2019-2020学年内蒙古包钢一中高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年内蒙古包钢一中高二上学期10月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年内蒙古包钢一中高二上学期10月月考数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出直线的斜率，即可求得该直线的倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线倾斜角的计算，解答的关键就是求出直线的斜率，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．直线与平行，则的值为（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】根据两直线平行得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.‎ ‎【详解】‎ 由于直线与平行，则，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3．下列说法正确的是：（ ）‎ ‎（1）使的值为的赋值语句是；‎ ‎（2）用秦九韶算法求多项式在的值时，的值；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）用辗转相除法求得和的最大公约数是.‎ A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据赋值语句可判断（1）的正误；根据秦九韶算法逐项计算可得的值，进而可判断（2）的正误；将二进制数和四进制数都化为十进制数，可判断（3）的正误；利用辗转相除法可判断（4）的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 对于（1），赋值语句左边是变量，命题（1）错误；‎ 对于（2），，当时，，，，，命题（2）正确；‎ 对于（3），，，命题（3）正确；‎ 对于（4），，，，所以，和的最大公约数为，命题（4）错误.‎ 因此，正确命题的序号为（2）（3）.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查算法相关命题真假的判断，涉及算法语句、秦九韶算法、进位制以及辗转相除法，考查计算能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎4．圆与圆的公切线有几条（）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【答案】C ‎【解析】首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数.‎ ‎【详解】‎ 圆，圆心 ，，‎ 圆 ,圆心，，‎ 圆心距 ‎ ‎ 两圆外切，有3条公切线.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.‎ ‎5．过点作一直线与圆相交于M、N两点，则的最小值为（ ）‎ A． B．2 C．4 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由圆的方程，可知圆心，半径，则点和圆心连线的长度为，当过点和圆心的连线垂直时，所得弦长最短，由圆的弦长公式可得，故选C.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系及其应用.‎ ‎6．圆x2＋y2－2x－8＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦所在的直线方程是(　　)‎ A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－3＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于两圆的公共弦的端点是两圆的公共交点，既满足一个圆的方程，又满足另一个圆的方程，把圆和圆的方程相减即得公共弦所在的直线方程为. 故选C．‎ ‎7．过点且和圆相切的直线方程为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】将圆的方程化为标准方程，可知点在圆外，然后对所求切线的斜率是否存在进行分类讨论，由圆心到直线的距离等于半径可求得所求切线的方程.‎ ‎【详解】‎ 圆的标准方程为，圆心为，半径为，‎ ‎，则点在圆外.‎ ‎①若所求切线的斜率不存在，则切线方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；‎ ‎②若所求切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即，‎ 圆心到该直线的距离为，解得，此时所求切线的方程为.‎ 综上所述，所求切线的方程为或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的切线方程的求解，要注意对切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于圆的半径求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8．一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，则数据3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2的平均数和方差分别是（）‎ A．11,45 B．5,45 C．3,5 D．5,15‎ ‎【答案】A ‎【解析】若X1，X2，…，Xn的平均数是，方差是，则数据的平均数为，方差为．‎ ‎【详解】‎ 解：∵一组数据X1，X2，…，Xn的平均数是3，方差是5，‎ ‎∴数据3X1+2，3X2+2，…，3Xn+2的平均数为3×3＋2＝11，‎ 方差为：．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差的性质的合理运用．‎ ‎9．下列命题中，表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面． ‎ ‎①若，，则； ②若，，则； ‎ ‎③若，，则； ④若，，，则． ‎ 正确的命题是（　 　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m与平面内的任意一条直线垂直，由知，存在直线内，使，所以，故①正确；对于②，平面与平面可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m与n可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有 ，正确．故正确命题为①④，选C.‎ ‎10．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】曲线是以为圆心，为半径的半圆，如图所示 直线是过定点的直线．‎ 设切线的斜率为，切线的方程为，圆心到直线的距离等于半径，即 ‎，解得 直线的斜率为，，‎ 实数的取值范围是 故答案选 点睛：根据图象结合题目条件，直线恒过定点，直线与半圆有两个交点，由相切到过点，运用点到直线距离公式即可求出结果 ‎11．已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为   ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，利用点到直线距离求出b的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，因此有，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想.‎ ‎12．圆，过点作圆的割线，则弦的中点的轨迹方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图：，设中点为（x,y）,过A的斜率为k，割线ABC的方程为:,中点与圆心得连线与割线垂直，方程为：，因为交点就是弦的中点，他在这两条直线上，故BC的中点的轨迹方程为：，所以选D 二、填空题 ‎13．统计某产品的广告费用x与销售额y的一组数据如表：‎ 广告费用x ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售额y ‎7‎ m ‎9‎ ‎12‎ 若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，则数据中的m的值应该是______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意，，，‎ ‎∵y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，∴7+=4.4+4.6，∴m=8．‎ 故答案为8.‎ 点睛：求解回归方程问题的三个易误点：‎ ‎① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上．‎ ‎③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎14．某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取的工人进行调查，首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号分别为，若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是______ ．‎ ‎【答案】617‎ ‎【解析】第一步：将624名职工用随机方式进行编号；‎ 第二步：从总体中剔除4人剔除方法可用随机数法，将剩下的620名职工重新编号，分别为，并分成62组；‎ 第三步：在第一组的十个编号中用简单随机抽样确定起始号码007；‎ 第四步：将编号为 的个体抽出，便可得到所要的样本．‎ 故样本中的最大编号是617，‎ 答案：617．‎ ‎15．利用分层抽样的方法在学生总数为800的年级中抽取20名同学，其中抽到的女生人数为8人，则该年级男生人数为__________．‎ ‎【答案】480‎ ‎【解析】由于样本容量为20，则抽到的男生的人数为12人，则该年级男生人数为×800=480，故答案为480．‎ ‎16．四面体的四个顶点都在球的球面上，，，，且平面平面，则球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，，取的中点，连接、，利用面面垂直的性质定理得出平面，可得是四面体高，即是直角三角形，且，，即可求解和外接圆，利用球心到、、距离等于球的半径可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，取的中点，连接、，则，，‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，是三棱锥的高，‎ 设，可得，‎ 平面，平面，，‎ 由勾股定理得，则，解得，‎ 的边长为，，则，‎ 的外接圆半径为，‎ 设外接球的半径，球心到平面的距离为，‎ 可得，解得，‎ 因此，球的表面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的性质定理和球的截面的性质的运用，熟记这些定理是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题 ‎17．求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】设直线的截距式方程为，根据题设得到关于的方程组，解出可得直线方程.‎ ‎【详解】‎ 设直线方程为，则，‎ 解得或，‎ 故所求的直线方程为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的求法，注意根据题设条件选择合适的直线方程的形式.‎ ‎18．某校举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从参赛的全体学生中抽出30人的成绩作为样本.对这30名学生的成绩进行统计，并按、、、、、分组，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求图中实数的值；‎ ‎（2）估计参加这次知识竞赛的学生的平均成绩及成绩的中位数（平均成绩用每组中点值做代表，结果均保留一位小数）.‎ ‎【答案】（1）；（2）平均成绩为分，成绩的中位数为分.‎ ‎【解析】（1）利用频率分布直方图的所有矩形的面积之和为可求得实数的值；‎ ‎（2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将所得结果相加即可得出样本数据的平均数，利用中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），；‎ ‎（2）平均数，‎ 所以，估计参赛学生的平均成绩为分.‎ 设样本数据的中位数为，由知，‎ ‎，解得，‎ 所以，估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为分.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图的应用，考查频率直方图中所有矩形面积和的问题以及利用频率分布直方图求平均数和中位数，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19．某种产品的销售价格元与销售量件之间有如下的对应数据： ‎ ‎（1）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）试根据（1）所得回归方程估计销售价格为多少时，销售总额最大？（参考公式：‎ ‎，）‎ ‎【答案】（1）；（2）当销售价格元时，销售总额最大为元.‎ ‎【解析】（1）计算出和的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求得和，由此可得出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）销售总额为，可求得函数的解析式，利用二次函数的基本性质即可求得该函数的最大值及其对应的的值，即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表知：，.‎ ‎∴，即，‎ 所以线性回归方程是：；‎ ‎（2）设销售总额为，则，‎ 因此，当销售价格元时，销售总额最大为元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归直线方程对总体数据进行估计，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出两直线交点，直线的斜率，即可求直线的方程；（2）利用待定系数法求圆的标准方程.‎ 试题解析：（1）由已知得:, 解得两直线交点为， ‎ 设直线的斜率为 ‎∵与垂直 ‎∴ ‎ ‎∵过点 ‎∴的方程为，即 ‎（2）设圆的半径为，依题意，圆心到直线的距离为，则由垂径定理得 ‎∴‎ ‎∴圆的标准方程为. ‎ ‎21．已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.‎ ‎（1）求圆M的方程；‎ ‎（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】（1）假设圆的标准方程，并使用圆的定义，列出式子，简单计算，可得结果.‎ ‎（2）采用数形结合，根据（1）的结论，可得四边形的面积，利用勾股定理，可得，然后使用点到直线距离，可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆的方程为：，‎ 根据题意得，‎ 故所求圆M的方程为： ‎ ‎（2）如图 四边形的面积为 即 又，所以， ‎ 而，即.‎ 因此要求的最小值，只需求的最小值即可，‎ 的最小值即为点到直线的距离 所以，‎ 四边形面积的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程以及直线与圆的几何关系，掌握使用待定系数法求解圆的方程，同时学会使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题.‎ ‎22．如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点、、分别为、、的中点. ‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）连接，证明出平面，即可证得；‎ ‎（2）连接交于点，由（1）知平面，可得直线与平面所成的角为，通过解，可计算出，进而得出结果；‎ ‎（3）过点作于点，连接，证明出平面，可得出二面角的平面角为，然后解，即可计算出，进而得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，在中，.‎ ‎，点为的中点，.‎ 又平面，平面，，‎ ‎，平面，‎ ‎、分别为、的中点，，平面，‎ 平面，；‎ ‎（2）连接交于点，由（1）知平面，‎ 为直线与平面所成的角，且平面，.‎ 平面，、平面，，，‎ 又，，‎ ‎，，‎ 在中，，‎ 因此，直线与平面所成的角的正弦值为；‎ ‎（3）过点作于点，连接，‎ ‎，，,平面，即平面，‎ 平面，，‎ 又，，平面，‎ 平面，，‎ 所以，为二面角的平面角.‎ 在中，，所以，.‎ 因此，二面角的正切值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角和二面角的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎