CD 的长为 ． 27.（2009 年广东省）已知 O⊙ 的直径 8AB  cm，C 为 O⊙ 上的一点， 30BAC  °，则 BC  __________cm． 28．（2009 年山西省）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点， 1 70 40A   °， °，则 C  度． 29.(2009 年肇庆市)75°的圆心角所对的弧长是 2.5π ，则此弧所在圆的半径为 ． 30.(2009 年上海市) 16．在圆 O 中，弦 AB 的长为 6，它所对应的弦心距为 4，那么半径 OA  ． 31.(2009 成都)如图，△ABC 内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD＝6， 那么 BD＝_________． 32.(2009 年安顺)如图，⊙O 的半径 OA＝10cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最 短距离为___________cm。 33.(2009 成都)如图，A、B、c 是⊙0 上的三点，以 BC 为一边，作∠CBD=∠ABC，过 BC 上一 点 P，作 PE∥AB 交 BD 于点 E．若∠AOC=60°，BE=3，则点 P 到弦 AB 的距离为_______． 34．（2009 年湖南长沙）如图， AB 是 O⊙ 的直径，C 是 O⊙ 上一点， 44BOC  °，则 A 的度数为 ． 36.（2009 年贵州省黔东南州）如图，⊙O 的半径为 5，P 为圆内一点，P 点到圆心 O 的距离 为 4，则过 P 点的弦长的最小值是_____________。 37.（2009 年江苏省）如图， AB 是 O⊙ 的直径，弦 CD AB∥ ．若 65ABD  °，则 ADC  ． 38.（2009 年泸州）如图，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C， 若大圆半径为 10cm，小圆半径为 6cm，则弦 AB 的长为 cm． 39.（2009 年杭州市）如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过ΔABC 的内切圆圆心 O，且点 E 在半圆弧上．①若正方形 的顶点 F 也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是______________；②若正方形 DEFG 的面积为 100，且ΔABC 的内切圆半径 r =4，则半圆的直径 AB = __________． 40．（2009 年甘肃白银）如图 7，在△ABC 中， 5cmAB AC  ，cosB 3 5  ．如果⊙O 的 半径为 10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm． 41．（2009 年甘肃庆阳）如图，两个等圆⊙O 与⊙O′外切，过点 O 作⊙O′的两条切线 OA、OB，A、B 是切点，则∠AOB= ． 42．（2009 年甘肃庆阳）如图 8，直线 AB 与⊙O 相切于点 B，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙ O 于点 D，连结 BD，则图中直角三角形有 个． 43.（2009 年新疆）如图， 60ACB  °，半径为 1cm 的 O⊙ 切 BC 于点C ，若将 O⊙ 在CB 上向右滚动，则当滚动到 O⊙ 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm． 44.（2009 年衢州）如图，DB 为半圆的直径，A 为 BD 延长线上一点，AC 切半圆于点 E， BC⊥AC 于点 C，交半圆于点 F．已知 BD=2，设 AD=x，CF=y，则 y 关于 x 的函数解析式 是 ． 45.（2009 年益阳市）如图， AB 与⊙O 相切于点 B，线段 OA 与弦 BC 垂直于点 D，∠ AO B=60°，BC=4cm，则切线 AB= cm. 46.（2009 年济宁市）如图，⊙A 和⊙B 都与 x 轴和 y 轴相切，圆心 A 和圆心 B 都在反比例 函数 1y x  的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 47.（2009 年衡阳市）如图，直线 AB 切⊙O 于 C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦 EF ∥AB，连结 OC 交 EF 于 H 点，连结 CF，且 CF=2，则 HE 的长为_________． 48.（2009 年宜宾）如图，点 A、B、C 在⊙O 上，切线 CD 与 OB 的延长线交于点 D，若∠A=30°， CD= 32 ，则⊙O 的半径长为 ． 第19题图 A B C D O 49．（2009 年广西钦州）如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别 交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在 AB 上，若 PA 长为 2，则△PEF 的周长是_▲_． [来源:学§科§网 Z§X§X§K] 50.（2009 年包头）如图，在 ABC△ 中， 120 2 3AB AC A BC   ， °， ， A⊙ 与 BC 相切于点 D ，且交 AB AC、 于 M N、 两点，则图中阴影部分的面积是 （保留 π ）． 51．(2009 年南充) ABC△ 中， 10cm 8cm 6cmAB AC BC  ， ， ，以点 B 为圆心、6cm 为半径作 B⊙ ，则边 AC 所在的直线与 B⊙ 的位置关系是 ． 52．(2009 年温州)如图，已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8，⊙0 的半径为 2，圆心在正方形 的中心上，将纸片按图示方式折叠，使 EA7 恰好与 6)0 相切于点 A ′(△EFA′与⊙0 除切点 外无重叠部分)，延长 FA′交 CD 边于点 G，则 A′G 的长是 53. （2009 年株洲市）如图， AC 是 O 的直径，CB 与 O 相切于点C ， AB 交 O 于 点 D ．已知 51B   ，则 DOC 等于 度． 54. （2009 年重庆市江津区）如图，在 10×6 的网格图中(每个小正方形的边长均为 1 个单 位长)。⊙A 半径为 2，⊙B 半径为 1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向 左平移 个单位长. 55. （2009 山西省太原市）如图 AB 、AC 是 O⊙ 的两条弦， A =30°，过点C 的切线与OB 的延长线交于点 D ，则 D 的度数为 ．[来源:学_科_网] 56. （2009 湖北省荆门市）Rt△ABC 中， 90 6 8C AC BC   °， ， ．则△ABC 的内切 圆半径 r  ______． [来源:学科网 ZXXK] 57、（2009 眉山）如图 4，AB、CD 是⊙O 的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、 CB 的延长线相交于 P，∠P＝ ° 58．(2009 年云南省)已知圆上一段弧长为 6 π ，它所对的圆心角为 120°，则该圆的半 径为___________． 59、（2009 贺州）如图，正方形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是劣弧 AB 上 不同于点 B 的任意一点，则∠BPC= 度． 【关键词】圆周角 【答案】45 三、解答题 1.（2009 柳州）25．（本题满分 10 分） 如图 10，AB 是⊙O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CE⊥AB，垂足为 E，BD 交 CE 于点 F． （1）求证：CF BF ； （2）若 2AD  ，⊙O 的半径为 3，求 BC 的长． 2.(2009 年四川省内江市)如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 相交于点 E、F 在 AC 上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC. 求证：（1）CD⊥DF； （2）BC=2CD 3.（2009 桂林百色）25． （本题满分 10 分）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过 A 作直线 MN，若∠MAC=∠ABC ． （1）求证：MN 是半圆的切线； （2）设 D 是弧 AC 的中点，连结 BD 交 AC 于 G，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F． 求证：FD＝FG． （3）若△DFG 的面积为 4.5，且 DG=3，GC=4，试求△BCG 的面积． 4.（2009 河池）25． (本小题满分 10 分) 如图 1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦， 4OC  ， 60OAC   ． （1）求∠AOC 的度数； （2）在图 1 中，P 为直径 BA 延长线上的一点，当 CP 与⊙O 相切时，求 PO 的长； （3） 如图 2，一动点 M 从 A 点出发，在⊙O 上按逆时针方向运动，当 MAO CAOS S△ △ 时， 求动点 M 所经过的弧长． 5. (2009 烟台市) 如图，AB，BC 分别是 O⊙ 的直径和弦，点 D 为 BC 上一点，弦 DE 交 O⊙ 于点 E，交 AB 于点 F，交 BC 于点 G，过点 C 的切线交 ED 的延长线于 H，且 HC HG ， 连接 BH ，交 O⊙ 于点 M，连接 MD ME， ． 求证：（1） DE AB ； （2） HMD MHE MEH     ． 6．（2009 年甘肃庆阳）（10 分）如图，在边长为 2 的圆内接正方形 ABCD 中，AC 是对角 线，P 为边 CD 的中点，延长 AP 交圆于点 E． （1）∠E= 度； （2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； （3）求弦 DE 的长． 7.(2009 年衢州）如图，AD 是⊙O 的直径． (1) 如图①，垂直于 AD 的两条弦 B1C1，B2C2 把圆周 4 等分，则∠B1 的度数是 ， ∠B2 的度数是 ； H M B E O F GC A D (2) 如图②，垂直于 AD 的三条弦 B1C1，B2C2，B3C3 把圆周 6 等分，分别求∠B1，∠B2， ∠B3 的度数； (3) 如图③，垂直于 AD 的 n 条弦 B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn 把圆周 2n 等分，请你用含 n 的代数式表示∠Bn 的度数(只需直接写出答案)． 23. （2009 年锦州）如图 11，AB 为⊙O 的直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点 D，DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E，FB 是⊙O 的切线交 AD 的延长线于点 F. (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若 DE=3，⊙O 的半径为 5，求 BF 的长. [来源:Zxxk.Com] 16．（2009 年安徽）如图，MP 切⊙O 于点 M，直线 PO 交⊙O 于点 A、B，弦 AC∥MP， 求证：MO∥BC． 17. （2009 年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC= cm32 ， （1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长 18.（2009 年广西钦州）（2）已知：如图 2，⊙O1 与坐标轴交于 A（1， 0）、B（5，0）两 点，点 O1 的纵坐标为 5 ．求⊙O1 的半径．[来源:学科网 ZXXK] 19.（2009 年莆田）（1）根据下列步骤画图．．并标明相应的字母:（直接在图１中画图） ①以已知线段 AB （图 1）为直径画半圆O ； ②在半圆O 上取不同于点 A B、 的一点C ，连接 AC BC、 ； ③过点 O 画OD BC∥ 交半圆O 于点 D． （2）尺规作图．．：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明） 已知： AOB （图 2）． 求作： AOB 的平分线． 20.（2009 年莆田）已知，如图， BC 是以线段 AB 为直径的 O⊙ 的切线， AC 交 O⊙ 于点 D ，过点 D 作弦 DE AB ，垂足为点 F ，连接 BD BE、 ．． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________， ④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）； （2） A =30°，CD = 2 3 3 ，求 O⊙ 的半径 r． 21.(2009 年本溪)22．如图所示，AB 是 O⊙ 直径，OD⊥弦 BC 于点 F ，且交 O⊙ 于点 E ， 若 AEC ODB   ． （1）判断直线 BD 和 O⊙ 的位置关系，并给出证明； （2）当 10 8AB BC ， 时，求 BD 的长． 22.(2009 宁夏)23． 已知：如图，AB 为 O⊙ 的直径，AB AC BC ， 交 O⊙ 于点 D ，AC 交 O⊙ 于点 45E BAC ， °． （1）求 EBC 的度数； （2）求证： BD CD ． 23．(2009 年南充)如图 8，半圆的直径 10AB  ，点 C 在半圆上， 6BC  ． （1）求弦 AC 的长； （2）若 P 为 AB 的中点， PE AB⊥ 交 AC 于点 E，求 PE 的长． 24．（2009 年哈尔滨）如图，在⊙O 中，D、E 分别为半径 OA、OB 上的点，且 AD＝BE． 点 C 为弧 AB 上一点，连接 CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC． 求证：CD＝CE． 25．（2009 年中山）（1）如图 1，圆心接 ABC△ 中， AB BC CA  ，OD 、OE 为 O⊙ 的半径，OD BC 于点 F ，OE AC 于点G， P B C E A 求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是 ABC△ 的面积的 1 3 ． （2）如图 2，若 DOE 保持120°角度不变， 求证：当 DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和 ABC△ 的两条边围成的图形（图中阴影 部分）面积始终是 ABC△ 的面积的 1 3 ． 26.（2009 年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC= cm32 ， （1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长 27. （2009 年株洲市）（本题满分 10 分）如图，点 A 、B 、C 是 O 上的三点， //AB OC . （1）求证： AC 平分 OAB . （2）过点 O 作 OE AB 于点 E ，交 AC 于点 P . 若 2AB  ， 30AOE   ，求 PE 的长． [来源:学,科,网] 28.(2009 年潍坊)如图所示，圆O 是 ABC△ 的外接圆， BAC 与 ABC 的平分线相交于点 I ，延长 AI 交圆 O 于点 D ，连结 BD DC、 ． （1）求证： BD DC DI  ； （2）若圆 O 的半径为 10cm， 120BAC  °，求 BDC△ 的面积． 29.(2009 年潍坊)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的圆心O 在坐标原点，且 与两坐标轴分别交于 A B C D、 、 、 四点．抛物线 2y ax bx c   与 y 轴交于点 D ，与直 线 y x 交于点 M N、 ，且 MA NC、 分别与圆O 相切于点 A 和点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ，连结 DE ，并延长 DE 交圆O 于 F ，求 EF 的长． （3）过点 B 作圆O 的切线交 DC 的延长线于点 P ，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由． 30.(2009 年咸宁市)如图， Rt ABC△ 中， 90ABC  °，以 AB 为直径的 O⊙ 交 AC 于点 D ，过点 D 的切线交 BC 于 E ． （1）求证： 1 2DE BC ； （2）若 5tan 22C DE ， ，求 AD 的长． 31．（09 湖北宜昌）已知：如图，⊙O 的直径 AD=2，   BC CD DE  ，∠BAE=90°． (1)求△CAD 的面积； (2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点 P，那么点 P 落在四边形 ABCD 区域的概率是 多少？ 32．（09 湖北宜昌）（09 湖北宜昌）已知：如图 1，把矩形纸片 ABCD 折叠，使得顶点 A 与 边 DC 上的动点 P 重合(P 不与点 D，C 重合)， MN 为折痕，点 M，N 分别在边 BC， AD 上，连接 AP，MP，AM， AP 与 MN 相交于点 F．⊙O 过点 M，C，P． (1)请你在图 1 中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)； (2) AF AN 与 AP AD 是否相等？请你说明理由； (3)随着点 P 的运动，若⊙O 与 AM 相切于点 M 时，⊙O 又与 AD 相切于点 H．设 AB 为 4， 请你通过计算，画出．．这时的图形．(图 2，3 供参考) A B C F P M N D F M N D O P C B A A B C P O D N M F 图 1 图 2 图 3 （第 2 题） 33．（09 湖南怀化）如图 10，直线 DE 经过⊙O 上的点C ，并且OE OD EC DC ， ，⊙ O 交直线OD 于 A 、B 两点，连接 BC ，AC ，OC ．求证：（1）OC DE ；（2） ACD△ ∽ CBD△ ． 34．（09 湖南怀化）如图 11，已知二次函数 22)( mkmxy  的图象与 x 轴相交于两 个不同的点 1( 0)A x， 、 2( 0)B x ， ，与 y 轴的交点为C ．设 ABC△ 的外接圆的圆心为点 P ． （1）求 P⊙ 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标； （2）如果 AB 恰好为 P⊙ 的直径，且 ABC△ 的面积等于 5 ，求 m 和 k 的值． 35.（2009 年茂名市）22． 已知：如图，直径为OA 的 M⊙ 与 x 轴交于点O A、 ，点 B C、 把 OA 分为三等份，连接 MC 并延长交 y 轴于点 (0 3)D ，． （1）求证： OMD BAO△ ≌△ ； （2）若直线l ： y kx b  把 M⊙ 的面积分为二等份，求证： 3 0k b  ． 36．（2009 年山东青岛市）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（ ABC△ ）空地上修建一个面积最大的圆形花 坛，请在图中画出这个圆形花坛． 37.(2009 年达州)如图 10，⊙O 的弦 AD∥BC,过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E，AC∥ DE 交 BD 于点 H，DO 及延长线分别交 AC、BC 于点 G、F. (1)求证：DF 垂直平分 AC； （2）求证：FC＝CE； （3）若弦 AD＝5 ㎝，AC＝8 ㎝，求⊙O 的半径. 38.(2009 年黄冈市)15．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，连结 BC，AC，过 点 C 作直线 CD⊥AB 于点 D，点 E 是 AB 上一点，直线 CE 交⊙O 于点 F，连结 BF，与直线 CD 交于点 G．求证： BFBGBC 2 39.(2009 年陕西省)25． 问题探究 （1）请在图①的正方形 ABCD 内，画出使∠APB＝90°的一个．．点 P，并说明理由． （2）请在图②的正方形 ABCD 内（含边），画出使∠APB＝60°的所有．．的点 P，并说明 理由． 问题解决 如图③，现有一块矩形钢板 ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、 面积最大的△APB 和△CP’D 钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求 的点 P 和 P’，并求出△APB 的面积（结果保留根号）． 40.(2009 成都)已知 A、D 是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂 线，垂足为 B、C，E 是 BC 上一动点，连结 AD、AE、DE，且∠AED=90°。 （1）如图①，如果 AB=6,BC=16,且 BE:CE=1:3，求 AD 的长。 （2）如图②，若点 E 恰为这段圆弧的圆心，则线段 AB、BC、CD 之间有怎样的等量关系？请 写出你的结论并予以证明。再探究：当 A、D 分别在直线 l 两侧且 AB≠CD，而其余条件不变 时，线段 AB、BC、CD 之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。 41. （2009 襄樊市）如图 12，已知：在 O 中，直径 4AB  ，点 E 是OA 上任意一点，过 E 作弦CD AB ，点 F 是 BC 上一点，连接 AF 交CE 于 H，连接 AC、CF、BD、OD． （1）求证： ACH AFC△ ∽△ ； （2）猜想： AH AF 与 AE AB 的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点 E 位于何处时， 1 4?AEC BODS S △ △: : 并加以说明． 42.（2009 湖北荆门市）如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且 AE⊥BC，AF⊥CD． （1）求证：A、E、C、F 四点共圆； （2）设线段 BD 与（1）中的圆交于 M、N．求证：BM=ND． 43.（2009 湖北省荆门市）如图，半径为 2 5 的⊙O 内有互相垂直的两条弦 AB、CD 相交于 P 点． （1）求证：PA·PB=PC·PD； （2）设 BC 中点为 F，连接 FP 并延长交 AD 于 E，求证：EF⊥AD； A D F C M EB N 第 20 题图 （3）若 AB=8，CD=6，求 OP 的长． 44. （2009 年广西梧州）如图（8）所示，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，点 D 在 ⊙O 上，过点 C 的切线交 AD 的延长线于点 E，且 AE⊥CE，连接 CD．[来源:Z*xx*k.Com] （1）求证：DC=BC； （2）若 AB=5，AC=4，求 tan∠DCE 的值． 45.（2009 年包头）如图，已知 AB 是 O⊙ 的直径，点C 在 O⊙ 上，过点C 的直线与 AB 的 延长线交于点 P ， AC PC ， 2COB PCB   ．[来源:学科网 ZXXK] （1）求证： PC 是 O⊙ 的切线； （2）求证： 1 2BC AB ； （3）点 M 是 AB 的中点， CM 交 AB 于点 N ，若 4AB  ，求 MN MC 的值． 46.（2009 年长沙）在 Rt ABC△ 中， 90ACB  °， D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的 O⊙ 与边 AC 相切于点 E ，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F ． （1）求证： BD BF ； （2）若 6 4BC AD ， ，求 O⊙ 的面积． 47.（2009 年莆田）已知，如图，BC 是以线段 AB 为直径的 O⊙ 的切线，AC 交 O⊙ 于点 D ， 过点 D 作弦 DE AB ，垂足为点 F ，连接 BD BE、 ．． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________， ④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）； （2） A =30°， CD = 2 3 3 ，求 O⊙ 的半径 r．