2017-2018学年江西省上高县二中高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年江西省上高县二中高二上学期期末数学文试题（解析版）

上高二中2017～2018学年第一学期期末考试 高二期末（文科）数学试题 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160进行编号，并按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号…153～160号），若按等距的规则从第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签法确定的号码是（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 7 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】组，每组个，故第一组抽的是.‎ ‎2. 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物.下图是根据某地某日早7时至晚8时甲、乙两个监测点统计的数据（单位：微米/立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差的关系是（ ）‎ A. 甲大于乙 B. 乙大于甲 C. 甲、乙相等 D. 无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】由茎叶图可知，甲的数据较集中，乙的数据较分散，故乙的方差较大.‎ ‎3. 以下有关命题的说法错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ B. 命题“若或，则”的否命题为真命题 C. 若为假命题，则均为假命题 D. 对于命题，使得，则，均有 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”是正确的．‎ 对于B，命题“若或，则”的否命题为“若且，则，结论是正确的．‎ 对于C，“若为假命题，则p与q至少一个错误”不满足真值表，所以原结论不准确．‎ 对于D：命题，使得，则，均有符合特称命题的否定形式，结论正确．‎ 故选：C ‎4. 执行下边的程序框图，如果输入，，则输出的的值是（ ）‎ A. 0 B. 3 C. 6 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】程序框图求解的是两个数的最大公约数，的最大公约数为.‎ ‎5. 已知表示两个不同的平面，表示两条不同直线，对于下列两个命题：‎ ‎①若，则“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②若，则“”是“且”的充要条件.判读正确的是（ ）‎ A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 ‎【答案】B ‎【解析】解：由α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，知：‎ ‎①若b⊂α，a⊄α，则“a∥b”⇒“a∥α”，‎ 反之，“a∥α”推不出“a∥b”，‎ ‎∴“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件，故①是真命题．‎ ‎②若a⊂α，b⊂α，则“α∥β”⇒“α∥β且b∥β”，‎ 反之，“α∥β且b∥β”，推不出“α∥β”，‎ ‎∴“α∥β”是“α∥β且b∥β”的充分不必要条件，故②是假命题．‎ 故选：B．‎ ‎6. 甲乙两人有三个不同的学习小组可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一组的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：甲乙两人参加三个不同的学习小组共有种基本事件，其中两人参加同一个小组共包含个基本事件，因此所求概率为，选A．‎ 考点：古典概型概率 ‎【易错点睛】‎ ‎1．有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．在列举基本事件空间时，易漏掉或重复计数，故要特别关注细节，使解题结果准确过程完善．‎ ‎2．用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．‎ ‎7. 在棱长为2的正方体内部随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，‎ 且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；‎ 根据几何概型的概率计算公式得，‎ P==．‎ 故选：B．‎ 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎8. 在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，，，.则该四面体的体积（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意画出该四面体，如图：‎ 该四面体的体积 故选：C ‎9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，如下图所示三棱锥，且.，，，，故总面积为选项.‎ ‎10. 已知抛物线与双曲线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，故，代入双曲线方程，，故渐近线为。‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系。‎ ‎11. 如图所示的四个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】由下图可知，故①正确.‎ 由下图可知，故平面平面，故平面，所以③正确.综上可知①③正确，故选选项.‎ ‎12. 已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得c=，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，‎ ‎∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，‎ 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，‎ 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，‎ ‎∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．‎ 在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，‎ 由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，‎ 于是 b2=a2﹣c2=36﹣=16，‎ 所以椭圆的方程为．‎ 故选：B．‎ 点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知直线与直线平行且与圆相切，则直线的方程是__________．‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】圆化为标准方程得：x2+（y+1）2=4，‎ ‎∴圆心为（0，﹣1），半径r=4，‎ ‎∵直线l1∥l2，‎ ‎∴设直线l1的方程为3x+4y+c=0，‎ 由题意得，解得：c=﹣6或c=14，‎ 则直线l1的方程为3x+4y﹣1=0或3x+4y+9=0．‎ 故答案为：，‎ 点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。‎ ‎14. 口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率为0.6，那么摸出白球的概率为__________．‎ ‎【答案】0.25 ‎ ‎【解析】设摸出白球、红球、黄球的事件分别为，根据互斥事件概率加法公式，，，解得.‎ ‎15. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】双曲线双曲线，如图：‎ ‎∵a=3，b=4，c=5，‎ ‎∴F1（﹣5，0），F2（5，0），‎ ‎∵x2+y2+10x+21=0，x2+y2﹣10x+24=0，‎ ‎∴（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1，‎ ‎∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，‎ ‎∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，‎ ‎∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，‎ 所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|+|NF2|‎ ‎=6+1+2=9．‎ 故答案为：9‎ ‎16. 已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面互相垂直，，，，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，∵，∴为直角，‎ 即过△的小圆面的圆心为的中点，‎ 和所在的平面互相垂直，‎ 则球心O在过的圆面上，即的外接圆为球大圆，‎ 由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为，‎ 球的表面积为.‎ 点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.‎ 三、解答题 ‎ ‎17. 命题直线与圆必相交；命题若椭圆的离心率，则.试判断命题和的真假.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】试题分析：由直线过定点且定点在圆内，易断定命题p为真，椭圆的离心率，得到或，命题q为假命题，然后根据真值表易断定命题和的真假.‎ 试题解析：‎ 命题变形为，当解得时，‎ 对任意实数，方程成立，∴对任意实数，直线恒过定点，∴，故点在圆内，∴直线与圆必相交，故命题为真命题.‎ 命题若焦点在轴上，即，则，，，解得.‎ 若焦点在轴上，即，则，，，解得.‎ 综上所述，或.故命题为假命题.‎ 因此，命题为假命题，命题为真命题.‎ ‎18. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，预测时，细菌繁殖的数量是多少？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，.‎ ‎【答案】（1）.（2）6.55千个.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）利用回归直线方程的计算公式，代入数据计算得回归直线方程.（2）将代入回归直线方程可求得繁殖的数量.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由数据计算得：，，，.‎ ‎，.线性回归方程为.‎ ‎（2）将代入（1）的回归方程得.‎ 故预测时，细菌的数量为6.55千个.‎ ‎19. 若双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆过点(，0)得a，再由离心率求c，最后根据勾股数求b;（2）先根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用弦长公式求AB 的长 点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法 ‎20. 在正三棱柱中，点是的中点.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）设是棱上的点，且满足.求证：面面.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明A1C∥平面AB1D；‎ ‎（2）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，连.‎ 因为四边形是矩形，∴是的中点.‎ 又是的中点，∴.‎ 又面，面，‎ ‎∴面.‎ ‎（2）因为是正三角形，是的中点，∴.‎ ‎∵平面面，又平面面，面.‎ ‎∴面，∵面，∴.‎ 又∵，，，面，‎ ‎∴面，又面，‎ ‎∴面面.‎ 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎21. 近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环保意识，某市面向全市征召名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传意识.现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.‎ ‎（1）求该组织的人数；‎ ‎（2）若在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？‎ ‎（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少1名志愿者被抽中的概率.‎ ‎【答案】（1）100人.（2）应从第3，4，5组分别抽取3，2，1名志愿者.（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意第组的人数为，即可求解该组织人数.‎ ‎（2）根据频率分布直方图，求得第组，第组，，第组的人数，再根据分层抽样的方法，即可求解再第组所抽取的人数.‎ ‎（3）记第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，列出所有基本事件的总数，得出事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型，即可求解概率.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意第组的人数为，得到，故该组织有人.‎ ‎（2）第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为，所以第组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数分别为：第组；第组；第组.‎ 所以应从第组中分别抽取人，人，人.‎ ‎（3）记第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，则从名志愿者中抽取名志愿者有 ‎ ‎ ，共有种.‎ 其中第组的名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有 ‎ ，共有种.‎ 则第组至少有名志愿者被抽中的概率为.‎ ‎22. 已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；‎ ‎（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则kAN=﹣kBN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设圆心，则或（舍去）.‎ 故圆.‎ ‎（2）当直线轴时，轴平分.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为.，，.‎ 得.∴，.‎ 若轴平分，则，则，∴.‎ ‎∴，，∴.‎ 故当为时能使.‎