高中数学必修1教案:第五章(第13课时)正弦定理、余弦定理(1)

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高中数学必修1教案:第五章(第13课时)正弦定理、余弦定理(1)

课 题:正弦定理、余弦定理(1)‎ 教学目的:‎ ‎⑴使学生掌握正弦定理 ‎⑵能应用解斜三角形,解决实际问题 教学重点:正弦定理 教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:‎ 一、引言:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办?‎ ‎——提出课题:正弦定理、余弦定理 ‎ 二、讲解新课:‎ 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,‎ 即  == =2R(R为△ABC外接圆半径)‎ ‎ 1.直角三角形中:sinA= ,sinB=, sinC=1 ‎ 即  c=, c= , c=. ‎ ‎∴==‎ ‎2.斜三角形中 ‎ 证明一:(等积法)在任意斜△ABC当中 S△ABC=‎ ‎ 两边同除以即得:==‎ 证明二:(外接圆法)‎ 如图所示,∠A=∠D ‎∴‎ 同理 =2R,=2R 证明三:(向量法)‎ 过A作单位向量垂直于 由 += ‎ 两边同乘以单位向量 得 •(+)=•‎ 则•+•=•‎ ‎∴||•||cos90°+||•||cos(90°-C)=||•||cos(90°-A)‎ ‎∴ ∴=‎ 同理,若过C作垂直于得: = ∴==‎ 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: ‎ ‎1.两角和任意一边,求其它两边和一角;‎ ‎2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角(见图示)已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:‎ ‎⑴若A为锐角时:‎ ‎⑵若A为直角或钝角时:‎ 三、讲解范例:‎ 例1 已知在 解:‎ ‎∴‎ 由得 ‎ 由得 例2 在 解:∵‎ ‎∴‎ 例3 ‎ 解:‎ ‎,‎ 例4 已知△ABC,BD为B的平分线,求证:AB∶BC=AD∶DC 分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形:△ABD与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB∶AD=BC∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论 证明:在△ABD内,利用正弦定理得:‎ 在△BCD内,利用正弦定理得: ‎∵BD是B的平分线 ‎∴∠ABD=∠DBC ∴sinABD=sinDBC ‎∵∠ADB+∠BDC=180° ‎∴sinADB=sin(180°-∠BDC)=sinBDC ‎∴‎ ‎∴‎ 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用 四、课堂练习:‎ ‎1在△ABC中,,则k为( ) A2R BR C4R D(R为△ABC外接圆半径)‎ ‎2△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC为( ) A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形 ‎3在△ABC中,sinA>sinB是A>B的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 ‎4在△ABC中,求证:‎ 参考答案:1A,2A3C ‎4‎ 五、小结 正弦定理,两种应用 六、课后作业:‎ ‎1在△ABC中,已知,求证:a2,b2,c2成等差数列 证明:由已知得sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)·sin(A-B) cos2B-cos2C=cos2A-cos2B ‎2cos2B=cos2A+cos2C ‎∴2sin2B=sin2A+sin2C 由正弦定理可得2b2=a2+c2‎ 即a2,b2,c2成等差数列 七、板书设计(略)‎ 八、课后记: ‎
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