2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二下学期第三次月考数学（理）试题 解析版

2017-2018学年河南省南阳市第一中学高二下学期第三次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 河南省南阳市第一中学2017-2018学年高二下学期第三次月考数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．设复数是虚数单位，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：直接利用复数的运算法则和共轭复数的定义化简即可得结果.‎ 详解：因为复数 所以 所以，故选A.‎ 点睛：本题主要考查复数的运算法则以及共轭复数的定义，意在考查对基本概念与运算的掌握情况.‎ ‎2．下列各命题中，不正确的是( )‎ A. 若是连续的奇函数，则 B. 若是连续的偶函数，则 C. 若在上连续且恒为正，则 D. 若在上连续且，则在上恒为正.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析： ,若是连续的奇函数，根据奇函数的对称性及定积分的几何意义可判断出结论； ,若是连续的偶函数，根据偶函数的对称性及定积分的几何意义可判断出结论；，若在上连续且恒为正，根据其单调性即可判断出是否正确； ，‎ 举出反例即可否定. ‎ 详解：是连续的奇函数，‎ ‎，故正确；‎ 是连续的偶函数，‎ ‎，故正确；‎ 在上连续且恒正，，故正确；‎ ‎.举反例，而在区间上恒小于，‎ 即函数在区间上不恒为正，故不正确，故选D.‎ 点睛：本题主要考查定积分的定积分的性质与计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.‎ ‎3．如果复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部互为相反数，那么等于( )‎ A. -6 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用复数的除法运算法则化简复数，根据复数实部和虚部定义求解即可.‎ 详解：由题意，，‎ 复数（其中为虚数单位，为实数）的实部和虚部化为相反数，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意 和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.‎ ‎4．易知函数的定义域为，导函数在上的图象如图所示，则函数在上的极大值点的个数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由导函数在上的图象以及函数取得极大值点的充要条件是：在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，即可得出结论.‎ 详解：‎ 导函数在上的图象如图所示，‎ 由函数取得极大值点的充要条件是：‎ 在左侧的导数大于， 右侧的导数小于，‎ 由图象可知，函数只有在点处取得最大值，‎ 而在点处取得极小值，而在点处无极值，‎ 函数在上的极大值点的个数为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查函数取得极大值在一点的充要条件，意在考查对基础知识的掌握情况，数形结合思想分法，推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎5．如图所示，由函数与函数在区间上的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由和在的交点坐标为，两函数图象所围成的封闭图形的面积为.故选D.‎ 考点：定积分在求面积中的应用、正弦函数的图象、余弦函数的图象.‎ ‎6．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：函数，若在上是单调减函数，等价于恒成立，根据数形结合思想列不等式求解即可.‎ 详解：，‎ 在上是单调减函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，结合二次函数图象可得 ‎，，，‎ ‎，故选C.‎ 点睛：利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ② 求解的．‎ ‎7．将一张等边三角形纸片沿着中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中一个三角形按同样的方法再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；同理第三次操作得到10个小三角形，若要得到100个小三角形，则需操作的次数是( )‎ A. 31 B. 32 C. 33 D. 34‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由归纳推理可得第次操作后三角形共有个，由，可得结果.‎ 详解：第一次操作后，三角形共有个；‎ 第二次操作后，三角形共有个；‎ 第三次操作后,三角形共有个；…,‎ 第次操作后,三角形共有个，‎ 当时，解得，故选C.‎ 点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎8．定义在上的可导函数的导数为，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：构造函数，可得为上的减函数，结合的单调性，利用排除法即可的结果.‎ 详解：，‎ ‎，，‎ 即，设，‎ 则为上的减函数，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 为上的减函数，‎ ‎，即，故错误；‎ ‎，即，故错误；‎ ‎，即,错；‎ ‎，即，正确，故选D.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.‎ ‎9．已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数既存在极大值，又存在极小值，， 方程 有两个不同的实数解，‎ ‎，解得或，实数的取值范围是 ‎，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、一元二次方程根与系数的关系及数学的转化与划归思想.属于中档题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将极值问题转化为一元二次方程根的问题.‎ ‎10．某校有，，，四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：‎ 甲说：“、同时获奖”；‎ 乙说：“、不可能同时获奖”；‎ 丙说：“获奖”；‎ 丁说：“、至少一件获奖”.‎ 如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ）‎ A. 作品与作品 B. 作品与作品 C. 作品与作品 D. 作品与作品 ‎【答案】D ‎【解析】 根据题意，作品中进行评奖，由两件获奖，‎ ‎ 且有且只有二位同学的预测是正确的，‎ ‎ 若作品与作品获奖，则甲、乙，丁是正确的，丙是错误的，不符合题意；‎ ‎ 若作品与作品获奖，则乙、并、丁是正确的，甲是错误的，不符合题意；‎ ‎ 若作品与作品获奖，则甲、乙，丙是正确的，丁是错误的，不符合题意；‎ ‎ 只有作品与作品获奖，则乙，丁是正确的，甲、丙是错误的，符合题意，‎ ‎ 综上所述，获奖作品为作品与作品，故选D.‎ ‎11．若函数有零点，则实数的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由，可得，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的值域即可.‎ 详解：由，可得，‎ 构造函数，‎ 则，‎ 当时，，即在上单调递增，‎ 当时，，即在上单调递减，‎ 故，‎ 因为函数有零点，‎ 所以 ，‎ 故的最大值为，故选D.‎ 点睛：已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象 ‎ ‎12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.给出以下命题：‎ 当时，；：函数有3个零点；：若关于的方程有解，则实数的取值范围是；恒成立，其中真命题为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：当时，则，，，可得正确，利用导数研究函数的单调性可得，从而可得错误，利用排除法可得结果.‎ 详解：当时，则，，‎ 是奇函数，，故，正确，排除；‎ 当时，设，，，‎ 在上递增；在上递减，，‎ 时，，是奇函数，，‎ 且时，，所以，若方程有解，，错误，排除，故选C.‎ 点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．若，则 __________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：由，可得，根据分段函数的表达式以及积分公式，即可结果.‎ 详解：由分段函数可知当时，，‎ ‎，‎ 而，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查分段函数的解析式、函数的周期性和积分公式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.‎ ‎14．已知是复数，与均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：设，由为实数，可得，化简，根据为实数，可得化简，根据实部、虚部都大于零列不等式求解即可.‎ 详解：设，则为实数，‎ ‎，即，‎ 又为实数，‎ ‎，‎ 而对应的点在第一象限，‎ ‎，解得，故答案为.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分..‎ ‎15．若函数是函数＝－的图像的切线，则的最小值为 ‎____________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】设切点（），则，切线斜率 ‎ 又，所以，‎ 令，对求导易得在（0,1）上递减，‎ 在（1，+）上递增.所以.‎ ‎16．已知，对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】3.‎ ‎【解析】分析：对，存在实数满足，使得成立，等价于时，的图象始终在的图象下方，从而利用数形结合可得结果.‎ 详解：当时，作函数与的图象如图,‎ ‎，对，存在实数满足，使得成立，正确；‎ 当时，作函数与的图象如图，‎ ‎，对，存在实数满足，使得成立，正确；‎ 当时，作函数与的图象如图，‎ ‎，对，存在实数满足，使得成立，正确；‎ 当时，作函数与的图象如图，‎ ‎，不正确，故答案为.‎ 点睛：数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解..‎ 三、解答题 ‎17．已知是复数，和均为实数（为虚数单位）.‎ ‎(1)求复数；‎ ‎(2)求的模.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）设 ，用表示出和，再由和均为实数就可求出的值，从而求得复数；‎ ‎（2）由（1）的结果代入，算出，进而就可求出其模来.‎ 试题解析：（1）设，所以为实数，可得，‎ 又因为为实数，所以，即．‎ ‎（2），所以模为，‎ 考点：1.复数的有关概念；2.复数的除法．‎ ‎18．用分析法证明：当时 ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】分析：利用分析法证明，移项、平方，化简再平方，直至显然成立，从而可得原式成立.‎ 详解：证明：当时：要证,‎ 只需证,‎ 需证,‎ 即证,‎ 只需证，‎ 即证，显然上式成立，所以原不等式成立，即：.‎ 点睛：分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.‎ ‎19．已知函数，‎ ‎(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)当时，若在区间上的最小值为-2，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围；‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（1）求出，由 的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性求得函数最小值，令所求最小值等于，排除不合题意的的取值，即可求得到符合题意实数的取值范围.‎ 详解：(Ⅰ)当时，，‎ 因为，所以切线方程是 ‎(Ⅱ)函数的定义域是 当时，‎ 令得或 当时，所以在上的最小值是，满足条件，于是 ‎②当，即时，在上的最小，即时，在上单调递增 最小值，不合题意；‎ ‎③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值是，不合题意.‎ 综上所述有，.‎ 点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎20．（题文）设，试比较与的大小并证明.‎ ‎【答案】当时；当时.证明见解析.‎ ‎【解析】当n＝1，2时f(n)<；‎ 当n≥3时f(n)>.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝3时，显然成立；‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N)时，即f(k)>，那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)>＋＝>＝，即n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由①②知，对任何n≥3，n∈N不等式成立．‎ ‎21．已知函数 ‎(1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：(1)在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即，而当时，，故，从而可得结果；(2) 令，在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立，‎ 利用导数研究函数的单调性，利用单调性求得函数的最大值，可证明时不合题意， 当时，只需，从而可得结果.‎ 详解：(1)在区间上单调递增，‎ 则在区间上恒成立.‎ 即，而当时，，故.‎ 所以.‎ ‎(2)令，定义域为.‎ 在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立.‎ ‎ ‎ ‎①若，令，得极值点，‎ 当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在区间上有，不合题意；‎ 当，即时，同理可知，在区间上递增，‎ 有，也不合题意；‎ ‎②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；‎ 要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是.‎ 综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方.‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或 恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.‎ ‎22．设函数，.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若函数在处取得极大值，求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)首先求得函数的导函数，然后结合参数分类讨论，‎ 当时，的单调增区间为；‎ 当时，的单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎(2)求解的导函数，结合的结论分类讨论可得正实数的取值范围为．‎ 试题解析：（Ⅰ）由，，‎ 所以．‎ 当，时，，函数在上单调递增；‎ 当，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减．‎ 所以当时，的单调增区间为；‎ 当时，的单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以且．‎ 由（Ⅰ）知①当时，，由（Ⅰ）知在内单调递增，可得当时，，当时，．‎ 所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意．‎ ‎②当时，，在内单调递增，在内单调递减，所以当时，，单调递减，不合题意．‎ ‎③当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减．‎ 所以在处取极大值，符合题意．‎ 综上可知，正实数的取值范围为．‎