高中数学必修5能力强化提升2-1第2课时

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高中数学必修5能力强化提升2-1第2课时

第2课时 数列的性质与递推公式 双基达标 (限时20分钟) ‎1.在递减数列{an}中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是 (  ).‎ A.R B.(0,+∞)‎ C.(-∞,0) D.(-∞,0]‎ 解析 ∵{an}是递减数列,‎ ‎∴an+1-an=k(n+1)-kn=k<0.‎ 答案 C ‎2.一个数列{an}中,a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,那么这个数列的第5项为 (  ).‎ A.6 B.-3 C.-12 D.-6‎ 解析 由递推关系式可求得a3=a2-a1=6-3=3,a4=a3-a2=3-6=-3,∴a5=a4-a3=-3-3=-6.‎ 答案 D ‎3.已知{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是 (  ).‎ A.an=2n B.an= C.an= D.an= 解析 a1=1,a2=,a3=,a4=,观察得an=.‎ 答案 C ‎4.数列{an}的通项公式为an=n2-6n,则它最小项的值是________.‎ 解析 an=n2-6n=(n-3)2-9,∴当n=3时,an取得最小值-9.‎ 答案 -9‎ ‎5.已知数列{an},an=an+m(a<0,n∈N*),满足a1=2,a2=4,则a3=________.‎ 解析 ∵∴ ‎∴an=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2.‎ 答案 2‎ ‎6.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1·an=0(n∈N*),求an.‎ 解 法一(累乘法)由(n+1)an+12-nan2+an+1an=0.‎ 得(an+1+an)(nan+1-nan+an+1)=0.‎ 由于an+1+an>0,∴(n+1)an+1-nan=0.‎ ‎∴=.‎ ‎∴an=a1···…· ‎=1××××…×=.‎ 法二 (换元法)由已知得(n+1)an+1-nan=0,‎ 设bn=nan,则bn+1-bn=0.∴{bn}是常数列.‎ ‎∴bn=b1=1×a1=1,即nan=1.‎ ‎∴an=.‎ 综合提高 (限时25分钟) ‎7.数列1,3,6,10,15,…的递推公式是 (  ).‎ A.an+1=an+n,n∈N*‎ B.an=an-1+n,n∈N*,n≥2‎ C.an+1=an+(n+1),n∈N*,n≥2‎ D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2‎ 解析 经验证B选项合适.‎ 答案 B ‎8.已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a2 011的值为 (  ).‎ A. B. C. D. 解析 计算得a2=,a3=,a4=.故数列{an}是以3为周期的周期数列,又因为2 011=670×3+1,所以a2 011=a1=.‎ 答案 A ‎9.已知数列{an}满足:an≤an+1,an=n2+λn,n∈N+,则实数λ 的最小值是________.‎ 解析 an≤an+1⇔n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1)⇔λ≥-(2n+1),n∈N+⇔λ≥-3.‎ 答案 -3‎ ‎10.设an=-n2+10n+11,则数列{an}从首项到第m项的和最大,则m的值是________.‎ 解析 令an=-n2+10n+11≥0,则n≤11.‎ ‎∴a1>0,a2>0,…,a10>0,a11=0,‎ ‎∴S10=S11且为Sn的最大值.‎ 答案 10或11‎ ‎11.已知函数f(x)=,构造数列an=f(n)(n∈N*),试判断{an}是递增数列还是递减数列.‎ 解 由已知得an==-,‎ ‎∴an+1-an=-- ‎=<0,‎ ‎∴数列{an}是递减数列.‎ ‎12.(创新拓展)已知数列{an}满足an=+++…+.‎ ‎(1)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?‎ ‎(2)证明:an≥对一切正整数恒成立.‎ ‎(1)解 ∵an=+++…+,‎ ‎∴an+1=+++…+ ‎=+++…+++,‎ ‎∴an+1-an=+-=-,‎ 又n∈N*,∴2n+1<2n+2,‎ ‎∴an+1-an>0.‎ ‎∴数列{an}是递增数列.‎ ‎(2)证明 由(1)知数列{an}为递增数列.‎ 所以数列{an}的最小项为a1=,∴an≥a1=,‎ 即an≥对一切正整数恒成立.‎
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