2011-2015全国卷ⅠⅡ选修44高考真题及答案

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2011-2015全国卷ⅠⅡ选修44高考真题及答案

‎(2011课标全国)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为 ‎(为参数)‎ M是C1上的动点,P点满足,P点的轨迹为曲线C2‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程 ‎(Ⅱ)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求.‎ 解析:(I)设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上,所以 ‎ 即 ‎ 从而的参数方程为 ‎(为参数)‎ ‎(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为。‎ 射线与的交点的极径为,‎ 射线与的交点的极径为。‎ 所以.‎ ‎(2012课标全国)已知曲线的参数方程是,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线的坐标系方程是,正方形的顶点都在上,且依逆时针次序排列,点的极坐标为 ‎(1)求点的直角坐标;‎ ‎(2)设为上任意一点,求的取值范围。‎ ‎【解析】(1)点的极坐标为 ‎ 点的直角坐标为 ‎ (2)设;则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2013课标全国Ⅰ)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ 解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,‎ 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.‎ 将代入x2+y2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ 所以C1的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.‎ 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为,.‎ ‎(2013课标全国Ⅱ)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程;‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ 解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),‎ 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离 ‎(0<α<2π).‎ 当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.‎ ‎(2013课标全国Ⅰ)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ 解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),‎ 直线l的普通方程为2x+y-6=0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离 d=|4cos θ+3sin θ-6|,‎ 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,‎ 其中α为锐角,且tan α=.‎ 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.‎ ‎(2014课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程;‎ ‎(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.‎ 解:(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).‎ 可得C的参数方程为 (t为参数,0≤t≤π).‎ ‎(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t=,t=.‎ 故D的直角坐标为,即.‎ ‎(2015课标全国Ⅰ)在直角坐标系中,直线:=2,圆:‎ ‎,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求,的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎(2015课标全国Ⅱ)在直角坐标系中,曲线(为参数,),其中,在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线.‎ ‎(Ⅰ).求与交点的直角坐标;‎ ‎(Ⅱ).若与相交于点,与相交于点,求的最大值.‎
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