【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试63二项分布及其应用作业
考点测试63 二项分布及其应用
高考概览
考纲研读
1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念
2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布
3．能解决一些简单的实际问题
一、基础小题
1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 P(B|A)＝＝＝．故选A．
2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 P＝C21＝．故选C．
3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0．6，乙被录取的概率为0．7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
A．0．12 B．0．42 C．0．46 D．0．88
答案 D
解析 因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式，知所求概率P＝1－(1－0．6)·(1－0．7)＝1－0．12＝0．88．故选D．
4．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不相互独立的是( )
A．第二次得到6点 B．第二次的点数不超过3
C．第二次的点数是奇数 D．两次得到的点数和是12
答案 D
解析 事件“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于事件“两次得到的点数和是12”，由于第一次得到6点，所以第二次也是6点，故不相互独立．故选D．
5．设随机变量X～B6，，则P(X＝3)＝( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 X～B6，，由二项分布可得，P(X＝3)＝
C3·1－3＝．
6．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2，则( )
A．p1＝p2 B．p1
p2 D．以上三种情况都有可能
答案 B
解析 由已知条件可得p1＝1－10＝1－5，p2＝1－5＝1－5＝1－5，∴p10．5．故选B．
三、模拟小题
12．(2018·广西柳州调研)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A＝“至少有一次出现反面”，事件B＝“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝( )
A． B． C． D．
答案 A
解析 依题意得P(A)＝1－＝，P(AB)＝＝，因此P(B|A)＝＝．故选A．
13．(2018·广东汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×1－＋×1－＝．故选D．
14．(2018·福建厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次抽到黄球的概率P1＝，
∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P＝C21－＝．
15．(2018·河北唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 甲不跑第一棒共有A·A＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A·A·A＝8种情况．∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为＝．故选D．
16．(2018·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．
答案
解析 口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“
第二次取得白球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)＝＝＝．
一、高考大题
1．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(00；
当p∈(0．1，1)时，f′(p)<0．
所以f(p)的最大值点为p0＝0．1．
(2)由(1)知，p＝0．1．
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0．1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490．
②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．
2．(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
解 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，
由事件的独立性与互斥性，得
P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋
P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋
P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋
P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()
＝×××＋2×
＝．
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为．
(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6．
由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝2××××＋×××＝＝，
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，
P(X＝4)＝2××××＋×××＝＝，
P(X＝6)＝×××＝＝．
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝．
二、模拟大题
3．(2018·山西太原二模)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：
Ⅰ．抽奖方案有以下两种：方案a：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
Ⅱ．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a，b各抽奖一次)．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．
(1)若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望；
(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖？
解 (1)按方案a抽奖一次，获得奖金概率P＝＝．
顾客A只选择方案a进行抽奖，则其可以按方案a抽奖三次．此时中奖次数服从二项分布B3，．
设所得奖金为w1元，则所获奖金的期望Ew1＝3××30＝9．
即顾客A所获奖金的期望为9元．
(2)按方案b抽奖一次，获得奖金的概率P1＝＝．
若顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，则由方案a中奖的次数服从二项分布B12，，由方案b中奖的次数服从二项分布B21，．
设所得奖金为w2元，则所获奖金的期望Ew2＝2××30＋1××15＝10．5．
若顾客A按方案b抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B32，．
设所得奖金为w3元，则所获奖金的期望Ew3＝2××15＝9．
结合(1)可知，Ew1＝Ew3
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