人教A版理科数学课时试题及解析(22)正、余弦定理和三角形面积公式B

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人教A版理科数学课时试题及解析(22)正、余弦定理和三角形面积公式B

课时作业(二十二)B [第 22 讲 正、余弦定理和三角形面积公式] [时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 1. 已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( ) A.75° B.60° C.45° D.30° 2.在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2 或 3 D. 3 2 或 3 4 3. 如图 K22-1,在 2011 年日本地震引发的海啸灾难的搜救现场,一条搜救犬沿正北 方向行进 x m 发现生命迹象,然后向右转 105°,行进 10 m 发现另一个生命迹象,这时它向 右转 135°后继续前行回到出发点,那么 x=( ) 图 K22-1 A.10 2 m B.10 3 3 m C.10 6 3 m D.10 m 4. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 A=π 3 ,a= 3,b=1,则 c 等于________. 能力提升 5. 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 a=2,sinB+sinC= 3sinA, 且△ABC 的面积为 4 3sinA,则角 A=( ) A.π 6 B.π 3 C.π 2 D.5 3π 6. △ABC 中,a,b,c 分别为 A、B、C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,B=30°, △ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( ) A.1+ 3 B.3+ 3 C.3+ 3 3 D.2+ 3 7. 在△ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 的对边,若 a,b,c 成等比数列,A=60°, 则bsinB c =( ) A.1 2 B.1 C. 2 2 D. 3 2 8.△ABC 中,三边之比 a∶b∶c=2∶3∶4,则sinA-2sinB sin2C 等于( ) A.1 2 B.2 C.-1 2 D.-2 9.在△ABC 中,若 a=3 2,cosC=1 3 ,S△ABC=4 3,则 b=________. 10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2,sinB+cosB = 2,则角 A 的大小为________. 11.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 AC cosA 的值等于________,AC 的取值范围为 ________. 12.(13 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2c-a)cosB-bcosA =0. (1)若 b=7,a+c=13,求此三角形的面积; (2)求 3sinA+sin C-π 6 的取值范围. 难点突破 13.(12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 sinA+ 3cosA =2. (1)求角 A 的大小; (2)现给出三个条件:①a=2;②B=45°;③c= 3b. 试从中选出两个可以确定△ABC 的条件,写出你的选择,并以此为依据求△ABC 的面 积(只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分). 课时作业(二十二)B 【基础热身】 1.B [解析] 由△ABC 的面积为 3 3,得1 2·BC·CAsinC=3 3,得 sinC= 3 2 .又△ABC 是锐角三角形,则 C=60°,故选 B. 2.D [解析] 由正弦定理,有 AB sinC = AC sinB ,得 sinC=ABsin30° AC = 3 2 ,C=60°或 C=120°. 当 C=60°时,A=90°,S△ABC=1 2AB·AC= 3 2 ; 当 C=120°时,A=30°,S△ABC=1 2AB·ACsin30°= 3 4 ,故选 D. 3.C [解析] 如下图,在△ABC 中,∠ABC=75°,∠ACB=45°,BC=10,∴∠BAC =60°,∴ AB sin∠ACB = BC sin∠BAC , ∴AB=BCsin∠ACB sin∠BAC = 10× 2 2 3 2 =10 6 3 . 4.2 [解析] 由正弦定理,有 a sinA = b sinB ,得 sinB= bsinπ 3 a =1 2.又 a>b,即 A>B,则 B=π 6 , C=π-(A+B)=π 2. ∴c= a2+b2=2. 【能力提升】 5.B [解析] 由 sinB+sinC= 3sinA 和正弦定理得 b+c= 3a=2 3, ∴b2+c2=12-2bc.又△ABC 的面积为 4 3sinA, ∴1 2bcsinA=4 3sinA,∴bc=8 3 , 故 cosA=b2+c2-a2 2bc =1 2 , 得 A=π 3. 6.C [解析] 由题意得,2b=a+c,S△ABC=1 2ac·1 2 =1 2 ⇒ac=2,所以 a2+c2=4b2-4.由 余弦定理,得 b2=a2+c2-2ac· 3 2 ⇒b2=4+2 3 3 ⇒b=3+ 3 3 ,故选 C. 7.D [解析] 因为 a,b,c 成等比数列,所以b c =a b ,于是 bsinB c =a b ×sinB=sinA sinB ×sinB=sinA=sin60°= 3 2 ,故选 D. 8.B [解析] 由已知 a∶b∶c=2∶3∶4,可设 a=2m,b=3m,c=4m,则 cosC=a2+b2-c2 2ab =-1 4. 由正弦定理,有 a sinA = b sinB = c sinC =2R,则 sinA= a 2R =m R ,sinB= b 2R =3m 2R ,sinC= c 2R =2m R , ∴sinA-2sinB sin2C =sinA-2sinB 2sinCcosC = 1-2×3 2 2×2× -1 4 =2,故选 B. 9.2 3 [解析] ∵cosC=1 3 ,∴sinC= 1-cos2C=2 2 3 , 又 S△ABC=4 3,即 1 2absinC=4 3,∴b=2 3. 10.π 6 [解析] 由 sinB+cosB= 2sin B+π 4 = 2,得 sin B+π 4 =1,所以 B=π 4. 由正弦定理,有 a sinA = b sinB ,得 sinA=asinB b = 2·sinπ 4 2 =1 2 ,所以 A=π 6 或5π 6 (舍去). 11.2 ( 2, 3) [解析] 由正弦定理,得 AC sin2A = BC sinA ,即 AC 2sinAcosA = 1 sinA ,∴ AC cosA = 2. ∵△ABC 是锐角三角形,∴0<A<π 2 ,0<2A<π 2 ,0<π-3A<π 2 ,解得π 6 <A<π 4 , 由 AC=2cosA 得 AC 的取值范围为( 2, 3). 12.[解答] 由已知及正弦定理,得 (2sinC-sinA)cosB-sinBcosA=0, 即 2sinCcosB-sin(A+B)=0. 在△ABC 中,由 sin(A+B)=sinC, 则 sinC(2cosB-1)=0. ∵C∈(0,π),∴sinC≠0, ∴2cosB-1=0,所以 B=60°. (1)由余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos60°=(a+c)2-3ac, 即 72=132-3ac,得 ac=40, 所以△ABC 的面积 S=1 2acsinB=10 3. (2) 3sinA+sin C-π 6 = 3sinA+sin π 2 -A = 3sinA+cosA=2sin A+π 6 , 又 A∈ 0,2π 3 ,∴A+π 6 ∈ π 6 ,5π 6 , 则 3sinA+sin C-π 6 =2sin A+π 6 ∈(1,2]. 【难点突破】 13.[解答] (1)依题意得 2sin A+π 3 =2, 即 sin A+π 3 =1, ∵01 不成立,这样的三角形不存在.
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