2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第八章 第1节 直线与方程
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多维层次练44
[A级 基础巩固]
1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：设直线l的斜率为k，则k＝－＝.
答案：A
2．(2019·北京海淀区模拟)过点(2，1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
解析：因为直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为－＝，
所以斜率不存在，所以过点(2，1)的直线方程为x＝2.
答案：A
3．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
解析：当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．
答案：B
4.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1
α3，所以00，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：C
6．直线MN的斜率为2，其中点N(1，－1)，点M在直线y＝x＋1上，则( )
A．M(5，7) B．M(4，5)
C．M(2，1) D．M(2，3)
解析：设M的坐标为(a，b)，若点M在直线y＝x＋1上，
则有b＝a＋1.①
若直线MN的斜率为2，则有＝2.②
联立①②可得a＝4，b＝5，
即M的坐标为(4，5)．
答案：B
7．过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，
设该直线的方程为x＋y＝a，
把(3，－1)代入所设的方程得a＝2，
则所求直线的方程为x＋y＝2，即x＋y－2＝0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，
设该直线的方程为y＝kx，
把(3，－1)代入所设的方程得k＝－，
则所求直线的方程为y＝－x，即x＋3y＝0.
综上，所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0.
答案：B
8．已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为( )
A．150° B．135°
C．120° D．不存在
解析：由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示．
显然直线l的斜率存在，
设过点P(2，0)的直线l为y＝k(x－2)，
则圆心到此直线的距离d＝，
弦长|AB|＝2＝2 ，
所以S△AOB＝××2 ≤＝1，
当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，
由图可得k＝－，
故直线l的倾斜角为150°.
答案：A
9．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
解析：BC边的中点坐标为，所以BC边上中线所在的直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
10．不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点________．
解析：直线mx－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)＋(－y＋1)＝0
，因为m∈R，所以所以x＝－2，y＝1，
所以直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(－2，1)．
答案：(－2，1)
11．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图所示，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值，
所以b的取值范围是[－2，2]．
答案：[－2，2]
12.如图所示，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，则直线AP斜率的取值范围是________．
解析：设P(x，x2)，直线AP的斜率为k，则k＝＝x－.因为－b>c>0，则，
eq f(f（b）,b)，的大小关系为________．
解析：作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以<<.
答案：<<
2．求最值
对于求形如k＝，y＝的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解．
[典例2] 已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．
解：如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象——曲线段AB，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB.
易得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝
＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是.
3．证明不等式
根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果．
[典例3] 已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a.
证明：如图，设点P，M的坐标分别为(b，a)，(－m，－m)．
因为00，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上．
连接OP，PM，则kOP＝，
kMP＝.
因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，所以kMP>kOP，即>.
