人教版中考数学二轮复习专题练习上函数与相似全等综合

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人教版中考数学二轮复习专题练习上函数与相似全等综合

函数与相似全等综合 ‎1.如图,在 中, , ,点 为 边上一点,且 .动点 从点 出发,以 的速度沿线段 向终点 运动, 是射线 上的动点,且.设运动时间为,的长为.‎ ‎(1)求与之间的函数关系式及点运动路线的长;‎ ‎(2)当以点为圆心,长为半径的与以点为圆心,长为半径的相切时,求的值;‎ ‎(3)当为等腰三角形时,求的值.‎ 解析:(1)∵,∴‎ ‎∵,,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴的最大值为 ‎∴点运动路线的长为 ‎(2)‎ ‎①‎ 当与外切时,点在线段上,且 ‎∴,解得或 (舍去)‎ ‎②‎ 当与内切时,点在延长线上,且 ‎∴,解得或 综上所述,当与相切时,的值为2或4或6‎ ‎(3)①若,则 ‎∵,∴‎ ‎∴,∴‎ 解得或 (舍去)‎ ‎②若,则 ‎∵,∴‎ ‎∴,∴‎ 解得或 (舍去)‎ ‎③若,则 解得或 (舍去)‎ 综上所述,当为等腰三角形时,的值为 或2或 ‎ ‎2.如图,矩形中,点在边上,且与点、不重合,过点作的垂线与的延长线相交于点,连接,的中点为.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,点在边上运动,设,,求与的函数关系式,并求线段长的最小值;‎ ‎(3)若,,,随着的大小的变化,点的位置也在变化.当点落在矩形内部时,求的取值范围.‎ 解析:‎ ‎(1)证明:∵四边形为矩形,∴‎ ‎∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎(2)解:‎ ‎∵, ‎ 即,∴‎ ‎∴‎ 过点作于 ‎∵为的中点,∴为的中位线 ‎∴‎ ‎∴‎ 在中,‎ 即 ‎∵‎ ‎∴当时,有最小值 ‎∴线段长的最小值为 ‎(3)‎ 设与交于点,过点作于 ‎∵点落在矩形内部,∴‎ 由(2)知,为的中位线 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵,∴‎ 即 ,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎,即 ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵,∴‎ 解得 ‎3.已知中,,点是边上的一个动点,连接,过点作,垂足为点.‎ ‎(1)如图1,当经过的重心时,求证:; ‎ ‎(2)如图2,若厘米,,点从点向点运动(不与点、重合),点的速度是厘米/秒,设点运动的时间为秒,的面积为平方厘米,求关于的函数解析式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若是以为腰的等腰三角形,求的面积.‎ 解析:‎ ‎(1)证明:∵经过的重心,∴为的中线 ‎∴,∴‎ 又∵,‎ ‎∴,又 ‎∴ ‎ ‎(2)解:‎ ‎∵ , ,∴ ‎ 过点 作 于 ,则, , ‎ ‎ ,‎ 由 ,得 ‎ ‎∴,即 ‎ ‎∴‎ ‎(3)①当 时,有 解得 ‎ 当时, (平方厘米)‎ ‎②当 时,有 ‎ 解得, (不合题意,舍去)‎ 当时, (平方厘米)‎ 综上所述,当 时, 的面积为 平方厘米;当 时, 的面积为 平方厘米 ‎4.如图,已知线段 长为12,点 、 在线段 上,且 .动点 从点 出发沿线段 向点 移动(移动到点 停止),分别以 、 为斜边在线段 同侧作等腰 和等腰 ,连接 ,设 .‎ ‎(1)求线段 长的最小值;‎ ‎(2)当 为何值时, 的外接圆与 相切;‎ ‎(3)求四边形 的面积与的函数关系式;‎ ‎(4)设的中点为,直接写出整个运动过程中点移动的路径的长.‎ 解析:(1)‎ 作于,于,于 ‎∵,∴‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 当时,有最小值36‎ ‎∴线段长的最小值是6‎ ‎(2)作于, ‎ 可见在点由点向点移动过程中,点到的距离始终为3,而由(1)知线段的长随的变化而变化,当,即点运动到中点时,,而由题意可得,是直角三角形,所以点是外接圆的圆心,只有此时的外接圆才与相切 ‎∴当时,的外接圆与相切 ‎(3)延长、交于点 易知是等腰直角三角形,四边形是矩形 即 ‎(4)由(2)知点到的距离始终为3,所以随着点的移动,点的移动路径是一条平行于的线段 ‎∵,,∴‎ ‎∵点在线段上,∴‎ ‎∵‎ ‎∴当时,;当时,‎ ‎∴点移动的路径长为 ‎5.在中,, , ,点 在 上,并且 ,现有两个动点、 分别从 和点 同时出发,其中点 以 的速度,沿 向终点 移动;点以 的速度沿 向终点 移动.过点 作 交 于点 ,连结 .设动点运动时间为 秒.‎ ‎(1)用含 的代数式表示 、 的长度;‎ ‎(2)当点在 (不包括点 、 )上移动时,设 的面积为,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎(3)当为何值时, 为直角三角形.‎ 解析:‎ ‎(1)‎ 在 中,∵ , ,‎ ‎∴ ,‎ ‎∵ ,‎ ‎∴  ‎ ‎∴,即,∴, ‎ ‎(2)∵ , ,∴ ‎ ‎ 当点 在 上运动 秒后, ,‎ 则 即与的函数解析式为:,‎ 其中自变量的取值范围是: ‎ ‎(3)分两种情况讨论:‎ ‎①当 时,‎ ‎∴ ,‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴,‎ 即,解得 解得 ‎ ‎②当 时,‎ ‎∵ , ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 即 解得: ‎ 综上所述,当 为 秒或 秒时, 为直角三角形.‎ ‎6.如图,在梯形 中,,,,,点由 出发沿 方向匀速运动,速度为 ;同时,线段 由 出发沿 方向匀速运动,速度为 ,交于 ,连接 .若设运动时间为 .解答下列问题:‎ ‎(1)过作,交于.当为何值时,四边形是平行四边形?‎ ‎(2)设,求与之间的函数关系式,并求为何值时,有最大值,最大值是多少;‎ ‎(3)连接,在上述运动过程中,五边形的面积是否发生变化?说明理由.‎ 解析:(1)∵四边形是平行四边形.‎ ‎∴∴. ‎ 而,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴当,四边形是平行四边形 ‎(2)∵平行且等于,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴即.‎ ‎∴ ‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴ ‎ ‎∴当时,有最大值5. ‎ ‎(3)在和中,‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎∴在运动过程中,五边形的面积不变.‎ ‎7.如图, 中, , ,点 、 分别在边 、 上,且 .直线 过点且 ,点 是射线 上一动点, 的延长线与直线 相交于点 , 的延长线与射线 相交于点 , 与 相 交于点 ,设 .‎ ‎(1)求 的面积 关于 的函数关系式;‎ ‎(2)当 为何值时, ?‎ ‎(3)当 为等腰三角形时,直接写出 的长.‎ 解析:‎ ‎(1)‎ 过 作 于 ‎ ‎∵ , ,∴‎ ‎∴‎ ‎∵ ,∴ ‎ ‎∵ , ,∴ ‎ ‎∵ ,∴,‎ ‎∴ , ,‎ 过 作 ,分别交 、 于点 、 ‎ 则,∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2)‎ 过 作 于 ‎ ‎∵ ,∴ ‎ ‎∴ ,∴‎ ‎∴,∴ , ‎ ‎∵ ,∴ ‎ ‎∵ ,∴ ‎ ‎∵ ,∴ ‎ ‎∴ ,∴‎ ‎∴,∴,∴‎ ‎∴‎ 即当时, ‎ ‎(3) 或 或 ‎ ‎7.如图,在 中, , , 为 的中点.‎ ‎(1)若 、 分别是 、 上的点,且 ,求证: ;‎ ‎(2)当点 、 分别从 、 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿 、 运动,到点 、 时停止;设 的面积为 , 点运动的时间为 ,求与的函数关系式;‎ ‎(3)在(2)的条件下,点 、分别沿 、 的延长线继续运动,求此时与的函数关系式.‎ 解析:(1)证明:∵ , , 为 的中点 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ,∴ ‎ ‎(2)解:依题意有: ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(3)依题意有: , , ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ,∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎8.如图1,在 中,, , ,另有一直角梯形 的底边 落在 上,腰 落在 上,且 , , .‎ ‎(1)延长 交 于 ,求 的面积;‎ ‎(2)操作:固定 ,将直角梯形 以每秒1个单位的速度沿 方向向右移动,直到点 与点 重合时停止,设运动的时间为 秒,运动后的直角梯形为 (如图2).‎ 探究1:在运动过程中,四边形 能否为正方形?若能,请求出此时 的值;若不能,请说明理由;‎ 探究2:在运动过程中, 与直角梯形 重叠部分的面积为 ,求 与 的函数关系式.‎ 解析:‎ ‎(1)∵ , ,∴.‎ 又∵ ,∴ ,∴ ‎ ‎∴,即,∴.‎ ‎∴.‎ ‎(2)‎ 探究1:能为正方形.‎ ‎ , ,∴四边形 为平行四边形.‎ 又 ,∴四边形 为矩形.‎ 又 ‎ ‎∴当 ,即 秒时,四边形 为正方形.‎ 探究2:‎ ‎∵ ,∴ .‎ ‎∴当 秒时,直角梯形的腰 与 重合.‎ ‎①当 时,重叠部分的面积为直角梯形 的面积,如图2. ‎ 过 作 于 ,则.‎ ‎∴,.‎ ‎∴直角梯形 的面积为.‎ ‎∴.‎ ‎②‎ 当时,重叠部分的面积为梯形 的面积-矩形的面积,如图3.‎ 即 ‎ ‎∴.‎ ‎③‎ 当时,重叠部分的面积为△PDB的面积,如图4.‎ ‎∵ ,∴ .‎ ‎∴ ‎ 即 综合①②③,与的函数关系式如下:‎ ‎9.如图,已知直角梯形 中,,,,,动点从点出发,沿线段向点作匀速运动;动点从点出发,沿线段向点作匀速运动.过点垂直于的射线交于点,交于点、、两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点运动到点,、两点同时停止运动.设点运动的时间为秒.‎ ‎(1)求、的长(用含的代数式表示);‎ ‎(2)当为何值时,四边形构成平行四边形?‎ ‎(3)是否存在某一时刻,使射线恰好将的面积和周长同时平分?若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)探究:为何值时,为等腰三角形?‎ 解析:(1)由题意知,四边形为矩形,∴‎ ‎∴ ‎ 在中,,∴‎ 在中,‎ ‎∴‎ ‎(2)∵ ,∴当 时,四边形构成平行四边形 ‎∴,∴‎ ‎∴当时,四边形构成平行四边形 ‎(3)若射线将的周长平分,则有 即 解得 ‎ 而 ‎∴‎ 当时, .‎ 而,∴‎ ‎∴不存在某一时刻,使射线恰好将的面积和周长同时平分 ‎(4)‎ 若为等腰三角形,则:‎ ‎①当时(如图1),则有:‎ 即,∴‎ 解得. ‎ ‎②‎ 当时(如图2),则有:‎ 解得 ‎ ‎③‎ 当时(如图3),则有:‎ 在中,‎ 又 ‎∴‎ 解得, (不合题意,舍去)‎ 综上所述,当或或时,‎ 为等腰三角形.‎
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