2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练22 正弦定理、余弦定理应用举例

2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练22 正弦定理、余弦定理应用举例

课时分层训练(二十二)　‎ 正弦定理、余弦定理应用举例 ‎ (对应学生用书第259页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．如图379所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) 【导学号：79170119】‎ 图379‎ A．a km 　　　　　　 B.a km C．a km D．2a km B　[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，‎ ‎∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝A．]‎ ‎2．如图3710，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ 图3710‎ A．北偏东10°‎ B．北偏西10°‎ C．南偏东80°‎ D．南偏西80°‎ D　[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]‎ ‎3．(2018·重庆模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)‎ A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 A　[如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，‎ 解得BC＝10(海里)．]‎ ‎4．(2018·赣州模拟)如图3711所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(　　) 【导学号：79170120】‎ 图3711‎ A．20海里　　　　　 B．40海里 C．20(1＋)海里 D．40海里 A　[连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，‎ 在△ACD中，由正弦定理得＝，∴AD＝20，‎ 在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝CD＝40.‎ 在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝20.‎ 故选A．‎ ‎]‎ ‎5．如图3712，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (　　)‎ 图3712‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．75°‎ B　[依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，‎ 又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·扬州模拟)如图3713，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得∠NAM＝60°，∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°；已知山高BC＝300米，则山高MN＝________米．‎ 图3713‎ ‎450　[在Rt△ABC中，∵BC＝300，∠CAB＝45°，‎ ‎∴AC＝300，‎ 在△AMC中，∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，‎ 由正弦定理得：＝，‎ ‎∴AM＝＝＝300，‎ ‎∴MN＝AM·sin∠MAN＝300×＝450.]‎ ‎7．如图3714，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．‎ 图3714‎ ‎10　[在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10(米)．]‎ ‎8．如图3715所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟． 【导学号：79170121】‎ 图3715‎ 　[由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以AC＝＝＝10，‎ 所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟)．]‎ 三、解答题 ‎9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)‎ 图3716‎ ‎[解]　在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，‎ ‎∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80. 3分 在△ABC中，＝，‎ ‎∴BC＝＝＝40. 6分 在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 60°‎ ‎＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9 600.‎ ‎∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒. 12分 ‎10．如图3717，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．‎ 图3717‎ ‎(1)求渔船甲的速度；‎ ‎(2)求sin α的值．‎ ‎[解]　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.‎ ‎ 3分 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ‎＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.‎ 所以渔船甲的速度为＝14海里/小时. 7分 ‎(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α ‎，由正弦定理，得＝， 9分 即sin α＝＝＝. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·六安模拟)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 (　　)‎ A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m A　[设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．]‎ ‎2．(2014·全国卷Ⅰ)如图3718，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.‎ 图3718‎ ‎150　[根据图示，AC＝100 m.‎ 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.‎ 由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.‎ 在△AMN中，＝sin 60°，‎ ‎∴MN＝100×＝150(m)．]‎ ‎3．(2018·大连模拟)如图3719，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为2千米．‎ ‎(1)船的航行速度是每小时多少千米？‎ ‎(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？‎ 图3719‎ ‎[解]　(1)在△BCP中，tan∠PBC＝⇒BC＝2.‎ 在△ABC中，由正弦定理得：＝⇒＝，‎ 所以AB＝2(＋1)，‎ 船的航行速度是每小时6(＋1)千米．‎ ‎(2)在△BCD中，由余弦定理得：CD＝，‎ 在△BCD中，由正弦定理得：＝⇒sin∠CDB＝，‎ 所以，山顶位于D处南偏东135°.‎